最新人教版七年级数学上册第二章整式教学设计整章.docx
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最新人教版七年级数学上册第二章整式教学设计整章
2．1 整 式
第1课时 用字母表示数
教学目标：
1.知道现实情境中字母表示数的意义，形成初步符号感；
2．会用字母表示一些简单问题情境中的数量关系和变化规律；（重点，难点）
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识．
教学过程：
一、情境导入
我们不少同学都是唱着儿歌长大的，朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀．其中有一首名叫《数蛤蟆》的儿歌，你想起来了吗？
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛……，a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，由此看出a是一个字母，它代表“很多只”的数量，用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系．
今天我们就学习用字母表示数．
二、合作探究
探究点一：
含字母式子的书写要求
下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）
（1）1
x2y；
（2）a×3；（3）ab÷2； （4）
.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：
（1）正确的书写格式是
x2y，不符合要求；
（2）正确的书写格式是3a，不符合要求；（3）正确的书写格式是
ab，不符合要求；（4）符合要求．符合代数式书写要求的共1个．故选D.
方法总结：
代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
探究点二：
用含字母的式子表示数量关系
【类型一】用字母表示代数型的数量关系
用字母表示下列问题中的数量关系：
（1）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为__________元．
（2）在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的
还多5分，则二班的总成绩为________．
（3）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：
将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为______________元．
解析：
（1）用购买m个篮球的总价加上n个排球的总价表示．所以购买这些篮球和排球的总费用为（80m＋60n）元．
（2）二班的总成绩＝
m＋5.
（3）根据题意得
m（1＋50%）（1－30%）（1－10%）＝0.945m（元）．
方法总结：
像这样的实际问题要先找出各个量之间的关系．要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系，如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量关系的运算顺序，正确使用运算符号及括号．
【类型二】用字母表示几何图形中的数量关系
用字母表示图中阴影部分的面积：
（1）
（2）
解析：
（1）图中阴影部分的面积是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是
；
（2）图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x.
解：
（1）S＝a2－π·（
）2；
（2）S＝ab－4x2.
方法总结：
将不规则图形的面积转化为规则图形（如长方形、圆、三角形等）的面积的和或差是解决求阴影部分面积问题的关键．
探究点三：
探求规律性问题
观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
（1）依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
（2）摆成第n个图案需要几个五角星？
（3）摆成第2015个图案需要几个五角星？
解析：
通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．
解：
（1）根据题意得∵第1个图中，五角星有3个（3×1）；第2个图中，有五角星6个（3×2）；第3个图中，有五角星9个（3×3）；第4个图中，有五角星12个（3×4）；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个．
（2）由
（1）可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．
（3）摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045（个）．
方法总结：
此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．
三、板书设计
用字母表示数
字母和数一样，可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．
2．列式的注意事项：
①数与字母、字母和字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字写在前面．
第2课时 单项式
教学目标：
1．理解单项式及单项式系数、次数的概念；（重点）
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数；
3．能用单项式表示具体问题中的数量关系．（难点）
教学过程：
一、情境导入
青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：
列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？
3小时呢？
t小时呢？
1．思考：
（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是________；体积是________．
（2）设n表示一个数，则它的相反数是________；
（3）铅笔的单价是x元，钢笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则钢笔的单价是________元．
（4）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为________千米．
2．观察所列式子包含哪些运算，有何共同的运算特征．
二、合作探究
探究点一：
单项式的相关概念
【类型一】单项式的判断
下列代数式2x，－
ab2c，
，πr2，
，a2＋2a，0，
中，单项式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解析：
2x，－
ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A.
方法总结：
数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．
【类型二】确定单项式的系数和次数
分别写出下列单项式的系数和次数．
（1）－ab2；
（2）
； （3）
.
解析：
单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可．
解：
（1）单项式的系数是－1，次数是3；
（2）单项式的系数是
，次数是6；
（3）单项式的系数是
，次数是3.
方法总结：
（1）当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．
（2）我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.（3）π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
探究点二：
单项式的应用
用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．
（1）王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？
（2）正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？
体积呢？
解析：
（1）根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花
元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可；
（2）根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．
解：
（1）∵买2本练习册花了n元，
∴买1本练习册花
元，∴买m本练习册要花
mn元，∴它的系数是
，次数是2；
（2）∵正方体的棱长为a，
∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；
它的体积是a3，系数是1，次数是3.
方法总结：
此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．
三、板书设计
单项式
由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式的系数概念：
单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数．
单项式的次数概念：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
第3课时 多项式
教学目标：
1．理解多项式的概念；（重点）
2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；
3．能正确区分单项式和多项式．（重点）
教学过程：
一、情境导入
列代数式：
（1）长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是________；
（2）图中阴影部分的面积为________；
（3）某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有________人．
观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？
若不是，它又是什么代数式？
二、合作探究
探究点一：
多项式的相关概念
【类型一】单项式、多项式与整式的识别
指出下列各式中哪些是单项式？
哪些是多项式？
哪些是整式？
x2＋y2，－x，
，10，6xy＋1，
，
m2n，2x2－x－5，
，a7.
解析：
根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：
，
的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有：
－x，10，
m2n，a7；
多项式有：
x2＋y2，
，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：
x2＋y2，－x，
，10，6xy＋1，
m2n，2x2－x－5，a7.
方法总结：
（1）分母中含有字母（π除外）的式子不是整式；
（2）单项式和多项式都是整式；（3）单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
【类型二】确定多项式的项数和次数
写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．
（1）
x2－3x＋5；
（2）a＋b＋c－d；
（3）－a2＋a2b＋2a2b2.
解析：
根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．
解：
（1）
x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；
（2）a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；
（3）－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．
方法总结：
（1）多项式的项一定包括它的符号；
（2）多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；（3）几次项是指多项式中次数是几的项．
【类型三】根据多项式的概念求字母的取值
已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
解析：
根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．
解：
由题意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
方法总结：
此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
【类型四】与多项式有关的探究性问题
若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
解析：
多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：
∵关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，
∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
方法总结：
多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
探究点二：
多项式的应用
如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？
解析：
四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．
解：
花台面积和为πa2平方米，草地面积为（2ab－πa2）平方米．所以需资金为[100πa2＋50（2ab－πa2）]元．
方法总结：
用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．
三、板书设计
多项式
几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：
多项式中的每个单项式叫做多项式的项．
常数项：
不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：
多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．
整式：
单项式与多项式统称整式．
2．2 整式的加减
第1课时 合并同类项
教学目标：
1．使学生理解多项式中同类项的概念，会识别同类项；（重点）
2．使学生掌握合并同类项法则，能进行同类项的合并．（重点，难点）
教学过程：
一、情境导入
周末，你和爸爸妈妈要外出游玩，中午决定在外面用餐，爸爸、妈妈和你各自选了要吃的东西，爸爸选了一个汉堡和一杯可乐，妈妈选了一个汉堡和一个冰淇淋，你选了一对蛋挞和一杯可乐，买的时候你该怎么向服务员点餐？
生活中处处有数学的存在．可以把具有相同特征的事物归为一类，在多项式中也可以把具有相同特征的单项式归为一类．
自主探索：
把下列单项式归归类，并说说你的分类依据．－7ab、2x、3、4ab2、6ab.
二、合作探究
探究点一：
同类项
【类型一】同类项的识别
指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由．
（1）－x2y与
x2y；
（2）23与－34；
（3）2a3b2与3a2b3；（4）
xyz与3xy.
解析：
根据同类项的定义：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，对各式进行判断即可．
解：
（1）是同类项，因为－x2y与
x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1；
（2）是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项；
（3）不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项；
（4）不是同类项，因为
xyz与3xy中所含字母不同，
xyz含有字母x、y、z，而3xy中含有字母x、y.所以不是同类项．
方法总结：
（1）判断几个单项式是否是同类项的条件：
所含字母相同；相同字母的指数分别相同．
（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．（3）常数项都是同类项．
【类型二】已知两个单项式是同类项，求字母指数的值
若－5x2ym与xny是同类项，则m＋n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：
∵－5x2ym和xny是同类项，
∴n＝2，m＝1，m＋n＝1＋2＝3，故选C.
方法总结：
注意掌握同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，解题时易混淆，因此成了中考的常考点．
探究点二：
合并同类项
将下列各式合并同类项．
（1）－x－x－x；
（2）2x2y－3x2y＋5x2y；
（3）2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2；
（4）－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b.
解析：
逆用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”进行计算．
解：
（1）－x－x－x＝（－1－1－1）x＝－3x；
（2）2x2y－3x2y＋5x2y＝（2－3＋5）x2y＝4x2y；
（3）2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2＝2a2＋（4－6）b2＋（－3－5）ab＝2a2－2b2－8ab；
（4）－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b＝（－1＋3）ab3＋（2－4）a3b＝2ab3－2a3b.
方法总结：
合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号（如直线、曲线、圆圈）标记不同的同类项．
探究点三：
化简求值
化简求值：
2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝
.
解析：
原式合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：
2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝（2－3）a2b＋（－2＋4）ab＋3＝－a2b＋2ab＋3.将a＝－2，b＝
代入得原式＝－（－2）2×
＋2×（－2）×
＋3＝－1.
方法总结：
对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号．
探究点四：
合并同类项的应用
有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若共有x吨货物，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完．
解析：
甲每天运货物的
，乙每天运货物的
，则两个人合作运输一天后剩余的货物为x－
x－
x＝
x吨，故填
x.
方法总结：
体现了数学在生活中的运用．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．
三、板书设计
合并同类项
1．同类项：
所含字母相同，并且相同的字母指数也分别相同．判断同类项的条件：
两相同，两无关
2．合并同类项法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
第2课时 去括号
教学目标：
1．在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号；（重点）
2．掌握去括号的法则，并能利用法则解决简单的问题．（难点）
教学过程：
一、情境导入
还记得用火柴棒像如图那样搭x个正方形时，怎样计算火柴的根数吗？
方法1：
第一个正方形用四根，以后每增加一个正方形火柴棒就增加三根，那么搭x个正方形需要火柴棒________根．
方法2：
把每个正方形都看成是用四根火柴棒搭成的，然后再减多余的根数，那么搭x个正方形需要火柴棒________根．
方法3：
第一个正方形可以看成是一根火柴棒加3根火柴棒搭成的，此后每增加一个正方形就增加3根，搭x个正方形共需____________根．
二、合作探究
探究点一：
去括号
下列去括号正确吗？
如有错误，请改正．
（1）＋（－a－b）＝a－b；
（2）5x－（2x－1）－xy＝5x－2x＋1＋xy；
（3）3xy－2（xy－y）＝3xy－2xy－2y；（4）（a＋b）－3（2a－3b）＝a＋b－6a＋3b.
解析：
先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号．
解：
（1）错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是：
＋（－a－b）＝－a－b；
（2）错误，－xy没在括号内，不应变号，应该是：
5x－（2x－1）－xy＝5x－2x＋1－xy；
（3）错误，括号外是“－”号，括号内应该变号，应该是：
3xy－2（xy－y）＝3xy－2xy＋2y；
（4）错误，有乘法的分配律使用错误，应该是：
（a＋b）－3（2a－3b）＝a＋b－6a＋9b.
方法总结：
本题考查去括号的方法：
去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
探究点二：
去括号化简
【类型一】去括号后进行整式的化简
先去括号，后合并同类项：
（1）x＋[－x－2（x－2y）]；
（2）
a－（a＋
b2）＋3（－
a＋
b2）；
（3）2a－（5a－3b）＋3（2a－b）；（4）－3{－3[－3（2x＋x2）－3（x－x2）－3]}．
解析：
去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：
（1）x＋[－x－2（x－2y）]＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y；
（2）原式＝
a－a－
b2－
a＋b2＝－2a＋
；
（3）2a－（5a－3b）＋3（2a－b）＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a；
（4）－3{－3[－3（2x＋x2）－3（x－x2）－3]}＝－3{9（2x＋x2）＋9（x－x2）＋9}＝－27（2x＋x2）－27（x－x2）－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27.
方法总结：
解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序．
【类型二】与绝对值、数轴相结合，代数式去括号的化简
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|a＋b＋c|－|a－b|＋|b＋c|.
解析：
根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可确定a，b，c的符号，进而确定式子中绝对值内的式子的符号，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，对式子进行化简．
解：
由图可知：
a＞0，b＜0，c＜0，|a|＜|b|＜|c|，∴a＋c＜0，a＋b＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，∴原式＝－（a＋c）－（a＋b＋c）－（a－b）－（b＋c）＝－3a－b－3c.
方法总结：
本题考查了利用数轴，比较数的大小关系，对于含有绝对值的式子的化简，要根据绝对值内的式子的符号，去掉绝对值符号．
探究点三：
含括号的整式的化简求值
【类型一】化简求值
先化简，再求值：
已知x＝－4，y＝
，求5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]＋2x2y－xy2.
解析：
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：
原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2，当x＝－4，y＝
时，原式＝5×（－4）×（
）2＝－5.
方法总结：
解决本题是要注意去括号，去括号要注意顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．负数代入求值时，要加上括号．
【类型二】整体思想在整式求值中应用
已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．
解析：
若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．
解：
因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3（x2－4x）－1＝3×2－1＝5.
方法总结：
在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题．
探究点四：
含括号整式的化简应用
某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件．
（1）销售100件这种商品的总售价为多少元？
（2）销售100件这种商品共盈利多少元？
解析：
（1）求出40件的售价与60件的售价即可确定出总售价；
（2）由利润＝售价－成本列出关系式即可得到结果．
解：
（1）根据题意得40（a＋b）＋60（a＋b）×80%＝88a＋88b（元），则销售100件这种商品的总售价为（88a＋88b）元；
（2）根据题意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b（元），则销售100件这种商品共盈利（－12a＋88b）元．
方法总结：
解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则．
三、板书设计
去括号
法则：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
注意：
①去括号法则是根据乘法分配律推出的；
②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
第3课时 整式的加减
教学目标：
1．知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算；（重点）
2．能用整式加减运算解决实际问题；（难点）
3．能在实际背景中体会进行整式加减的必要性．
教学过程：
一、情境导入
1．某学生合唱团出场时第一排站了n名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？
（1）让学生写出答案：
n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）；
（2）提问：
以上答案能进一步化简吗？
如何化简？
我们进行了哪些运算？
2．化简：
（1）（x＋y）
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