大型稀疏矩阵数值方法.docx
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大型稀疏矩阵数值方法
《大型稀疏矩阵数值方法》课程设计
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目录
1、问题的提出3
2、数学原理3
2.1Jacobi迭代法3
2.2Gauss-Seidol迭代法4
2.3SOR方法5
3、程序设计6
3.1Jacobi迭代法6
3.2Gauss-Seidel迭代法7
3.3SOR方法7
3.4主程序8
4、结果分析和讨论9
4.1Jacobi迭代法9
4.2Gauss-Seidel迭代法10
3.3SOR方法（精度取
）10
5、心得体会11
1、问题的提出
在阶数较大、系数阵为稀疏阵的情况下，可以采用迭代法求解线性方程组。
用迭代法（IterativeMethod）求解线性方程组的优点是方法简单，便于编制计算机程序，但必须选取合适的迭代格式及初始向量，以使迭代过程尽快地收敛。
迭代法根据迭代格式的不同分成雅可比（Jacobi）迭代、高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代和松弛（Relaxation）法等几种。
对下列线性方程组，试用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法求解。
（1）
（2）
2、数学原理
2.1Jacobi迭代法
设线性方程组
（1）
的系数矩阵A可逆且主对角元素均
不为零,令
并将
分解成
从而
（1）可写成
令
其中
.
以
为迭代矩阵的迭代法（公式）
称为雅可比（Jacobi）迭代法,其分量形式为
其中
为初始向量.
2.2Gauss-Seidol迭代法
由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用
的全部分量来计算
的所有分量,显然在计算第
个分量
时,已经计算出的最新分量
没有被利用。
把矩阵
分解成
其中
分别为
的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组便可以写成
即
其中
以
为迭代矩阵构成的迭代法（公式）
称为高斯—塞德尔迭代法,用分量表示的形式为
其中
为初始向量.
2.3SOR方法
逐次超松弛迭代法是对高斯—赛德尔迭代的一种改进，在高斯—赛德尔迭代的基础上加入松弛因子
，使得
与
的误差
由
控制。
由高斯—赛德尔迭代公式：
得出SOR迭代算法：
，其中，
为松弛因子。
迭代的控制条件为：
，
得出SOR的计算公式为：
，
则存在，
令
，
则，
3、程序设计
3.1Jacobi迭代法
function[x2,k]=Jacobi（A,b,eps,num）
%用雅克比迭代法求解方程组Ax=b
%输入：
A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，nm为最大迭代次数，eps为误差精度
%输出：
x为求得的方程组的解构成的列向量，k为迭代次数[m,n]=size（A）;
D=diag（diag（A））;%求矩阵D
x1=zeros（m,1）;
k=0;
G=eye（m）-inv（D）*A;%计算迭代矩阵
ifmax（abs（eig（G）））>1%谱半径大于1，迭代不收敛……
disp（'谱半径大于1，迭代不收敛'）;
end
H=inv（D）*b;
whilekk=k+1;%记录循环次数
x2=G*x1+H;%雅克比迭代公式
norm（x2-x1）,
ifnorm（x2-x1）disp（'在最大迭代次数内收敛!
'）;
x2,
return;
end
x1=x2;
end
disp（'在最大迭代次数内不收敛!
'）;
x2,
3.2Gauss-Seidel迭代法
function[x,k]=Gauss_Seidel（A,b,eps,num）
%用Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b
%输入：
A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，nm为最大迭代次数，eps为误差精度
%输出：
x为求得的方程组的解构成的列向量，k为迭代次数
[m,n]=size（A）;
D=diag（diag（A））;%求矩阵D
L=tril（A）-D;%求矩阵L
U=triu（A）-D;%求矩阵U
x1=zeros（m,1）;
k=0;
G=inv（D-L）*U;%计算迭代矩阵
ifmax（abs（eig（G）））>1%谱半径大于1，迭代不收敛……
disp（'谱半径大于1，迭代不收敛'）;
end
H=inv（D-L）*b;
whilekk=k+1;%记录循环次数
x2=G*x1+H;%雅克比迭代公式
ifnorm（x2-x1）disp（'在最大迭代次数内收敛!
'）;
k,x2',
return;
end
x1=x2;
end
disp（'在最大迭代次数内不收敛!
'）;
k,x2',
3.3SOR方法
function[x,k]=SOR（A,b,omega,eps,num）
%用SOR法求解方程组Ax=b
%输入：
A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，nm为最大迭代次数，eps为误差精度,omega松弛因子
%输出：
x为求得的方程组的解构成的列向量，k为迭代次数
[m,n]=size（A）;
D=diag（diag（A））;%求矩阵D
L=tril（A）-D;%求矩阵L
U=triu（A）-D;%求矩阵U
x1=zeros（m,1）;
k=0;
fs=omega*inv（D-omega*L）*b;
bs=inv（D-omega*L）*（（1-omega）*D+omega*U）;
ifmax（abs（eig（bs）））>1%谱半径大于1，迭代不收敛……
disp（'谱半径大于1，迭代不收敛'）;
end
whilekk=k+1;%记录循环次数
x2=bs*x1+fs;%雅克比迭代公式
ifnorm（x2-x1）disp（'在最大迭代次数内收敛!
'）;
k,
return;
end
x1=x2;
end
disp（'在最大迭代次数内不收敛!
'）;
k,
3.4主程序
clc;clear;
A1=[42-31210000;
86-5-3650100;
42-2-132-1031;
0-215-13-1194;
-426-167-3323;
86-8571726-35;
02-13-425301;
1610-11-917342-122;
462-713920124;
00-18-3-24-863-1;
];
b1=[51232346232619-21]';
maxnum=10^5;
fori=3:
5
disp（'----------------------精度--------------------'）;
eps=10^（-i）;
disp（eps）;
disp（'雅克比迭代法'）;
Jacobi（A1,b1,eps,maxnum）;
disp（'Gauss-Seidel方法'）;
Gauss_Seidel（A1,b1,eps,maxnum）;
end
fori=8:
12
disp（'----------------------松弛因子--------------------'）;
omega=i/10.0;
disp（omega）;
disp（'SOR方法'）;
SOR（A1,b1,omega,10^（-5）,maxnum）;
end
zeros9=zeros（9,1）;
zeros10=zeros（1,10）;
diag1=-1*eye（9）;
tempU=[[zeros9,diag1];zeros10];
tempL=[zeros10;[diag1,zeros9]];
A2=4*eye（10）+tempU+tempL;
b2=[75-1326-1214-45-5]';
maxnum=10^5;
fori=3:
5
disp（'----------------------精度--------------------'）;
eps=10^（-i）;
disp（eps）;
disp（'雅克比迭代法'）;
Jacobi（A2,b2,eps,maxnum）;
disp（'Gauss-Seidel方法'）;
Gauss_Seidel（A2,b2,eps,maxnum）;
end
fori=8:
12
disp（'----------------------松弛因子--------------------'）;
omega=i/10.0;
disp（omega）;
disp（'SOR方法'）;
SOR（A2,b2,omega,10^（-5）,maxnum）;
end
4、结果分析和讨论
4.1Jacobi迭代法
精度
方程组
方程组一谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛
方程组二121519
结果分析：
（1）、对于方程组一，通过计算，因谱半径大于1，迭代不收敛，不可使用Jacobi迭代法求解。
（2）、对于方程组一，因谱半径小于1，迭代收敛。
同时可以发现：
随着精度要求的提高，迭代次数提高。
4.2Gauss-Seidel迭代法
精度
方程组
方程组一谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛
方程组二91113
结果分析：
（1）、对于方程组一，通过计算，因谱半径大于1，迭代不收敛，不可使用Jacobi迭代法求解。
（2）、对于方程组一，因谱半径小于1，迭代收敛。
同时可以发现：
随着精度要求的提高，迭代次数提高。
3.3SOR方法（精度取
）
松弛因子
方程组0.80.91．01.11.2方程组一谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛谱半径大于1，迭代不收敛方程组二1916131113结果分析：
（1）、对于方程组一，通过计算，因谱半径大于1，迭代不收敛，不可使用Jacobi迭代法求解。
（2）、对于方程组一，因谱半径小于1，迭代收敛。
同时可以发现：
当松弛因子取1.1时，迭代次数较小。
（3）、综上可得：
SOR方法的迭代次数最少。
5、心得体会
本次试验涉及到了用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法3种方法。
需要对这些方法的原理都要掌握才能写出程序，由于理论知识的欠缺，我花了很大一部分时间在看懂实验的原理上，看懂了实验原理之后就开始根据原理编写程序，程序中还是出现了很多的低级错误导致调试很久才能运行。
通过这次试验使我深刻的体会到理论知识的重要性，没有理论知识的支撑是写不出程序来的。
写程序时还会犯很多低级的错误，以后一定要加强理论知识的学习，减少编程时低级错误的产生。
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