条件概率乘法公式.docx

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条件概率乘法公式

1.4

条件概率、乘法公式

一、条件概率

二、乘法定理

三、全概率公式与贝叶斯公式

四、小结

一、条件概率

1.引例将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反

两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事

件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已

经发生的条件下事件B发生的概率.

分析设H为正面,HT为反面TT}.

21

42

事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为

P（BA>,则P（BA>

1

3

14

34

P（AB>

P（A>

≠P（B>.

A{HH,HT,TH},B{HH,TT},P（B>.

S{HH,TH,.

2.定义

设A,B是两个事件,且P（A>0,称

P（BA>

P（AB>

P（A>

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

同理可得

P（AB>

P（AB>

P（B>

为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.

3.性质

（1>非负性:

P（BA>≥0。

（2>规范性:

P（SB>1,P（∅B>0。

（3>P（AUA2B>P（AB>P（A2B>−P（AA2B>。

（4>P（AB>1−P（AB>.

B

件,则有

⎝i1⎠i1

∞

（5>可列可加性:

设B12,L是两两不相容的事

111

⎛∞⎞

P⎜⎜UBiA⎟⎟∑P（BiA>.

二、乘法定理

设P（A>0,则有

P（AB>P（BA>P（A>.

设A,B,C为事件,且P（AB>0,则有

P（ABC>P（CAB>P（BA>P（A>.

推广设A1,A2,L,An为n个事件,n≥2,

且P（A1A2LAn−1>0,则有

P（A1A2LAn>P（AnA1A2LAn−1>

P（An−1A1A2LAn−2>LP（A2A1>P（A1>.

例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只

二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽

样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为

“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P（B|A>.

解将产品编号,1,2,3为一等品。

4号为二等品.

以（i,j>表示第一次、第二次分别取到第i号、第

j号产品,则实验的样本空间为

S{（1,2>,（1,3>,（1,4>,（2,1>,（2,3>,（2,4>,L,

（4,1>,（4,2>,（4,3>},

A{（1,2>,（1,3>,（1,4>,（2,1>,（2,3>,（2,4>,

（3,1>,（3,2>,（3,4>},

AB{（1,2>,（1,3>,（2,1>,（2,3>,（3,1>,（3,2>},

由条件概率的公式得

P（BA>

P（AB>

P（A>

612

912

2

3

.

例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为

0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个

20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是

多少?

解

设A表示“能活20岁以上”的事件，

B表示“能活25岁以上”的事件,

则有

P（BA>

P（AB>

P（A>

.

因为P（A>0.8,P（B>0.4,

P（AB>P（B>,

所以P（BA>

P（AB>

P（A>

0.41

0.82

.

抓阄是否与次序有关?

例3五个阄,其中两个阄内写着“有”

字，三个阄内不写字，五人依次抓取,

问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?

解设Ai表示“第i人抓到有字阄”的事件,

i1,2,3,4,5.

2

5

P（A>P（AS>P（A2I（AUA>>

则有P（A1>,

2211

P（AAUAA>P（A1A2>P（A1A2>

P（A1>P（A2A1>P（A1>P（A2A1>

2132

5454

2

5

P（A3>P（A3S>P（A3（A1A2UA1A2UA1A2>>

P（A1A2A3>P（A1A2A3>P（A1A2A3>

1212

P（A>P（A2A>P（A3AA2>P（A>P（A2A>P（A3AA2>

P（A1>P（A2A1>P（A3A1A2>

231321322

543543543

故抓阄与次序无关.

2

5

2

5

111111

依此类推P（A4>P（A5>.

摸球实验

例4设袋中装有r只红球、t只白球.每次自袋中

任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只

与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球

四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取

到白球的概率.

解设Ai（i1,2,3,4>为事件“第i次取到红球”

则A3、A4为事件第三、四次取到白球.

因此所求概率为

P（A1A2A3A4>

P（A4A1A2A3>P（A3A1A2>P（A2A1>P（A1>

tatrar

rt3art2artart

.

此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.

⋅

⋅

⋅

例5设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时

打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落

下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三

次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未

打破的概率.

解以Ai（i1,2,3>表示事件"透镜第i次落下打破",

以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.

因为BA1A2A3,

所以P（B>P（A1A2A3>P（A3A1A2>P（A2A1>P（A1>

（1−

9

10

>（1−

7

10

1

2

3

200

.

>（1−>

三、全概率公式与贝叶斯公式

1.样本空间的划分

B

E的一组事件,若

（i>BiBj∅,i≠j,i,j1,2,L,n。

（ii>B1UB2ULUBnS.

B

B3

B2

B1

LBn−1Bn

定义设S为实验E的样本空间,B12,L,Bn为

则称B12,L,Bn为样本空间S的一个划分.

2.全概率公式

定理

设实验E的样本空间为S,A为E的事件,

B1,B2,L,Bn为S的一个划分,且P（Bi>0（i

1,2,L,n>,则

P（A>P（AB1>P（B1>P（AB2>P（B2>L

P（ABn>P（Bn>

全概率公式

证明

AASAI（B1UB2ULUBn>

AB1UAB2ULUABn.

由BiBj∅⇒（ABi>（ABj>∅

⇒P（A>P（AB1>P（AB2>LP（ABn>

P（AB>P（B>P（AB2>P（B2>LP（ABn>P（Bn>.

图示

B2

B3

A

LBn−1

B1

Bn

化整为零

各个击破

11

说明全概率公式的主要用处在于它

元件制造厂

1

2

3

次品率

0.02

0.01

0.03

提供元件的份额

0.15

0.80

0.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且

无区别的标志.

（1>在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的

概率。

（2>在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是

次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三

家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.

解设A表示“取到的是一只次品”,Bi（i1,2,3>

表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.

则

B1,B2,B3是样本空间S的一个划分,

且

P（B1>0.15,

P（B2>0.80,

P（B3>0.05,

P（AB1>0.02,

P（AB2>0.01,

P（AB3>0.03.

（1>由全概率公式得

P（A>P（AB1>P（B1>P（AB2>P（B2>P（AB3>P（B3>

0.0125.

（2>由贝叶斯公式得

P（B1A>

P（AB1>P（B1>

P（A>

0.020.15

0.0125

0.24.

P（B2A>

P（B3A>

P（AB2>P（B2>

P（A>

P（AB3>P（B3>

P（A>

0.64,

0.12.

故这只次品来自第2家工厂的可能性最大.

例8对以往数据分析结果表明,当机器调整得

良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某

种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动

时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日

早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的

概率是多少?

解设A为事件“产品合格”,

B为事件“机器调整良好”.

则有

P（AB>0.98,

P（AB>0.55,

P（B>0.95,

P（B>0.05,

由贝叶斯公式得所求概率为

P（BA>

P（AB>P（B>

P（AB>P（B>P（AB>P（B>

0.980.95