小波分析及其应用结课作业.docx

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小波分析及其应用结课作业

小波分析及其应用结课作业

（基于小波分析在图像处理中的应用）

姓名：

班级：

071011

学号：

********

教师：

***

学院：

数学与统计学院

摘要 

介绍了图像小波分析的基本理论和基于小波变换的分解与重构原理，利用小波变换对二维图像进行分解，将原始图像分解成不同方向、不同频率成分的子图像。

同时对含噪声图像进行小波分解。

通过选取适当的阈值，对小波分解系数进行阈值量化，再对高低频系数重构，实现图像的去噪。

最后运用MATLAB仿真平台进行仿真验证，仿真结果表明：

利用小波分析对图像进行压缩和去噪可以得到非常好的压缩效果和去噪效果。

对工程应用具有一定的借鉴意义。

关键字：

小波；图像压缩；图像去噪

一、小波理论的发展概况 

20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析（wavelctanalysis）是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。

小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。

它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。

而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。

它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。

另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。

小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。

在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。

在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。

然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。

首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。

在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。

小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。

1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与s.Mallat合作建立了构造小波基函数的多尺度分析方法后，小波分析才开始蓬勃发展起来，进而把这一理论引入到了工程应用中，特别是在信号处理领域。

在小波分析发展过程中，法国学者I.Daubeehies和s.Mallat发挥了极为重要的作用。

小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的一门应用数学分支。

由于其数学的机理的创见性和完善性、方法的实用性和现实与过程的简便性，克服了Fourier变换的不足，使其在应用上得到迅速发展。

目前，小波分析在信号与图像处理、模式识别与影像匹配、大型机械故障的在线检测、音乐与语言的人工合成、地震勘探数据处理、医学成像与诊断等领域都得到了广泛的应用。

图像处理是“信息处理”的一个方面，这一观点现在已经为人所熟知。

它可以进一步细分为多个研究方向：

图片处理、图像处理、模式识别、景物分析、图像理解、光学处理等等。

小波分析用在图像处理方面，主要是用来进行图像压缩、图像去噪、图像增强（包括图像钝化和图像锐化）、图像融合、图像分解。

2 常用小波介绍 

 Haar小波 

A.Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下：

这是一种最简单的正交小波，即

Biorthogonal（biorNr.Nd）小波系 

Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。

通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。

Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式：

Nr=1    Nd=1，3，5 

Nr=2    Nd=2，4，6，8 

Nr=3    Nd=1，3，5，7，9 

Nr=4    Nd=4 

Nr=5   Nd=5 

Nr=6    Nd=8 

其中，r表示重构，d表示分解。

Meyer函数 

Meyer小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

其中，）（a为构造Meyer小波的辅助函数，且有

3 小波分析用于图像压缩 

3.1 图像压缩概述 

通常所说的图像压缩主要指无损压缩（无失真）和有损压缩（有失真）两大类。

所谓无损压缩是指图像数据经压缩后可以完全得到复原，复原后的图像与原始图像完全一致。

有损压缩则是指经它处理的数据在基本保持原图像的特征的前提下，不可避免地要丢掉一部分原始图像信息。

图像能够进行压缩的主要原因是：

（1）原始图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻像素之间色彩的相关性等，消息中这些冗余信息将会产生额外的编码。

如果去掉冗余信息，就会减少消息所占的空间。

（2）在美图系统的应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对于边缘急剧变化不敏感（视觉掩盖效应），以及人眼对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍比较满意。

基于上述两点，无论采用无损压缩还是有损压缩。

只要损失的数据不太影响人眼主观接受的效果，即可采用。

一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。

高分辨率（即高频）子图像上大部分分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。

对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。

3.2 主要调用命令 

“whos”用于显示当前MATLAB工作空间的变量，而在命令窗口中输入data后，将显示该数据。

变量查询函数who与whos，作用都是列出在matlab工作空间中已经驻留的变量名清单，不同的是whos在给出驻留变量的同时，还给出他们的维数及性质。

wavedec2是多尺度二维小波分析，调用格式为：

 [C,L] = wavedec2（X,N,'wname'） 

即对信号X进行N尺度的小波分解，’wname’ 为所使用的小波名称。

N为正整数。

输出分解结构包括行向量C，它包含计算出的小波变换系数及定义了C中系数的排列的记录矩阵L。

C的组织形式是[A（N）|H（N）|V（N）|D（N）|H（N-1） |...H

（1）|V

（1）|D

（1）]，其中A、H、V及D分别表示逼近系数、水平系数、垂直系数及对角系数，小括号中数字的含义如H（N）表示第N次分解的水平系数。

L由两列组成，每一列对应相应的系数矩阵的大小。

3.3 程序流程图

图像压缩流程图 

4 小波分析用于图像去噪 

4.1 图像去噪概述 

噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收图像源进行理解或分析的各种因素。

一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识，。

噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。

特别是图像的输入、采集的噪声是个十分关键的问题，若输入伴有较大噪声，必然影响处理全过程及输出结果。

因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。

去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。

对二维图像信号的去噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适合。

二维模型可以表述为 

s（i,j）=f（ i,j）+δ·e（i,j）    i,j=0,1,„，m-1 

其中，e是标准偏差不变的高斯白噪声。

二维信号用二维小波分析的去噪步骤有3步：

（1）二维信号的小波分解。

选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。

（2）对高频系数进行阈值量化。

对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。

（3）二维小波的重构。

根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第一层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。

在这3个步骤中，重点是如何选取阈值和阈值的量化。

4.2 主要调用命令 

ddencmp的调用格式有以下三种：

（1）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1,IN2,X） 

（2）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1,'wp',X） 

（3）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1,'wv',X） 

函数ddencmp用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值。

输入参数X为一维或二维信号；IN1取值为'den'或'cmp'，'den'表示进行去噪，'cmp'表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。

返回值THR是返回的阈值；SORH是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP表示保存低频信号；CRIT是熵名（只在选择小波包时使用）。

wdencmp用于一维或二维信号的消噪或压缩。

其调用格式为：

1.[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp（'gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP） 

2.[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp（'lvd',X,'wname',N,THR,SORH） 

3.[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp（'lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH） 

wname是所用的小波函数，gbl（global的缩写）表示每层都采用同一个阈值进行处理，lvd表示每层用不同的阈值进行处理，N表示小波分解的层数，THR为阈值向量，对于格式

（2）（3）每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N，SORH表示选择软阈值还是硬阈值（分别取为’s’和’h’），参数KEEPAPP取值为1时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。

XC是消噪或压缩后的信号，[CXC，LXC]是XC的小波分解结构，PERF0和PERFL2是恢复和压缩L^2的范数百分比。

4.3 程序流程图 

5 运行结果

5.1图像压缩结果 

压缩前图像X的大小：

  Name      Size         Bytes  Class 

  X       256x256       524288  double array Grand total is 65536 elements using 524288 bytes 第一次压缩图像的大小为：

  Name      Size         Bytes  Class 

  ca1     135x135       145800  double array Grand total is 18225 elements using 145800 bytes 第二次压缩图像的大小为：

  Name      S ize         Bytes  Class

ca2      75x75         45000  double array Grand total is 5625 elements using 45000 bytes 运行结果如图所示：

原始图像

图像对比如图所示。

可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小：

第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分（即小波分解第二层的低频部分），其压缩比较大，压缩效果在视觉上也基本过的去。

这是一种最简单的压缩方法，只保留原始图像中低频信息，不经过其他处理即可获得较好的压缩效果。

在上面的例子中，我们还可以只提取小波分解第3、4、„层的低频信息。

从理论上说，我们可以获得任意压缩比的压缩图像。

MATLAB中实现图像压缩，还可利用现有的函数来实现。

这种方法主要包括获取压缩阈值和进行图像压缩两反面。

实现获取压缩阈值的函数有ddencmp和wdcbm2两个，实现图像压缩的函数有wdencmp、wpdencm和wthcoef2三个

5.2 图像去噪结果 

输出结果从图中5个图像的比较可以看出，Matlab中的ddencmp和wdencmp函数可以有效地进行去噪处理。

小波阈值法去噪：

主要适用于信号中混有白噪声的情况。

其优点是噪声几乎完全得到抑制，且反映原始信号的特征尖峰点得到很好的保留。

用软阈值法去噪可以使去噪信号是原始信号的近似最优估计，且估计信号至少和原始信号同样光滑而不会产生附加振荡。

6 结论 

本文对图像压缩和去噪的相关技术进行分析，并根据小波分析的原理解决图像压缩和去噪的方法，详细论述了小波分析函数在图像压缩和去噪的应用，通过MATLAB仿真结果表明，利用此方法进行图像的压缩，去噪具有比较好的效果。

随着数字图像处理技术的发展，图像压缩的应用已经深入到关系国计民生的许多领域。

而基于小波分析变化的图像压缩的应用会更显著。

在今后的发展中，小波分析变换以其独特的分解重构算法，在图像处理应用中会越来越广泛。