（2）L=K，即工具变量的个数等于未知参数的个数时，矩条件方程唯一解，参数恰好识别。
估计量为：
19
如前所述，OLS估计量和IV估计都是这种情况下的特殊形式。
（3）L>K，即工具变量的个数大于未知参数的个数时，采用不同的矩方程可以得到不同的解，因此，矩方程具有多个解。
1.2.2秩条件与阶条件
从（17）式得到的矩条件方程为：
可以看出，要使得β有解，。
如果，则存在唯一解；如果，则无解；，则存在多个解。
要得到的唯一解，矩阵的转置必须存在。
而为阶矩阵，因此，β有唯一解的充分条件是，称之为工具变量的秩条件。
秩条件暗含的另外一个假定是L≥K，即工具变量的个数大于内生解释变量的个数。
称之为工具变量的阶条件。
如果L>K，称为过度识别；如果L=K，则称为恰好识别。
1.2.3GMM估计及渐进特征
当L>K时，秩条件不成立，MM方法存在多个解。
这时，可以采用两种方法。
其一，将多个工具变量组合成为K个工具变量。
这即是2SLS。
在2SLS中的第一阶段，用每一个内生变量对L个工具变量回归，得到K个拟合值；然后，用这K个拟合值作为工具变量进行LS回归。
第二种方法即是GMM估计。
后面将会看到，TSLS方法是GMM方法在同方差假定下的特例。
GMM方法即是解决L>K情况下的一般方法。
GMM方法完全是根据矩条件来估计参数，因此对扰动项的分布形式没有任何假定，这一点使GMM估计成为稳健性分析中的重要应用。
1．GMM估计
广义矩方法即是处理过度识别情况的一般方法。
首先来看一下如何将MM估计推广到GMM估计。
设模型为
y=f（x,β）+u
x中包含K个变量，L个工具变量表示为z。
在MM估计中，利用K个工具变量估计K个未知参数，需要构建K个矩方程。
每个矩条件表示为ml（l=1,2,…,K）。
K个矩方程为
等价于解方程：
。
A
当存在L>K个工具变量时，共有L个矩方程，而只有K个未知参数。
因此，根据MM方法，共有个组合，可以得到的矩估计量的个数为。
这时，每个组合得到的MM估计量都不能满足A式，即A式不会恰好为0。
但可以考虑将各种不同的估计结果综合起来，使A式最小化。
比如，
20
即使得L个矩条件的平方和最小。
因为不同矩的方差不同，因此更科学的方法是使用加权的平方和，
21
Wt可以是任意的正定矩阵（可以依赖于数据，但不包含未知参数）。
事实上（20）式是（21）式的一个特例，即Wt=I。
GMM估计量是求下式的最优解：
22
括号中的Wt表示GMM估计量取决于Wt，不同的权数矩阵会得到不同的估计量。
根据一阶条件
便可以得到GMM估计量。
令为（L×K）矩阵，第（i，j）元素表示第i个矩条件对第j个参数的导数。
比如，在线性模型y=xβ+u中，令表示参数β的GMM估计。
则矩条件为
目标函数为：
一阶条件为：
23
进而可求得GMM估计量
2．任意正定权数矩阵的GMM估计量的渐进特征
定理：
对于任意正定权数矩阵，具有一致性：
24
定理：
对于任意正定权数矩阵，具有渐进正态性：
25
其中，，
注：
对一阶条件在真实参数处进行泰勒级数展开便可得到GMM估计量的极限分布。
如果权数矩阵选择为单位矩阵，那么渐进协方差为。
3．任意正定权数矩阵的矩的渐进特征
GMM估计中，不仅参数估计量具有渐进正态性，而且矩也具有渐进正态性。
假设1：
如果Wt为正定矩阵，且。
假设2：
。
根据大数定理，样本矩收敛于总体矩，
，当时。
26
又根据中心极限定理，
27
其中，S表示的渐进协方差矩阵，即。
任意权数矩阵下，的渐进分布为：
28
其中，，B是对称幂等矩阵。
1.2.4最优权数矩阵的选择
对于任意满足假设1的权数矩阵，都具有一致性。
接下来，我们介绍如何确定最优的Wt及其渐进分布特征。
1．最优权数矩阵的选择
首先我们回顾一下GLS估计的思想。
对于方程，假设。
转换矩阵M满足：
转换后的新模型为：
令，即。
新的随机误差项的协方差矩阵为，是同方差、无序列相关的。
模型的目标函数为：
即，目标函数是u的加权平方和，而权数矩阵则是u的协方差矩阵的逆矩阵。
根据一阶条件得到GLS估计量：
与GLS相类似，GMM方法中，目标函数为各个矩的加权平方和，权数的选择则要考虑各个矩的异方差和相关性。
最优权数即是各个矩的协方差矩阵的逆矩阵。
，，30
如果为一致估计量对应的矩，则S的一致估计量为：
32
因此，最优权数矩阵为：
33
31
θ的GMM估计量使得下式最小化
34
对于线性模型，。
如果误差项是同方差的，即，则
其中，是的一致估计量。
如果存在异方差，但不存在自相关，则S的估计量为：
如果存在自相关，则S的估计量为：
可以利用HAC估计量。
令
表示滞后j阶的协方差矩阵。
那么
•如果当j大于某个阶数q时，，我们可以使用统计量：
其中，协方差估计量为：
注：
EViews中，HAC异方差一致协方差矩阵为：
其中，
需要选择核k和窗宽q。
2．选择最优权数矩阵时GMM估计量的渐进特征
当权数矩阵时，的渐进正态分布为
35
3．选择最优权数矩阵时矩的渐进特征
当权数矩阵时，将其带入上式中，并利用B的对称幂等性质，可以得到的渐进分布为：
36
S是矩条件的方差，S越大，V越大。
G反映了矩条件对θ变化的敏感程度，G越大，V越小。
因此，GMM估计量的方差取决于S和G，与S呈正比，与G呈反比。
1.2.5GMM估计步骤
要得到最优估计量，需要先得到权数矩阵；而要得到权数矩阵，需要先得到参数估计量。
因此，参数估计量和权数矩阵是两个相互交错的问题。
1．两步有效GMM估计
因为，对于任意权数矩阵，GMM估计总是一致的，因此可以先选择一个初始矩阵，得到参数的一致估计量，并利用该估计量计算权数矩阵，再利用新计算的权数矩阵的重新估计。
这即是两部GMM估计。
Step1：
选择初始权数矩阵，比如或，计算的一致估计量：
然后估计最优权重矩阵。
Step2：
利用第一步中得到的最优权重矩阵进行GMM估计，得到两步有效GMM估计量
.
2．K-Step迭代GMM估计
Step1：
选择初始权数矩阵，估计量表示为。
Step2：
估计新的权数矩阵，重新估计得到。
Step3：
反复迭代，直至收敛。
3．连续更新GMM估计
与前两种方法不同，连续更新GMM估计不是在和W之间反复迭代，而是将W看作是的函数，求解下式的最小化：
显然，上式的一阶条件与原来的一阶条件不同，但这种方法与两步估计和K步迭代估计是渐进等价的，但这种方法具有最好的小样本特征。
1.3模型设定检验
1.3.1Hansen过度识别约束检验（SarganJ检验）
当L>K时，矩条件个数多于参数个数。
这时，可能部分矩条件不成立。
因为这时参数属于过度识别，因此，对矩条件是否成立的检验也称为过度识别约束检验。
当权数矩阵选择最优矩阵时，即，那么
37
注意：
EViewsGMM输出结果中给出的J统计量没有乘以T。
1.3.2检验正交条件的子集
假设存在L>K个工具变量。
L个工具变量分为两组，。
包括L1个工具变量，包括L2=L-L1个工具变量。
前L1个工具变量满足正交条件，但怀疑后L2个工具变量的正交条件是否得到满足。
比如，模型设定为：
38
工具变量满足
39
需要检验的是：
40
如果可信的工具变量的个数L1>=K，就可以对后L2个工具变量是否满足正交条件进行检验。
其基本思想是，分别用和作为工具变量估计模型（39），并分别计算J统计量。
如果增加可疑的工具变量使得J统计量明显增加，则表明不满足正交条件。
根据工具变量，将拆分成
，
其对应的协方差矩阵分解为：
其中，，，，。
根据（39）式，使用作为工具变量时，，J统计量为：
41
使用作为工具变量时，，J统计量为：
42
构建统计量：
43
在小样本情况下，C统计量可能会出现负值。
我们在工具变量估计中已经知道，方程的标准差如果采用相同的估计量（或者是一致估计，或者是有效估计，大部分采用有效估计），则可以
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