人教版初三数学上册《专训1 圆中常见的计算题型》.docx
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人教版初三数学上册《专训1圆中常见的计算题型》
专训1 圆中常见的计算题型
名师点金：
与圆有关的计算主要体现在：
利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用圆的知识解决实际问题等；其中涉面积的计算，常采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉实际应用计算常采用建模思想进行计算．
有关角度的计算
1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
（1）求证：
△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
（第1题）
半径、弦长的计算
2．【中考·南京】如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2
cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________cm.
（第2题）
3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．
（第3题）
面积的计算
利用“作差法”求面积
4．【2015·丽水】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.
（1）求证：
DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
（第4题）
利用“等积法”求面积
5．如图所示，E是半径为2cm的⊙O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝
CD，求阴影部分的面积．
（第5题）
利用“平移法”求面积
6．如图所示，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
（第6题）
利用“割补法”求面积
7．如图所示，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.
（1）求证：
AC＝BD；
（2）若OA＝2cm，OC＝1cm，求图中阴影部分的面积．
（第7题）
实际应用的计算
利用垂径定理解决台风问题
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30km/h，受影响区域的半径为200km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320km处．
（1）试说明台风是否会影响B市；
（2）若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
（第8题）
利用圆周角知识解决足球射门问题（转化思想）
9．如图所示，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：
一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．
从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？
为什么？
（第9题）
利用直线与圆的位置关系解决范围问题
10．如图，已知A，B两地相距1km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠（即图中的线段AB），经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？
为什么？
（第10题）
利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题
11．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20cm，高为40
cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计），请问：
选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？
（第11题）
答案
1．
（1）证明：
∵AB，CD是直径，
∴∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．
（2）解：
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.
∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°，
∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°.
即∠ADC的度数为37°.
2．2 点拨：
如图，连接OB，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝
AB＝
×2
＝
（cm），△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝
BE＝2cm，故答案为2.
（第2题）
（第3题）
3．解：
如图，连接OC.∵∠A＝30°，
∴∠COD＝60°.
∵DC切⊙O于C，∴∠OCD＝90°.
∴∠D＝30°.
∵OD＝30cm，∴OC＝
OD＝15cm.
∴AB＝2OC＝30cm.
（第4题）
4．
（1）证明：
如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ODB＝∠ACB.
∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.
∴DF⊥AC.
（2）解：
如图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.
∴∠BAC＝45°.
∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°.
∴∠AOE＝90°.
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8.
∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.
5．解：
如图，连接OA，OB.
∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB，
∴S阴影＝S扇形OAB.
∵AB＝
CD＝AO＝OB＝2cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°.
∴S扇形OAB＝
＝
π（cm2）．
（第5题）
即阴影部分的面积为
πcm2.
点拨：
本题利用△AEB的面积等于△AOB的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等积变形法”的运用．
（第6题）
6．解：
将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．
作OE⊥AB于E（易知E为切点），连接OA，
∴AE＝
AB＝9.
∴阴影部分的面积＝
π·OA2－
π·OE2＝
π（OA2－OE2）＝
π·AE2＝
π·92＝
π.
点拨：
观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
7．
（1）证明：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOD.
又∵AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD.∴AC＝BD.
（2）解：
由
（1）知△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积－扇形OCD的面积．
则S阴影＝
－
＝
＝
＝
π（cm2）．
点拨：
本题通过割补法将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式．
（第8题）
8．解：
（1）如图，过B作BH⊥PQ于H，在Rt△BHP中，由条件易知：
BP＝320km，∠BPQ＝30°.∴BH＝
BP＝160km<200km.∴台风会影响B市．
（2）如图，以B为圆心，200km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
在Rt△BHP1中，BP1＝200km，
BH＝160km，
∴P1H＝
＝120（km）．
∴P1P2＝2P1H＝240km.
∴台风影响B市的时间为
＝8（h）．
点拨：
本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．
（第9题）
9．解：
选择射门方式二较好，理由如下：
设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
点拨：
本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决实际问题．
（第10题）
10．解：
修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
由题易得∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°.∴CD＝BD.
设CD＝xkm，则BD＝xkm.
由题易得∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD＝2xkm，
∴AD＝
＝
x（km），
∴
x＋x＝1.解得x＝
.
即CD＝
≈0.366（km）＝366m＞350m，
也就是说，以点C为圆心，350m为半径的圆与AB相离．
∴修建的这条水渠不会穿过公园．
11．解：
∵圆锥形漏斗的底面半径为20cm，高为40
cm，
∴圆锥的母线长为
＝60（cm）．
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有
＝2π×20，解得n＝120.
方案一：
如图①，扇形的半径为60cm，矩形的宽为60cm，易求得矩形的长为60
cm.当AB＝60cm，BC＝60
cm时，S矩形ABCD＝3600
cm2.
方案二：
如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60cm，长为30＋60＝90（cm），此时矩形的面积为90×60＝5400（cm2）．
∵3600
>5400，
∴方案二所用材料最省．即选长为90cm，宽为60cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．
（第11题）
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