实验五综合算法应用教师版知识讲解.docx

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实验五综合算法应用教师版知识讲解

实验五程序设计常用算法

5.1实验要求与目的

1．熟悉和掌握算法以及算法的特性

2．熟练掌握结构化程序设计的三种基本结构

3.掌握常用的数值算法（求最大公约数，迭代法、牛顿迭代法和二分法等）

4.培养解决实际问题的能力

5.2实验指导

算法（Algorithm）是计算机解题的基本思想方法和步骤，算法被称为程序设计的灵魂，也是学习编程的必备知识。

学习和掌握算法，必须要十分清楚，输入什么数据，输出什么结果，采用什么结构以及如何合理安排语句等。

通常使用自然语言、结构化流程图、伪代码等来描述算法。

利用计算机解决问题，首先要设计出适合计算机执行的算法，此算法包含的步骤必须是有限的，每一步都必须是明确的，最终能被计算机执行，而得到结果。

算法可分为两类：

1.数值运算算法。

对问题求数值解，通过运算得出一个具体值，如求方程的根等，此类算法一般有现成的模型，算法较成熟。

2.非数值运算算法。

如用于事务管理领域，图书检索等。

根据实际问题设计算法时，还要尽量考虑用重复的步骤去实现，使算法简明扼要，通用性强，不仅能减少编写程序的时间，减少上机输入和调试程序的时间，还能减少程序本身所占用的内存空间。

算法应具有以下的特性：

1.有穷性：

一个算法应包含有限的操作步骤而不能是无限的。

2.确定性：

算法中每一个步骤应当是确定的，而不能具有二义性。

3.有零个或多个输入：

通常，处理的数据对象需要从外界通过输入来获得数据。

4.有一个或多个输出：

算法的目的就是得到结果，将其结果输出。

没有输出的算法是无意义的。

5.有效性：

算法中每一个步骤应当能有效地执行，并得到确定的结果。

【5.1】编程实现，求两个正整数的最大公约数和最小公倍数。

程序文件名ex5_1.c。

分析：

利用欧几里德辗转相除法求最大公约数。

算法思想，假定两个整数m,n（m>n），用较小的数n（除数）除较大的数m（被除数），得到余数r1；若余数r1不为零，则除数作为被除数，余数r1作为除数，相除得到余数r2；若余数r2还不为零，仍是将除数作为被除数，余数r2作为除数，相除得到余数r3，这样辗转相除，直到余数是零为止。

当余数为零时的除数，称为原正整数m,n的最大公约数。

求最大公约数的算法描述。

假定两正整数为m，n，使得m>n，余数为r。

S1：

求两数的余数r。

r=m%n；

S2：

判断余数r是否为0，若为0，执行S5,否则执行S3；

S3：

m←n，n←r；

S4：

求两数的余数r。

r=m%n；返回S2；

S5：

输出最大公约数n。

最小公倍数利用公式求得。

即，最小公倍数=两个整数之积/最大公约数。

#include

voidmain（）

{intnm,r,n,m,t;

printf（"pleaseinputtwonumbers:

\n"）;

scanf（"%d,%d",&m,&n）;

nm=n*m;

if（m

{t=n;n=m;m=t;}

r=m%n;

while（r!

=0）

{m=n;

n=r;

r=m%n;

}

printf（"最大公约数:

%d\n",n）;

printf（"最小公倍数:

%d\n",nm/n）;

}

输入测试数据：

24,8

程序运行结果：

最大公约数:

8

最小公倍数:

24

小结：

1.求最大公约数和最小公倍数通常要求在自然数中求解。

如何控制输入负数时，要求重新输入数。

算法思想，先输入任意整数，然后判断其数是否符合要求，若符合正常求解，若不符合，重新输入整数。

因此先输入再判断，可采用do-while循环语句实现。

实现语句如下。

do{

printf（"inputm&n"）;

scanf（"%d%d",&m,&n）;

}while（m<=0||n<=0）;

该循环条件是若m和n至少有一个为负或为0时，重新输入两整数。

2.当if语句的判断省略时，程序调试也是正确的。

【5.2】编程实现，用迭代法求

。

求平方根的迭代公式为：

要求前后两次求出的x的差的绝对值小于10-5。

程序文件名ex5_2.c。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。

迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。

利用迭代算法解决问题，需考虑以下三个方面的问题。

1．确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量称为迭代变量。

通常情况下，设定两个迭代变量一个是迭代旧值，另一个是迭代新值，并且要给定开始迭代的初值。

2．建立迭代公式。

有的问题的迭代公式是给出的，如求非线性方程的根常用的牛顿迭代公式。

有的问题需要递推或倒推的方法来建立迭代公式。

3．确定迭代终止条件。

即在什么时候结束迭代过程？

迭代过程的控制通常可分为两种情况：

一种是规定了迭代次数。

另一种是迭代次数无法确定，分析得出结束迭代过程的条件。

分析：

根据题意，迭代公式已给定。

设定两个迭代变量x，x0，给定初值，利用迭代公式不断计算下一个x,直到x与x0的差的绝对值小于10-5为止。

采用循环语句实现迭代，而此时不能确定循环次数，只给出迭代终止的条件，所以首选while循环语句或do-while循环语句来实现。

用迭代法求平方根的算法描述：

S1：

设定迭代变量x0（旧值）的初值（一般是可设置为a/2，当然也可以设置另外的值）；

S2：

用迭代公式求出下一个x（新值）的值；

S3：

判断x-x0的绝对值是否小于等于10-5，如条件不成立，就说明x1和x0相差较大，迭代还必须进行下去。

所以，程序转到S4继续执行；如条件成立，我们就认为x1和x0近似相等了，没有必要再算下去了，退出循环体，执行S6。

S4：

x0←x。

S5：

将x0代入迭代公式，求出下一个x的值。

返回S3。

S6：

输出x的值。

因为迭代变量x与x0的误差很小，所以也可以输出x0。

#include

#include

voidmain（）

{

doublex0,x;

floata;

printf（"Pleaseinputapositivenumber:

\n"）;

scanf（"%f",&a）;

x0=a/2;

x=（x0+a/x0）/2;

while（fabs（x0-x）>=1e-5）

{x0=x;

x=（x0+a/x0）/2;

}

printf（"Thesquarerootof%6.2fis%lf\n",a,x）;

}

输入测试数据：

3

程序运行结果：

Thesquarerootof3.00is1.732051

小结：

1.以上程序，只能输入正数，如果不小心输入了负数，程序本身没有容错设置，就会出错了。

由此可以在该程序中增加一个循环程序段，用来判断输入的数是否正确。

修改上述程序，实现程序的容错设置。

#include

#include

intmain（）

{

doublex0,x;

floata;

printf（"Pleaseinputapositivenumber:

\n"）;

scanf（"%f",&a）;

while（a<0）/*判断输入是否有错误*/

{printf（"a>0,a>0,a>0:

\n"）;/*该提示信息提示要求输入的数必须是大于0的数*/

scanf（"%f",&a）;

}

x0=a/2;

x=（x0+a/x0）/2;

while（fabs（x0-x）>=1e-5）

{x0=x;

x=（x0+a/x0）/2;

}

printf（"Thesquarerootof%6.2fis%lf\n",a,x）;

}

2.由于精度问题，实数在计算机中实际表示时存在误差。

因此，在程序设计中，判断两实数是否相等，不能采用x==x0或x-x0==0的形式。

而是采用fabs（x-x0）<=10-5的形式，其含义是当两个实数的差逼近一个较小的精度值时，视这两个实数近似相等。

3.迭代初值的给定可以是任意的，但初值的选取会直接影响到迭代的次数，有时也会影响迭代的收敛性。

通常选取迭代初值时，估计一个与解接近的值。

【5.3】编程实现，用牛顿迭代法求方程

，在2附近的根。

程序文件名ex5_3.c。

牛顿迭代法（Newton'smethod），又称为牛顿切线法，是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，是求非线性方程根的重要方法之一。

图5.1牛顿迭代法求根

设f（x）=0是非线性方程，f（x）在某一区间内为单调函数，则方程f（x）=0在某一区间只有一个实根。

牛顿迭代法的几何意义，如图5.1所示，f（x）=0的解就是y=f（x）与x轴的交点的横坐标，也就是给定一个初值x1，不断通过切线方程的迭代求解而逼近解x*的过程。

先设定一个与真实根接近的x1作为第一个近似根，过点（x1,f（x1））作f（x）的切线，与x轴相交于x2，这时，我们把x2作为第二个近似根；即，

过点（x2,f（x2））作f（x）的切线，与x轴相交于x3，这时，我们把x2作为第三个近似根；即，

过点（x3,f（x3））作f（x）的切线，与x轴相交于x4，依次类推，直到接近真正的根x*为止。

由此得到牛顿迭代公式，

牛顿迭代法求非线性方程的根的基本算法：

1.确定迭代变量，旧值：

x1；新值x；以及相对应的函数值变量f1，即代表f（x1）；导数值变量f2，即代表f’（x1）。

2.牛顿迭代公式：

x=x1-f1/f2

3.确定迭代终止条件，当fabs（x-x0）<1e-5时，迭代终止。

牛顿迭代法求非线性方程的根的算法描述：

S1：

先任意确定一个与真实的根接近的初始值x；

S2：

将x1作为旧值，x1=x；

S3：

求x1的函数值f1与在这点的导数值f2；

S4：

由牛顿迭代公式求新x；

S5：

判断前后两值是否小于给定的一个值精度，若是转到S6，否则返回S2；

S6：

输出x为方程的近似根。

#include

#include

voidmain（）

{

doublex,x1,f,f1;

x=2;

do{

x1=x;

f=3*x1*x1*x1-9*x1*x1+4*x1-12;

f1=9*x1*x1-18*x1+4;

x=x1-f/f1;

}while（fabs（x1-x）>=1e-5）;

printf（"Therootis%6.2lf\n",x）;

}

程序运行结果：

Therootis3.00

【5.4】编程实现，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在（-10,10）之间的根。

程序文件名ex5_4.c。

二分法，也称为对分法。

是求非线性方程f（x）=0在区间[a,b]的实根的一种简单高效的求解方法。

二分法求方程的根是将给定的区间一分为二为两个区间，确定存在根的区间，再对该区间一分为二为两个区间，再次确定存在根的区间。

依次类推，直到分的区间足够小为止。

也可以说逐次把有根区间对分，直到找到根或有根区间的长度小于给定精度为止。

因此二分法求方程的根的关键问题，是如何确定存在根的区间？

若函数f（x）在闭区间[a,b]上为单调函数，且f（a）与f（b）异号（即f（a）*f（b）<0），则在该区间内f（x）有一个实根。

设定f（x）=2x3-4x2+3x-6，区间为[x1,x2]，区间端点的函数值变量为f1和f2。

中点变量为x,对应的函数值变量为f。

如图5.2所示。

图5.2二分法求根

二分法求非线性方程的根的算法描述：

S1．输入x1和x2的区间值；

S2。

求区间端点的函数值f1和f2；

S3．确定在该区间内函数有根。

若f1*f2>0，在该区间内无根，返回S1。

否则继续S4；

S4．计算x1，x2的中点，x=（x1+x2）/2；

S5．计算中点的函数值f；

S6．判断根存在的区间。

若f*f1>0，则根存在于区间[x,x2]，更改存在根的区间，即，x1=x，f1=f。

否则根存在于区间[x1,x]，更改存在根的区间，即，x2=x，f2=f。

S7．判断|x1-x2|<10-5或|f（x0）|<10-5。

若成立执行S8，否则返回S4；

S8．输出方程的近似根x的值。

#include

#include

voidmain（）

{

doublex1,x2,x,f1,f2,f;

do{

printf（"Enterx1,x2:

\n"）;

scanf（"%lf,%lf",&x1,&x2）;

f1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;

f2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;

}while（f1*f2>0）;

do{

x=（x1+x2）/2;

f=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6;

if（f*f1<0）

{

x2=x;f2=f;

}

else

{

x1=x;f1=f;

}

}while（fabs（x1-x2）>=1e-5）;

printf（"root=%6.3f\n",x）;

}

5.3实验内容

【5.5】编写实现，程序功能是，利用简单迭代公式

，求方程：

cos（x）-x=0的一个实根。

程序文件名：

ex5_5.c。

程序运行结果：

Root=0.739086

【参考源程序】

#include

#include

voidmain（）

{

doublex0,x1=0.0;

do{

x0=x1;

x1=cos（x0）;

}while（fabs（x0-x1）>0.000001）;

printf（"Root=%lf\n",x1）;

}

小结：

迭代步骤如下：

（1）取x1初值为0.0；

（2）x0=x1，把x1的值赋给x0；

（3）x1=cos（x0），求出一个新的x1；

（4）若x0-x1的绝对值小于0.000001，执行步骤（5），否则执行步骤

（2）；

（5）所求x1就是方程cos（x）-x=0的一个实根，作为函数值返回。

【5.6】编程实现，有一只猴子第一天摘下了若干个桃子，当即吃掉一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。

第二天接着吃了剩下的桃子中的一半，仍不过瘾，又多吃了一个。

以后每天都是吃前一天剩下的桃子的一半零一个。

到第n天（n>1）早上猴子再去吃桃子时，只剩下一个桃子了。

问猴子第一天共摘下了多少个桃子。

程序文件名：

ex5_6.c。

输入测试数据：

10

程序运行结果：

1534

【参考源程序】

#include"stdio.h"

voidmain（）

{

intday,sum;

scanf（"%d",&day）;

sum=1;

do{

sum=2*sum+2;

day--;

}while（day>1）;

printf（"%d",sum）;

}

小结：

1.假设第1天有sum个桃子，根据题意可知第2天应有桃子sum/2-1。

将问题倒过来考虑，若第n天有sum个桃子，则第n-1天就应该有2*sum+2个桃子。

所以可以看成简单的迭代，将天数看成迭代次数。

2.注意最后一天是不算的。

【5.7】编程实现，验证谷角猜想。

日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：

对于任意一个自然数n，若n为偶数，则将其除以2；若n为奇数，则将其乘以3，然后再加1。

如此经过有限次运算后，总可以得到自然数1。

人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

程序文件名：

ex5_7.c。

输入测试数据：

26

程序运行结果：

134020105168421

#include

voidmain（）

{

intn;

scanf（"%d",&n）;

while（n!

=1）

{

if（n%2==0）

n=n/2;

else

n=n*3+1;

printf（"%5d",n）;

}

}

小结：

1.定义迭代变量为n，从键盘输入任意验证整数为初值。

2.按照谷角的猜想，得到迭代关系式：

当n为偶数时，n=n/2；当n为奇数时，n=n*3+1。

3.当n=1时，迭代终止。

由问题可知，对任意给定的一个自然数n，只要经过有限次运算后，能够得到自然数1，就已经完成了验证工作。

5.4应用与提高

【5.8】编程实现，求

的值。

程序文件名：

ex5_8.c。

提示：

利用定积分的几何意义求定积分。

定积分的几何意义：

曲线

，直线y=0、x=4和x=5所围成的曲边梯形的面积。

算法思想：

将积分区间n等分后，若将阴影部分看成矩形，则n个矩形的面积之和就为定积分的值，此算法称为矩形法求定积分。

若将阴影部分看成梯形，则n个梯形的面积之和就为定积分的值，此算法称为梯形法求定积分。

如图5.3所示。

图5.3定积分的几何意义

用矩形法求定积分的表达式可描述为：

第一次运行程序

输入测试数据：

1000045

程序运行结果：

128.412767

第二次运行程序

输入测试数据：

10000045

程序运行结果：

128.416277

第三次运行程序

输入测试数据：

10000045

程序运行结果：

128.416628

【参考源程序】

#include

voidmain（）

{

intn,i;

doublea,b,x,h,f,sum=0;

printf（"inputn:

"）;

scanf（"%d",&n）;/*区间个数*/

printf（"inputa&b"）;

scanf（"%lf%lf",&a,&b）;/*积分上下限*/

h=（b-a）/n;/*矩形宽度*/

for（i=0;i

{x=a+i*h;

f=x*x*x+2*x*x-x;/*矩形高度*/

sum=sum+f*h;

}

printf（"%lf\n",sum）;

}

小结：

1.从运行结果可以看出，积分区间n等分值越大，越能够接近正确结果。

2.利用梯形法求定积分。

#include

voidmain（）

{

longn,i;

doublea,b,x,h,f,fh,sum=0;

printf（"inputn:

"）;

scanf（"%ld",&n）;/*区间个数*/

printf（"inputa&b"）;

scanf（"%lf%lf",&a,&b）;/*积分上下限*/

h=（b-a）/n;/*梯形高度*/

f=a*a*a+2*a*a-a;

for（i=1;i<=n;i++）

{

x=a+i*h;

fh=x*x*x+2*x*x-x;

sum=sum+（f+fh）*h/2;

f=fh;

}

printf（"%lf\n",sum）;

}

输入测试数据：

10000045

程序运行结果：

128.416667

从程序运行结果可以看出，梯形法比矩形法求定积分更逼近结果。

【5.9】程序填空题。

求两个正整数的最大公约数和最小公倍数。

请填空，填空时不得增行或删行，也不得更改程序的结构，一条横线上只能填写一条语句！

程序文件名ex5_9.c。

#include

voidmain（）

{intnm,r,a,b,t;

printf（"pleaseinputtwonumbers:

\n"）;

scanf（"%d,%d",&a,&b）;

nm=a*b;

if（a

{t=a;a=b;b=t;}

while（______【1】______）

{a=b;

____【2】_____;

}

nm=nm/b;

printf（"最大公约数:

%d\n",b）;

printf（"最小公倍数:

%d\n",____【3】_____）;

}

输入测试数据：

24,8

程序运行结果：

最大公约数:

8

最小公倍数:

24

参考答案：

【1】（r=a%b）!

=0或r=a%b由辗转相除求最大公约数算法可知，余数不为零是循环继续的条件。

【2】b=r在循环体内，需将a=b;b=r;从而施行辗转相除的算法。

【3】nm因两正整数的最小公倍数等于两数的乘积除以最大公约数，程序中有语句nm=m*n;为两数乘积，还有语句nm=nm/b（此时b已经是最大公约数），所以，此时nm就是最小公倍数。

【5.10】程序填空题。

用二分法求方程x2＝2在区间[1．4，1．5]的正实根的近似解（精确度0.00001）。

请填空，填空时不得增行或删行，也不得更改程序的结构，一条横线上只能填写一条语句！

程序文件名ex5_10.c。

#include

#include

voidmain（）

{

doublex1,x2,x,f1,f2,f;

do{

printf（"Enterx1,x2:

\n"）;

scanf（"%lf,%lf",&x1,&x2）;

f1=x1*x1-2;

f2=x2*x2-2;

}while（f1*f2>0）;

while（_____【1】_______）

{

x=（x1+x2）/2;

______【2】______;

if（f*f2<0）

{

___【3】____;f1=f;

}

else

{

____【4】____;f2=f;

}

}

printf（"root=%lf\n",x）;

}

输入测试数据：

1.4,1.5

程序运行结果：

root=1.414215

参考答案：

【1】fabs（x1-x2）>=1e-5由于精度问题，判断两实数是否相等，不能采用x1==x2或x1-x2==0的形式。

而是采用fabs（x1-x2）<=10-5的形式，其含义是当两个实数的差逼近一个较小的精度值时，视这两个实数近似相等。

在本题中，采用二分法直到分的区间足够小为止，否则继续，所以填写fabs（x1-x2）>=1e-5。

【2】f=x*x-2由前条语句可知，x为x1,x2的中点，此时计算出中点x所对应的函数值f。

【3】x1=x在f*f2<0时，也就是f和f2异号时，说明在x和x2之间有方程的根，所以将x1=x，实现[x1,x2]区间的缩小。

【4】x2=x在f*f2>=0时，也就是f和f2同号时，说明在x和x2之间没有方程的根，那么方程的根就是在[x1,x]之间，所以将x2=x，实现[x1,x2]区间的缩小。

5.5实验思考

【思考1】对于题目【5.1】，我们是利用了辗转相除法求两个任意正整数的最大公约数，除此之外，还是其它方法。

如辗转相减法，也称为尼考曼彻斯法，求任意两个正整数的最大公约数。

其方法是不断用较大的数减较小数，直到差为零，此时被减数或减数就为两正整数的最大公约数。

用辗转相减法编程，求任意两正整数