∵x为整数，∴x＝6，即学生有4x＋20＝44（人）．
16．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥－2．
【解】 解不等式①，得x>3＋a。
解不等式②，得x<1.
∵不等式组无解，
∴3＋a≥1，即a≥－2.
17．已知一次函数y＝2x＋2a与y＝－x＋b的图象都经过点A（－2，a），且与x轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积为__12__．
【解】 把点A（－2，a）的坐标分别代入y＝2x＋2a，y＝－x＋b，得∴
∴y＝2x＋8，y＝－x＋2.
易得点B（－4，0），C（2，0），
∴S△ABC＝×[2－（－4）]×4＝12.
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝，则AE＝__2__．
（第18题））
（第18题解））
【解】 如解图，过点A作AF⊥BD于点F.
∵∠DAB＝90°，∠ABD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AF为BD边上的中线，
∴AF＝BD.
∵AD＝AB＝，
∴根据勾股定理，得BD＝＝2，
∴AF＝.
∵∠CDE＝90°＝∠AFE，∴CD∥AF，
∴∠EAF＝∠DCA＝30°，∴EF＝AE.
设EF＝x，则AE＝2x.
根据勾股定理，得x2＋3＝4x2，
解得x＝1（负值舍去）．
∴AE＝2.
（第19题）
19．如图，两把完全相同的含30°角的三角尺叠放在一起，且∠DAB＝30°.有下列结论：
①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG∶GE＝∶4.其中正确的是①②③（填序号）．
【解】 由题意，得△ADE≌△ACB，
∴∠D＝∠C，∠E＝∠B，∠DAE＝∠CAB＝90°，AD＝AC，
∴∠DAE－∠BAE＝∠CAB－∠BAE，
∴∠CAF＝∠DAG＝30°.
∵∠B＝∠30°，∴∠D＝∠C＝60°，
∴∠AGD＝∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，故①正确．
在△ADG和△ACF中，
∵
∴△ADG≌△ACF（ASA），故②正确．
∴AG＝AF.
连结AO.
在Rt△AGO和Rt△AFO中，
∵
∴Rt△AGO≌Rt△AFO（HL）．
∴∠GAO＝∠FAO.
∵∠DAE＝90°，∠DAB＝30°，
∴∠GAF＝60°，∴∠GAO＝∠FAO＝30°，
∴∠AOC＝∠OAB＋∠B＝60°，OA＝OB，
∴△AOC是等边三角形，∴OC＝OA＝OB，
∴O为BC的中点，故③正确．
∵∠E＝30°，∠AGE＝90°，∴AE＝2AG.
设AG＝a，则AE＝2a.由勾股定理，得GE＝a，
∴AG∶GE＝a∶a＝1∶，故④错误．
综上所述，正确的是①②③.
20．已知一次函数y＝x－15的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点（整点）共有__106__个．导学号：
91354038
【解】 易得点A（12，0），B（0，－15）．
设当x＝n时，在△OAB内部且不在x轴上的整点个数为an.
易得a1＝13，a2＝12，a3＝11，a4＝10，a5＝8，a6＝7，a7＝6，a8＝5，a9＝3，a10＝2，a11＝1.
在坐标轴上的点共有15＋1＋12＝28（个）．
∴整点共有13＋12＋11＋10＋8＋7＋6＋5＋3＋2＋1＋28＝106（个）．
三、解答题（共50分）
21．（6分）
（1）解不等式组：
并把它的解在数轴上表示出来．
【解】 解第一个不等式，得x≤2.
解第二个不等式，得x＞－1.
∴此不等式组的解为－1＜x≤2.
在数轴上表示如解图①所示．
（第21题解①）
（2）解不等式组：
并把它的解在数轴上表示出来．
【解】 解第一个不等式，得x＜4.
解第二个不等式，得x≥－1.
∴此不等式组的解为－1≤x＜4.
在数轴上表示如解图②所示．
（第21题解②））
（第22题）
22．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上的一点，且CE＝BC.
（1）求ME的长．
（2）求证：
△DMC是等腰三角形．
【解】
（1）∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴BM＝CM＝BC＝CE＝3，
∴ME＝MC＋CE＝3＋3＝6.
（2）∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC.
∵D为AC的中点，∴DM＝DC，
∴△DMC是等腰三角形．
23．（6分）如图，已知∠CDA＝∠AEB＝90°，且CD＝AE，AD＝BE.
（第23题）
（1）求证：
AC＝BA.
（2）△ABC是什么三角形？
请说明理由．
（3）如果AM⊥BC，那么AM＝BC吗？
请说明理由．
【解】
（1）在△ACD和△BAE中，
∵CD＝AE，∠CDA＝∠AEB＝90°，AD＝BE，
∴△ACD≌△BAE（SAS）．∴AC＝BA.
（2）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
由
（1）知△ACD≌△BAE，
∴AC＝BA，∠CAD＝∠ABE，
∴∠BAC＝180°－∠CAD－∠BAE＝180°－∠ABE－∠BAE＝180°－90°＝90°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
（3）AM＝BC.理由如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，且AM⊥BC，
∴BM＝CM，∴AM＝BC.
24．（10分）某经销商从市场得知如下信息：
A品牌手表
B品牌手表
进价（元/块）
700
100
售价（元/块）
900
160
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y元．
（1）试写出y与x之间的函数表达式．
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商获得的利润最大？
最大利润是多少元？
【解】
（1）由题意，得y＝（900－700）x＋（160－100）（100－x）＝140x＋6000.
∵700x＋100（100－x）≤40000，
解得x≤50，即y＝140x＋6000（0≤x≤50）．
（2）令y≥12600，则140x＋6000≥12600，
解得x≥47.
又∵x≤50，∴47≤x≤50，
∴x可取得48，49，50.
∴经销商有三种进货方案：
方案一，进A品牌手表48块，B品牌手表52块；
方案二，进A品牌手表49块，B品牌手表51块；
方案三，进A品牌手表50块，B品牌手表50块．
（3）∵y＝140x＋6000，140>0，
∴y随x增大而增大，
∴当x＝50时，y取得最大值．
又∵140×50＋6000＝13000（元），
∴选择方案三，即进A品牌手表50块，B品牌手表50块时，经销商获得的利润最大，最大利润是13000元．
25．（10分）【问题提出】
用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
【问题探究】
不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然只能搭成一种等腰三角形．
所以，当n＝3时，m＝1.
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
所以，当n＝4时，m＝0.
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n＝5时，m＝1.
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n＝6时，m＝1.
综上所述，可得表如下：
n
3
4
5
6
m
1
0
1
1
【探究二】
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在下表中）?
n
7
8
9
10
…
m
2
1
2
2
…
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形（只需把结果填在上表中）?
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
【问题解决】
用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形（设n分别等于4k－1，4k，4k＋1，4k＋2，其中k是正整数，把结果填在下表中）?
n
4k－1
4k
4k＋1
4k＋2
…
m
…
【问题应用】
用2019根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形（写出解答过程）?
【解】 【探究二】
（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形；若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n＝7时，m＝2.
（2）同
（1）可得：
当n＝8时，m＝1；当n＝9时，m＝2；当n＝10时，m＝2.
【问题解决】
由规律，补充表如下：
n
4k－1
4k
4k＋1
4k＋2
…
m
k
k－1
k
k
…
【问题应用】
∵2019÷4＝504……2，
∴用2019根相同的木棒搭一个三角形，能搭成504种不同的等腰三角形．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，3），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°.若第二象限内有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．
（第26题）
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）求a的值．
（3）在x轴上是否存在一点M，使△MAC为等腰三角形？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．导学号：
91354039
【解】
（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）．由题意，得
解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3.
（2）如解图，过点P作PD⊥x轴于点D.
易得BO＝3，AO＝4，
∴AB＝＝5.
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，
∴S△ABC＝.
∵点P，且在第二象限，
∴PD＝，OD＝－a，
∴S△ABP＝S梯形PDOB＋S△AOB－S△APD
＝＋×3×4－×（4－a）×＝－a＋5，
∴－a＋5＝，解得a＝－5.
（第26题解）
（3）存在．
如解图，分三种情况讨论：
①当以点A为顶点时，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交x轴于点M1，M2，
易知AM1＝AM2＝AC＝5，
∴点M1（－1，0），M2（9，0）．
②当以点C为顶点时，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交x轴于点M3，过点C作CE⊥x轴于点E.
易知△AOB≌△CEA≌△CEM3，
∴EM3＝AE＝BO＝3，CE＝AO＝4，
∴点M3（10，0）．
③当以点M为顶点时，作AC的中垂线交x轴于点M4.
易得点C（7，4），又∵点A（4，0），
∴AC的中点坐标为.
易知AB平行于AC的中垂线，故可设AC中垂线的函数表达式为y＝－x＋b.
由题意，得－×＋b＝2，解得b＝，
∴AC中垂线的函数表达式为y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，∴点M4.
综上所述，存在点M（－1，0）或（9，0）或（10，0）或，使△MAC为等腰三角形．
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