普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解辽宁文.docx

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普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解辽宁文

2012年辽宁文

一、选择题（共12小题；共60分）

1.已知向量，，若，则

A.B.C.D.

2.已知全集，集合，集合，则

A.B.C.D.

3.复数

A.B.C.D.

4.在等差数列中，已知，则

A.B.C.D.

5.已知命题，则是

A.

B.

C.

D.

6.已知，，则

A.B.C.D.

7.将圆平分的直线是

A.B.C.D.

8.函数的单调递减区间为

A.B.C.D.

9.设变量满足则的最大值为

A.B.C.D.

10.执行如图所示的程序框图，则输出的值是

A.B.C.D.

11.在长为的线段上任取一点．现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积大于的概率为

A.B.C.D.

12.已知为抛物线上两点，点的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为

A.B.C.D.

二、填空题（共4小题；共20分）

13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

14.已知等比数列为递增数列．若，且，则数列的公比 ．

15.已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点．若，则的值为 ．

16.已知点，，，，是球表面上的点，，四边形是边长为的正方形．若，则的面积为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）

17.在中，角，，的对边分别为，，．角，，成等差数列．

（1）求的值；

（2）若边，，成等比数列，求的值．

18.如图，直三棱柱，，，，点、分别为和的中点．（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）

（1）证明：

；

（2）求三棱锥的体积．

19.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性．

附：

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

（2）将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性．若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率．

20.如图，动圆，，与椭圆相交于，，，四点，点，分别为的左、右顶点．

（1）当为何值时，矩形的面积取得最大值?

并求出其最大面积；

（2）求直线与直线交点的轨迹方程．

21.设，证明：

（1）当时，；

（2）当时，．

22.如图，和相交于，两点，过作两圆的切线分别交两圆于，两点，连接并延长交于点．证明：

（1）；

（2）．

23.在直角坐标系中，圆，圆．

（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆、的极坐标方程，并求出圆，的交点坐标（用极坐标表示）；

（2）求圆与的公共弦的参数方程．

24.已知，不等式的解集为．

（1）求的值；

（2）若恒成立，求的取值范围．

答案

第一部分

1.D2.B3.A4.B【解析】法1：

由，得，

所以．

法2：

由等差数列性质知．

5.C

6.A【解析】由可得，，故．

7.C【解析】将圆平分的直线即指过圆心的直线．

8.B9.D【解析】画出可行域，根据图形可知当，时最大，最大值为．

10.D

【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，发现以为周期重复出现．

11.C12.C【解析】由题意得的坐标为，又因为，所以过点的切线的斜率分别为，所以两条切线方程分别为，联立方程可得，故点的纵坐标为．

第二部分

13.

【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体．由三视图可知长方体的长、宽、高分别为，圆柱的底面半径为，高为，故该组合体的体积为．

14.

【解析】设等比数列的公比为，由题意，得，且，即，解得．

15.

【解析】不妨设为右支上的点，由双曲线的定义，得①

由勾股定理，得②

①式平方后减去②式，得③

由②与③相加得：

，

即．

16.

【解析】提示：

因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知的中点即为球心，为边长为的等边三角形．

第三部分

17.

（1）由已知

解得

所以．

（2）（解法一）

由已知及，根据正弦定理得

所以

（解法二）

由已知及，根据余弦定理得

解得，所以

故

18.

（1）证法一：

连接，，由已知，，

三棱柱为直三棱柱，所以为中点．

又因为为的中点，所以．

又，，

因此．

证法二：

取中点，连接，．

因为，分别为与的中点，

所以，，

所以，，

又，因此平面，

而．因此．

（2）解法一：

连接，如图，

由题意得，，

所以．

又，故

解法二：

19.

（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下：

将列联表中的数据代入公式计算，得

因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．

（2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为

其中表示男性，；表示女性，．

由个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用表示"任选人中，至少有人是女性"这一事件，则

事件由个基本事件组成，因而

20.

（1）设，则矩形的面积．由得

从而

当，时，

从而时，矩形的面积最大，最大面积为．

（2）由，，，知直线的方程为

直线的方程为

由①②得

又点在椭圆上，故

将④代入③得

因此点的轨迹方程为

21.

（1）证法一：

记，则当时，

所以在上为减函数，从而

而，所以

即

证法二：

由均值不等式，当时，，则

令，则

所以在上为减函数，从而

即

由得，当时，

（2）证法一：

记，由

（1）得

令，则当时，

因此在内是递减函数，又由，得

所以

因此在内单调递减．又，得

于是当时，

证法二：

记，则当时，由

（1）得

因此在内单调递减，又，所以

即

22.

（1）由与相切于，得．同理，所以，从而

即．

（2）由与相切于，得．又，得

从而

即，结合

（1）的结论，．

23.

（1）圆的极坐标方程为

圆的极坐标方程为

解方程组

得

故圆与圆交点的坐标为．

注：

极坐标系下点的表示不唯一．

（2）解法一：

由

得圆与交点的直角坐标分别为

故圆与的公共弦的参数方程为

其中\\left（-{\sqrt{3}}\leqslantt\leqslant{\sqrt{3}}.\\right）

解法二：

将\\left（x=1\\right）代入\\left（

\\right）得\\left[\rho\cos\theta=1，\]从而从而

于是圆与的公共弦的参数方程为

其中\\left（-{\dfrac{\mathrm\pi}{3}}\leqslant\theta\leqslant{\dfrac{\mathrm\pi}{3}}.\）

24.

（1）由

24.

（1）由得

又的解集为，

所以当时，不合题意；当时，

解得

（2）记

则

所以

因此的取值范围为．