数值分析高斯勒让德积分公式.docx
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数值分析高斯勒让德积分公式
高斯—勒让德积分公式
摘要：
高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
TheadvantageofGauss-Legendreintegralformulaistendtogethigh-precisioncalculationalresultbyusingfewerGauss-points,reallifeisnowoftenappliednumericalintegrationmethod.Buttheprecisionisnotgoodwhenthelengthofintegralintervalislonger.
关键字：
积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB
Keyword:
IntegralCalculation,Integralformula,Gauss-Legendreintegralformula,Matlab
引言：
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f（x）以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。
通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=（b-a）t/2 +（a+b）/2变换到-1到1之间积分。
1.现有的方法和理论
高斯勒让德求积公式
在高斯求积公式（4.5.1）中，若取权函数
，区间为
，则得公式
我们知道勒让德多项式是区间
上的正交多项式，因此，勒让德多项式
的零点就是求积公式（上式）的高斯点．形如（上式）的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．
若取
的零点
做节点构造求积公式
令它对
准确成立，即可定出
．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取
的两个零点
构造求积公式
令它对
都准确成立，有
．
由此解出
，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
．
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
．
如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．
0
1
2
3
4
公式（4.5.9）的余项由得
，
这里
是最高项系数为１的勒让德多项式，由（3.2.6）及得
．
当
时，有
．
它比辛普森公式余项
还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间
时，只要做变换
可将
化为［－１，１］，这时
．
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
复化Gauss-Legendre求积公式
将被积区间m等分,记
作变换
在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式,累加即得复化Gauss-Legendre求积公式
不妨设
则有:
Gauss点个数
时,
Gauss点个数
时,
总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:
1.分割区间,记录区间端点值；
2.通过查表或求解非线性方程组,在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；
3.将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.
针对Gauss点个数
和
的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss（）如下:
function[]=compgauss（a,b,n）
%CompositeGaussIntegration
%EquationType:
n=2,n=3
%Codedby2010-05-25
%DivideInterval
%Calculate
%SumResults
formatlong
f=@（x）exp（x）.*sin（x）;
h=（b-a）/n;
xk=zeros（n+1,1）;
xk（1,1）=a;
xk（n+1,1）=b;
fk1=zeros（n,1）;
fk2=zeros（n,1）;
fori=1:
n-1
xk（i+1,1）=a+h*i;
end
forj=1:
n
fk1（j）=f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）*（-1/sqrt（3）））+...
f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）*（1/sqrt（3）））;
end
forr=1:
n
fk2（r）=（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（-sqrt（15）/5））+...
（8/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（0））+...
（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（sqrt（15）/5））;
end
mysum1=h*sum（fk1）/2;
mysum2=h*sum（fk2）/2;
disp（'Resultof2Nodes:
'）
disp（mysum1）;
disp（'Resultof3Nodes:
'）
disp（mysum2）;
end
龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法
以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较
#include <>
#include <>
#include <>
#define Precision1
# define e 2.
#define MAXRepeat 10
double function （double x）
{
double s;
s=1/x;
return s;
}
double Romberg（double a,double b,double f（double x））
{
int m,n,k;
double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;
h=b-a;
y[0]=h*（f（a）+f（b））/;fx）;
3.数值实验
用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算
.
解：
先将区间
化为
，由
（1）
.
（1）
有
.
根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得
.
（准确值
）
用
的高斯-勒让德公式计算积分
解：
令
，则
用
的高斯—勒让德公式计算积分
用
的高斯—勒让德公式计算积分
用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分
，计算过程保留4位小数．
解：
高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令
，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，
＝
＝
2.总结
高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。
因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》
[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008617
[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·科学出版社2010710
[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009723
[4]复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期
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