高三模拟一文数试题 含答案.docx
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高三模拟一文数试题含答案
2019-2020年高三模拟
（一）文数试题含答案
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1.设为虚数单位，则复数的虚部是（）
A．3B．C．1D．-1
2.记集合，则（）
A．B．C．D．
3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）
A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱
4.已知向量，若，则的值可以是（）
A．B．C．D．
5.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）
A．B．C．D．
6.已知定义在上的函数满足，且，则下列函数值为1的是（）
A．B．C．D．
7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机
不使用智能手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
附表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算，则下列选项正确的是：
（）
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
8.函数的单调递增区间是（）
A．B．C．D．
9.平面直角坐标系中，动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则点的轨迹方程是（）
A．B．C．D．
10.非负实数满足，则关于的最大值和最小值分别为（）
A．2和1B．2和-1C．1和-1D．2和-2
11.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数不可能是（）
A．0.7B．0.75C．0.8D．0.9
12.已知函数，则关于的语句为假命题的是（）
A．B．
C．D．，使得
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为__________．
14.记等差数列的前项和为，若，则_________．
15.的周长等于，则其外接圆半径等于____________．
16.分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则的最小值为___________．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为．
（1）找出与的函数关系；
（2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值．
18.（本小题满分12分）
空气质量指数（AirQualityIndex，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；为严重污染．
一环保人士记录去年某地某月10天的的茎叶图如右．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）若从样本中的空气质量不佳（）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率．
19.（本小题满分12分）
如图，矩形垂直于正方形垂直于平面．且．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：
面面．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的顶点到直线的距离分别为．
（1）求的标准方程；
（2）设平行于的直线交于两点，若以为直径的圆恰过坐标原点，求直线的方程．
21.（本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）判断是否存在直线与的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，是以为直径的半圆上两点，且．
（1）若，证明：
直线平分；
（2）作交于．证明：
．
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）曲线的参数方程为（为参数），求与的公共点的极坐标．
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
设均为实数．
（1）证明：
．
（2）若，证明：
．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
C
C
D
A
C
A
D
A
A
二、填空题
13.14.201615.116.4
三、解答题
17.【解析】
（1）．．．．．．．．．3分
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
故当且仅当，即时，最大，且最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分
18．【解析】
（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，．．．．． 2分
故该样本中空气质量优良的频率为，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
估计该月空气质量优良的频率，从而估计该月空气质量优良的天数为．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为；中度污染1天，记为；重度污染1天，记为，从中随机抽取两天的所有可能结果表示为：
共15个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
其中空气质量等级恰好不同的结果有
共9个．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19.【解析】
（1）因为面面，
面面，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又因为面，故，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
因数，
所以即三棱锥的高，
因此三棱锥的体积．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
如图，设的中点为，连结．
在中可求得；
在直角梯形中可求得；
在中可求得；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
从而在等腰，等腰中分别求得，
此时在中有，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为是等腰底边中点，所以，
所以，
因此面面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.【解析】
（1）由直线的方程知，直线与两坐标轴的夹角均为45°，
故长轴端点到直线的距离为，短轴端点到直线的距离为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
求得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以的标准方程为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）依题设直线，
由得：
，
判别式解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
设，
则，故，
设原点为，以为直径的圆恰过坐标原点，故，
所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
解得：
，满足且，
故所求直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21.【解析】
（1），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为在上单调递增
所以即在恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
而在上单调递增，故的值域为，
所以，即的取值范围为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）不存在这样的直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
证明：
假设存在这样的直线，设两切点分别为，其中，
依题意有，
由得：
，
即，显然．．．．．．．．．．．．．．8分
故；
而
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
即，
故不存在直线与的图象有两个不同的切点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22.【解析】
（1）由题设可知，，
因为，所以，
从而，因此，平分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）连结，由知，，
因为为直径，所以，
从而，又因为，
所以，
因此，
所以，而，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23.【解析】
（1）将代入得：
．．．．．．．．4分
（2）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为的直线，
因此的极坐标方程为或，，
将代入，解得：
，
同理，将代入得：
，不合题意．
故公共点的极坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
24.【解析】
（1）；
．．．．．．．．．．．5分
（2）由
（1）知，，
而，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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