数学高考分类汇编解答题理03立体几何.docx
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数学高考分类汇编解答题理03立体几何
03立体几何
1.（2011天津卷理）17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱
中，
是正方形
的中心，
，
平面
，且
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）设
为棱
的中点，点
在平面
内，且
平面
，求线段
的长．
【解析】17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.
方法一：
如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得
（I）解：
易得
，
于是
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：
易知
设平面AA1C1的法向量
，
则
即
不妨令
可得
，
同样地，设平面A1B1C1的法向量
，
则
即
不妨令
，
可得
于是
从而
所以二面角A—A1C1—B的正弦值为
（III）解：
由N为棱B1C1的中点，
得
设M（a，b，0），
则
由
平面A1B1C1，得
即
解得
故
因此
，所以线段BM的长为
方法二：
（I）解：
由于AC//A1C1，故
是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为
平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，
可得
因此
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：
连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以
≌
，过点A作
于点R，
连接B1R，于是
，故
为二面角A—A1C1—B1的平面角.
在
中，
连接AB1，在
中，
，
从而
所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为
（III）解：
因为
平面A1B1C1，所以
取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，
所以ND//C1H且
.
又
平面AA1B1B，
所以
平面AA1B1B，故
又
所以
平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，
则
由
得
，延长EM交AB于点F，
可得
连接NE.
在
中，
所以
可得
连接BM，在
中，
2.（2011北京理）16．（本小题共14分）
如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
.
（Ⅰ）求证：
平面
（Ⅱ）若
求
与
所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面
与平面
垂直时，求
的长.
【解析】（16）（共14分）
证明：
（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°，PA=PB=2,
所以BO=1，AO=CO=
.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则
P（0，—
，2），A（0，—
，0），B（1，0，0），C（0，
，0）.
所以
设PB与AC所成角为
，则
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设P（0，－
，t）（t>0），
则
设平面PBC的法向量
则
所以
令
则
所以
同理，平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,
所以
=0，即
解得
所以PA=
3.（2011辽宁卷理）18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
PD．
（I）证明：
平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
【解析】18．解：
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ
平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.…………6分
（II）依题意有B（1，0，1），
设
是平面PBC的法向量，则
因此可取
设m是平面PBQ的法向量，则
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为
………………12分
4.（全国大纲卷理）19．（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥
中，
，侧面
为等边三角形，
．
（Ⅰ）证明：
;
（Ⅱ）求
与平面
所成角的大小．
【解析】19．解法一：
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则
又SD=1，故
，
所以
为直角。
…………3分
由
，
得
平面SDE，所以
。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以
平面SAB。
…………6分
（II）由
平面SDE知，
平面
平面SED。
作
垂足为F，则SF
平面ABCD，
作
，垂足为G，则FG=DC=1。
连结SG，则
，
又
，
故
平面SFG，平面SBC
平面SFG。
…………9分
作
，H为垂足，则
平面SBC。
，即F到平面SBC的距离为
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
设AB与平面SBC所成的角为α，
则
…………12分
解法二：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设
（I）
，
，
由
得
故x=1。
由
又由
即
…………3分
于是
，
故
所以
平面SAB。
…………6分
（II）设平面SBC的法向量
，
则
又
故
…………9分
取p=2得
。
故AB与平面SBC所成的角为
5.（全国新课标理）（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
（Ⅰ）证明：
PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
【解析】（18）解：
（Ⅰ ）因为
由余弦定理得
从而BD2+AD2=AB2，故BD
AD
又PD
底面ABCD，可得BD
PD
所以BD
平面PAD.故PA
BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为
轴的正半轴建立空间直角坐标系D-
，则
。
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，
）
故二面角A-PB-C的余弦值为
6.（2011江西卷理）21（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体
，找出依次排列的四个相互平行的平面
，使得
（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间
的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面
，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体
的四个顶点满足：
（i=1,2,3,4），求该正四面体
的体积.
解：
（1）将直线
三等分，其中另两个分点依次为
连接
作平行于
的平面，分别过
，即为
。
同理，过点
作平面
即可的出结论。
（2）现设正方体的棱长为a,若
，
，
，由于
得，
，
那么，正四面体的棱长为
，其体积为
（即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）
7.（山东卷理）19．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=
，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：
ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
【解析】19．（I）证法一：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，
，
所以
∽
由于AB=2EF，
因此，BC=2FC，
连接AF，由于FG//BC，
在
中，M是线段AD的中点，
则AM//BC，且
因此FG//AM且FG=AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM//FA。
又
平面ABFE，
平面ABFE，
所以GM//平面AB。
证法二：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，
，
所以
∽
由于AB=2EF，
因此，BC=2FC，
取BC的中点N，连接GN，
因此四边形BNGF为平行四边形，
所以GN//FB，
在
中，M是线段AD的中点，连接MN，
则MN//AB，
因为
所以平面GMN//平面ABFE。
又
平面GMN，
所以GM//平面ABFE。
（II）解法一：
因为
，
又
平面ABCD，
所以AC，AD，AE两两垂直，
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，
不妨设
则由题意得A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），
所以
又
所以
设平面BFC的法向量为
则
所以
取
所以
设平面ABF的法向量为
，
则
所以
则
，
所以
因此二面角A—BF—C的大小为
解法二：
由题意知，平面
平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，
因为AC=BC，
所以
，
则
平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
则
所以
为二面角A—BF—C的平面角。
由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。
在直角梯形ABFE中，连接FH，
则
，又
所以
因此在
中，
由于
所以在
中，
因此二面角A—BF—C的大小为
8.（2011陕西理）16．（本小题满分12分）
如图，在
中，
是
上的高，沿
把
折起，使
。
（Ⅰ）证明：
平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；
（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求
与
夹角的余弦值。
【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DB
ＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，
∵AD平面
平面BDC．
平面ABD
平面BDC。
（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝
及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设
=1，以D为坐标原点，以
所在直线
轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，
），E（
，
，0），
=
，
=（1，0,0,），
与
夹角的余弦值为
＜
，
＞=
．
9.（上海理）21．（14分）已知
是底面边长为1的正四棱柱，
是
和
的交点。
（1）设
与底面
所成的角的大小为
，二面角
的大小为
。
求证：
；
（2）若点
到平面
的距离为
，求正四棱柱
的高。
【解析】21．解：
设正四棱柱的高为
。
⑴连
，
底面
于
，
∴
与底面
所成的角为
，即
∵
，
为
中点，∴
，又
，
∴
是二面角
的平面角，即
∴
，
。
⑵建立如图空间直角坐标系，有
设平面
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