Lyapunov指数的计算方法.docx
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Lyapunov指数的计算方法
[总结]Lyapunov指数的计算方法非线性理论
近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！
下面以吕金虎《混沌时间序列分析与其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！
1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍容。
（1）定义法
定义法求解Lyapunov指数.JPG
关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例
Rossler系统微分方程定义程序
functiondX=Rossler_ly（t,X）
% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数
% a=0.15,b=0.20,c=10.0
% dx/dt=-y-z,
% dy/dt=x+ay,
% dz/dt=b+z（x-c）,
a=0.15;
b=0.20;
c=10.0;
x=X
（1）;y=X
（2）;z=X（3）;
%Y的三个列向量为相互正交的单位向量
Y=[X（4）,X（7）,X（10）;
X（5）,X（8）,X（11）;
X（6）,X（9）,X（12）];
%输出向量的初始化，必不可少
dX=zeros（12,1）;
%Rossler吸引子
dX
（1）=-y-z;
dX
（2）=x+a*y;
dX（3）=b+z*（x-c）;
%Rossler吸引子的Jacobi矩阵
Jaco=[0-1-1;
1a 0;
z0 x-c];
dX（4:
12）=Jaco*Y;
求解LE代码：
%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数
clear;
yinit=[1,1,1];
orthmatrix=[100;
010;
001];
a=0.15;
b=0.20;
c=10.0;
y=zeros（12,1）;
%初始化输入
y（1:
3）=yinit;
y（4:
12）=orthmatrix;
tstart=0;%时间初始值
tstep=1e-3;%时间步长
wholetimes=1e5;%总的循环次数
steps=10;%每次演化的步数
iteratetimes=wholetimes/steps;%演化的次数
mod=zeros（3,1）;
lp=zeros（3,1）;
%初始化三个Lyapunov指数
Lyapunov1=zeros（iteratetimes,1）;
Lyapunov2=zeros（iteratetimes,1）;
Lyapunov3=zeros（iteratetimes,1）;
fori=1:
iteratetimes
tspan=tstart:
tstep:
（tstart+tstep*steps）;
[T,Y]=ode45（'Rossler_ly',tspan,y）;
%取积分得到的最后一个时刻的值
y=Y（size（Y,1）,:
）;
%重新定义起始时刻
tstart=tstart+tstep*steps;
y0=[y（4）y（7）y（10）;
y（5）y（8）y（11）;
y（6）y（9）y（12）];
%正交化
y0=ThreeGS（y0）;
%取三个向量的模
mod
（1）=sqrt（y0（:
1）'*y0（:
1））;
mod
（2）=sqrt（y0（:
2）'*y0（:
2））;
mod（3）=sqrt（y0（:
3）'*y0（:
3））;
y0（:
1）=y0（:
1）/mod
（1）;
y0（:
2）=y0（:
2）/mod
（2）;
y0（:
3）=y0（:
3）/mod（3）;
lp=lp+log（abs（mod））;
%三个Lyapunov指数
Lyapunov1（i）=lp
（1）/（tstart）;
Lyapunov2（i）=lp
（2）/（tstart）;
Lyapunov3（i）=lp（3）/（tstart）;
y（4:
12）=y0';
end
%作Lyapunov指数谱图
i=1:
iteratetimes;
plot（i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3）
程序中用到的ThreeGS程序如下：
%G-S正交化
functionA=ThreeGS（V） %V为3*3向量
v1=V（:
1）;
v2=V（:
2）;
v3=V（:
3）;
a1=zeros（3,1）;
a2=zeros（3,1）;
a3=zeros（3,1）;
a1=v1;
a2=v2-（（a1'*v2）/（a1'*a1））*a1;
a3=v3-（（a1'*v3）/（a1'*a1））*a1-（（a2'*v3）/（a2'*a2））*a2;
A=[a1,a2,a3];
计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924
Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77
需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简单的！
（2）Jacobian方法通过资料检索，发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法。
基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。
经过计算也证明了这种方法精度较高，对目前常见的混沌系统，如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高，而且程序编写有一定的规，个人很推荐使用。
（虽然我自己要做的系统并不适用）
LET工具箱可以在网络上找到，这里就不列出了！
关于LET工具箱如果有问题，欢迎加入本帖讨论！
Jacobian法求解Lyapunov指数.JPG
对离散动力系统，或者说是非线性时间序列，往往不需要计算出所有的Lyapunov指数，通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。
“1983年，格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零，就可以肯定混沌的存在”。
目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种：
（1）由定义法延伸的Nicolis方法
（2）Jacobian方法
（3）Wolf方法
（4）P－数方法
（5）小数据量方法
其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛，也最为普遍。
下面对Nicolis方法、Wolf方法以与小数据量方法作一一介绍。
（1）Nicolis方法这种方法和连续系统的定义方法类似，而且目前应用很有限制，因此只对其理论进行介绍，编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG
（2）Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPG
Wolf方法的Matlab程序如下：
functionlambda_1=lyapunov_wolf（data,N,m,tau,P）
% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov指数--Wolf方法
% m:
嵌入维数！
一般选大于等于10
% tau:
时间延迟！
一般选与周期相当，如我选2000
% data:
时间序列！
可以选1000；
% N:
时间序列长度满足公式：
M=N-（m-1）*tau=24000-（10-1）*1000=5000
% P:
时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻!
P=周期=600
% lambda_1:
返回最大lyapunov指数值
min_point=1 ;%&&要求最少搜索到的点数
MAX_CISHU=5; %&&最大增加搜索围次数
%FLYINGHAWK
% 求最大、最小和平均相点距离
max_d=0; %最大相点距离
min_d=1.0e+100; %最小相点距离
avg_dd=0;
Y=reconstitution（data,N,m,tau）; %相空间重构可将此段程序加到
整个程序中，在时间循环，可以保存时间序列的地方。
见完整程序。
M=N-（m-1）*tau; %重构相空间中相点的个数
fori=1:
（M-1）
forj=i+1:
M
d=0;
fork=1:
m
d=d+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,j））;
end
d=sqrt（d）;
ifmax_d max_d=d;
end
ifmin_d>d
min_d=d;
end
avg_dd=avg_dd+d;
end
end
avg_d=2*avg_dd/（M*（M-1））; %平均相点距离
dlt_eps=（avg_d-min_d）*0.02; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度
min_eps=min_d+dlt_eps/2; %演化相点与当前相点距离的最小限
max_eps=min_d+2*dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限
% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置（Loc_DK）与其最短距离DK
DK=1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离
Loc_DK=2; %第i个相点对应的最近距离点的下标
fori=（P+1）:
（M-1） %限制短暂分离，从点P+1开始搜索
d=0;
fork=1:
m
d=d+（Y（k,i）-Y（k,1））*（Y（k,i）-Y（k,1））;
end
d=sqrt（d）;
if（dmin_eps）
DK=d;
Loc_DK=i;
end
end
% 以下计算各相点对应的氏数保存到lmd（）数组中
% i为相点序号，从1到（M-1），也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短
距离的相点位置，DK为其对应的最短距离
%Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离
% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值
sum_lmd=0; %存放前i个log2（DK1/DK）的累计和
fori=2:
（M-1） %计算演化距离
DK1=0;
fork=1:
m
DK1=DK1+（Y（k,i）-Y（k,Loc_DK+1））*（Y（k,i）-Y（k,Loc_DK+1））;
end
DK1=sqrt（DK1）;
old_Loc_DK=Loc_DK; %保存原最近位置相点
old_DK=DK;
% 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以与保存i点的氏指数
if（DK1~=0）&（DK~=0）
sum_lmd=sum_lmd+log（DK1/DK）/log
（2）;
end
lmd（i-1）=sum_lmd/（i-1）;此处可以保存不同相点i对应的氏指数，见完整程序。
。
% 以下寻找i点的最短距离:
要求距离在指定距离围尽量短,与DK1的角度最小
point_num=0;%&&在指定距离围找到的候选相点的个数
cos_sita=0 ;%&&夹角余弦的比较初值——要求一定是锐角
zjfwcs=0 ;%&&增加围次数
while（point_num==0）
%*搜索相点
forj=1:
（M-1）
ifabs（j-i）<=（P-1） %&&候选点距当前点太近，跳过！
continue;
end
%*计算候选点与当前点的距离
dnew=0;
fork=1:
m
dnew=dnew+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,j））;
end
dnew=sqrt（dnew）;
if（dnewmax_eps） %&&不在距离围，跳过！
continue;
end
%*计算夹角余弦与比较
DOT=0;
fork=1:
m
DOT=DOT+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,old_Loc_DK+1））;
end
CTH=DOT/（dnew*DK1）;
ifacos（CTH）>（3.14151926/4） %&&不是小于45度的角，跳过！
continue;
end
ifCTH>cos_sita %&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留
cos_sita=CTH;
Loc_DK=j;
DK=dnew;
end
point_num=point_num+1;
end
ifpoint_num<=min_point
max_eps=max_eps+dlt_eps;
zjfwcs=zjfwcs+1;
ifzjfwcs>MAX_CISHU %&&超过最大放宽次数，改找最近的点
DK=1.0e+100;
forii=1:
（M-1）
ifabs（i-ii）<=（P-1） %&&候选点距当前点太近，跳过！
continue;
end
d=0;
fork=1:
m
d=d+（Y（k,i）-Y（k,ii））*（Y（k,i）-Y（k,ii））;
end
d=sqrt（d）;
if（dmin_eps）
DK=d;
Loc_DK=ii;
end
end
break;
end
point_num=0; %&&扩大距离围后重新搜索
cos_sita=0;
end
end
end
%取平均得到最大雅普诺夫指数（此处只有一个值，若为正说明体系是混沌的，若为负则说明体系是周期性的确定性运动）lambda_1=sum（lmd）/length（lmd）;
程序中用到的reconstitution函数如下：
此段程序可直接放在时间循环部，即可以保存时间序列的地方。
见完整程序例。
functionX=reconstitution（data,N,m,tau）
%该函数用来重构相空间
%m为嵌入空间维数
%tau为时间延迟
%data为输入时间序列
%N为时间序列长度
%X为输出,是m*n维矩阵
M=N-（m-1）*tau;%相空间中点的个数
forj=1:
M %相空间重构
fori=1:
m
X（i,j）=data（（i-1）*tau+j）;
end
end
这里声明一下，这些程序并非我自己编写的，均是，其使用我已经验证过，绝对可以运行！
（3）小数据量方法
说小数据量方法是目前最实用、应用最广泛的方法应该不为过吧，呵呵！
小数据量方法求最大Lyapunov指数.JPG
上面两种方法，即Wolf方法和小数据量方法，在计算LE之前，都要求对时间序列进行重构相空间，重构相空间的优良对于最大LE的计算精度影响非常大！
因此重构相空间的几个参数的确定就非常重要。
（1）时间延迟
主要推荐两种方法——自相关函数法、C－C方法
自相关函数法——对一个混沌时间序列，可以先写出其自相关函数，然后作出自相关函数关于时间t的函数图像。
根据数值试验结果，当自相关函数下降到初始值的1－1/e时，所得的时间t即为重构相空间的时间延迟。
C－C方法——可以同时计算出时间延迟和时间窗口，个人推荐使用这种方法！
（2）平均周期
平均周期的计算可以采用FFT方法。
在matlab帮助中有一个太阳黑子的例子，现摘录如下：
loadsunspot.dat %装载数据文件
year=sunspot（:
1）; %读取年份信息
wolfer=sunspot（:
2）; %读取黑子活动数据
plot（year,wolfer） %绘制原始数据图
title（'SunspotData'）
Y=fft（wolfer）; %快速FFT变换
N=length（Y）; %FFT变换后数据长度
Y
（1）=[]; %去掉Y的第一个数据，它是所有数据的和
power=abs（Y（1:
N/2））.^2; %求功率谱
nyquist=1/2;
freq=（1:
N/2）/（N/2）*nyquist;%求频率
plot（freq,power）,gridon %绘制功率谱图
xlabel（'cycles/year'）
title（'Periodogram'）
period=1./freq; %年份（周期）
plot（period,power）,axis（[04002e7]）,gridon ％绘制年份－功率谱曲线
ylabel（'Power'）
xlabel（'Period（Years/Cycle）'）
[m
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