双曲线的离心率.docx

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双曲线的离心率

双曲线的离心率

1．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

2．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）

3．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）

4．若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）

5．已知是双曲线的两焦点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

6．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为

7．当双曲线不是等轴双曲线时，我们把以双曲线的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为

8．已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）

9．已知分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，与以为圆心，为半径的圆相切于点，且恰好是的中点，则双曲线的离心率为（）

10．已知双曲线的渐近线与实轴的夹角为，则双曲线的离心率为（）

11．已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为

12．双曲线（，）的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）

13．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）

14．设双曲线C：

的离心率为，右顶点为，点，若C上存在一点，使得，则15．过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（）

16．已知、分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为

17．设、分别为双曲线，的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）

18．若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为．

19．已知为抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点．若为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．

20．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二，第四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是．21．双曲线与双曲线的离心率分别为和，则．

22．已知双曲线的左焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．

23．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：

由渐近线方程得，．故选A．

考点：

求双曲线的离心率．

2．D

【解析】

试题分析：

由题意，即，所以，即．

考点：

双曲线的性质．

【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e=是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．

3．C

【解析】

试题分析：

由得，所以是的中点，设是右焦点，则是的中点，所以，又切点，即，所以，，点双曲线上，故，所以，于是由有，得，即，故选C．

考点：

双曲线的几何性质．

4．A

【解析】

试题分析：

双曲线的一条渐近线为，由题意，化简得，所以，，故选A．

考点：

双曲线的性质．

5．A

【解析】

试题分析：

由等腰直角三角形得

考点：

双曲线方程及性质

6．B

【解析】

试题分析：

因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，由，则，在中应用余弦定理得：

，得，则．

考点：

双曲线的简单性质

7．D

【解析】

试题分析：

不妨设双曲线的标准方程为，则其“伴生椭圆”的方程为

．，解得，所以其“伴生椭圆”的离心率；故选D．

考点：

双曲线的简单性质

8．C

【解析】

试题分析：

如图，设圆与的三边分别相切于点，连接，则，它们分别是的高，，其中是的内切圆的半径．，，两边约去得：

，根据双曲线定义，得，所以离心率为，故选C．

考点：

双曲线的离心率

【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出，从而求出②构造的齐次式，求出③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于的不等式，解出的取值范围。

本题中，根据题设条件为的内心，又，可以建立关于焦半径和焦距的关系。

从而找出之间的关系，求出离心率。

9．A

【解析】

试题分析：

由题意为半径的圆相切于点，且恰好是的中点，连接,为双曲线右支上的一点，所以，,在直角三角形，化简得式子的两端同乘以，可得解得，又因为，所以应选A．

考点：

双曲线的离心率

10．C

【解析】

试题分析：

渐近线方程为．由于渐近线与实轴夹角为，所以，所以，故选C．

考点：

离心率计算问题．

11．B

【解析】

试题分析：

若,所以，又因为是的重心，所以，所以，故选B．

考点：

1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质．

12．C

【解析】

试题分析：

由双曲线的定义可得，两式相加可得，因为，所以，代入可得．

因为，所以，．

所以，所以．故C正确．

考点：

双曲线的定义．

13．A

【解析】

试题分析：

由题知：

双曲线的渐近线为，所以其中一条渐近线可以为，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以只有一个解

所以

考点：

双曲线的简单性质

14．A

【解析】

试题分析：

根据题意可知，点在以为圆心，以为半径的圆上，可以得到圆的方程为，该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组有解，联立消元得，其中一个根为，另一个根为，根据题意可知，整理得，即，从而解得，结合双曲线的离心率的取值范围，可知，故选A.

考点：

双曲线的离心率.

15．C

【解析】

试题分析：

过右顶点A斜率为的直线为，与渐近线联立可得，与渐近线联立可得，由可得，整理得

考点：

1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算

16．B

【解析】

试题分析：

由题意得，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离；关于渐近线的对称点为，与与渐近线交于点，可得；而为的中点，为的中点，所以，所以；在三角形中，，即，而，可得，所以离心率．选B．

考点：

双曲线的标准方程与几何性质．相关知识点：

点到线的距离；双曲线，离心率，．

【思路点睛】首先设出点的坐标（c，0），然后作出其关于渐近线的对称点A，连接A（如上图）．易得A∥OB，且A=2BO．然后可求出点到渐近线的距离为b，OB=a，所以A=2a，A=2b，同时可得，，最后由勾股定理即可求出b，c的关系，进而求出离心率．

17．B

【解析】

试题分析：

由双曲线定义根据点为双曲线上一点，所以，又，所以又因为

，所以有解得或（舍），所以，即，故选择B

考点：

双曲线性质

18．

【解析】

试题分析：

由双曲线的定义可知,

,即．

．

考点：

1双曲线的定义；2双曲线的离心率．

19．

【解析】

试题分析：

抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为,则交点A（），

B（）．所以要使为直角三角形，根据对称性有,所以．

考点：

求双曲线的离心率。

【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因,所以只需找到a,c或a,b的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可，不需求出a,c,b的具体的值。

如本题中

为直角三角形，根据对称性即为，从而求出a,b的一个关系，进而求出离心率。

20．．

【解析】

试题分析：

由题意，，∴的离心率．

考点：

椭圆、双曲线的标准方程及其性质．

21．1

【解析】

试题分析：

由题意得：

，所以

考点：

双曲线离心率

22．

【解析】

试题分析：

设直线方程为代入双曲线方程得，．依题意知，方程应有一正根一负根，所以两根之积小于零即,∴,故．

考点：

求离心率范围．

23．5

【解析】

试题分析：

根据题意可得

因为三角形的三边长构成等差数列，所以有①，又双曲线的定义可知，即，②．联立①②可得因为，所以即，整理可得解得

考点：

双曲线性质

（注：

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