第2章 MATLAB的基本功能.docx
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第2章MATLAB的基本功能
第2章MATLAB的基本功能
2.1变量和数据操作
2.1.1变量与赋值
1．变量命名
在MATLAB6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。
在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。
2．赋值语句
（1）变量=表达式
（2）表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。
例2-1计算表达式的值，并显示计算结果。
在MATLAB命令窗口输入命令：
x=1+2i;
y=3-sqrt（17）;
z=（cos（abs（x+y））-sin（78*pi/180））/（x+abs（y））
其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率π和虚数单位。
输出结果是：
z=
-0.3488+0.3286i
2.1.2预定义变量
在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。
例如，用pi表示圆周率π的近似值，用i，j表示虚数单位。
预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。
2.1.3内存变量的管理
1．内存变量的删除与修改
MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。
在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。
当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。
当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。
通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。
clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。
who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。
who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。
2．内存变量文件
利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。
MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。
常用格式为：
save文件名[变量名表][-append][-ascii]
load文件名[变量名表][-ascii]
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。
变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。
当变量名表省略时，保存或装入全部变量。
-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。
save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。
2.2数值计算功能
MATLAB以矩阵为基本的运算单元，向量和标量作为特殊的矩阵处理：
向量看作只有一行或一列的矩阵；标量看作只有一个元素的矩阵。
2.2.1创建数值矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则：
◆整个矩阵应以“[]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在方括号中；
◆矩阵中，行与行之间必须用分号“；”或Enter键（按Enter键）符分隔；
◆每行中的元素用逗号“，”或空格分隔；
◆矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋值。
当矩阵中没有任何元素时，该矩阵被称作“空阵”（EmptyMatrix）。
>>A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16]
A=
1234
5678
9101112
13141516
>>B=[1,sqrt（25）,9,13
2,6,10,7*2
3+sin（pi）,7,11,15
4,abs（-8）,12,16]
B=
15913
261014
371115
481216
2．用函数创建
在MATLAB中还提供一些函数用来构造特殊矩阵，这些函数如下表所示。
%ones生成全部元素为1的矩阵
>>ones（3,4）
ans=
1111
1111
1111
>>F=5*ones（3）
F=
555
555
555
%zeros生成全部元素为0的矩阵
>>Z=zeros（2,4）
Z=
0000
0000
%rand生成均匀分布的随机矩阵
>>R=rand（4）
R=
0.95010.89130.82140.9218
0.23110.76210.44470.7382
0.60680.45650.61540.1763
0.48600.01850.79190.4057
3．利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。
下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。
A=[1,2,3,4,5
6,7,8,9,10
11,12,13,14,15
16,17,18,19,20
21,22,23,24,25]
（1）启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵：
（2）把输入的内容以纯文本方式存盘（设文件名为mymatrix.m）。
（3）在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。
4.向量的构造方法
向量是组成矩阵的基本元素之一。
向量元素需要用方括号括起来。
元素之间用空格和逗号分隔生成行向量，用分号隔开生成列向量。
可以把行向量看成1n阶矩阵，把列向量看成n1阶矩阵。
（1）直接输入法
向量元素用“[]”括起来，元素之间用空格、逗号或者分号相隔。
需要注意的是，用它们相隔生成的向量形式是不相同的：
用空格或逗号生成行向量；用分号生成列向量。
>>a2=[15,21,27,93,101]
>>a1=[15;21;27;93;101]
（2）利用冒号（:
）生成行向量
当向量的元素过多，同时向量各元素有等差的规律，此时采用直接输入法将过于繁琐。
针对该种情况，可以使用冒号（:
）来生成等差元素向量。
即:
e1:
e2:
e3,其中e1，e3为上下界，e2为步长，e2省略是默认为1
>>x=0:
0.5:
2
x=
00.50001.00001.50002.0000
>>y=2:
6
y=
23456
（3）利用linspace/logspace生成向量
其调用格式为：
linspace（a,b,n）其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。
logspace（a,b,n）生成有n个元素的行向量，其元素起点x
（1）=10a，终点x（n）=10b。
>>a=linspace（-6,6,4）
a=
-6-226
>>b=logspace（0,2,4）
b=
1.00004.641621.5443100.0000
2.2.2矩阵下标引用
本小节将介绍通过矩阵下标来存取元素值的方法，包括访问单个元素、线性引用元素和访问多个元素等。
1．访问单个元素
•2．线性引用元素
Ø对于矩阵A，线性引用元素的格式为A（k）。
通常这样的引用用于行向量或列向量，但也可用于二维矩阵。
ØMATLAB按列优先排列的一个长列向量格式（线性引用元素）来存储矩阵元素。
k为矩阵元素的序号
•显然，序号（Index）与下标（Subscript）是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A（i,j）的序号为（j-1）*m+i。
其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得
3．访问多个元素
操作符“:
”可以用来表示矩阵的多个元素。
若A是二维矩阵，其主要用法如下：
ØA（:
:
）返回矩阵A的所有元素。
ØA（i,:
）返回矩阵A第i行的所有元素。
ØA（i,k1:
k2）返回矩阵A第i行的自k1到k2列的所有元素。
ØA（:
j）返回矩阵A第j列的所有元素。
ØA（k1:
k2,j）返回矩阵A第j列的自k1到k2行的所有元素。
若A是多维矩阵，也可以通过类似的方法实现对其访问。
4利用空矩阵删除矩阵的元素
要删除矩阵的某一行或者是某一列，只需将该行或者该列赋予一个空矩阵[]即可。
•2.2.3矩阵运算
1.矩阵的基本运算
矩阵的基本算术运算有：
＋（加）、－（减）、*（乘）、/（右除）、\（左除）、^（乘方）等，算数运算符的用法和功能如下表所示
（1）矩阵加减运算
假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。
运算规则是：
若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。
如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。
（2）矩阵乘法
ØA*B:
相乘
假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。
Øa*A：
数乘
标量a和矩阵A中的各元素一一相乘
>>A=[3,8,9;0,3,3;4,8,9]
A=
389
033
489
>>2*A
ans=
61618
066
81618
ØA.*B：
点乘
元素相乘，A.*B相当于A和B对应的元素相乘，A和B必须是具有相同长度的矩阵。
>>A.*B
ans=
242481
0243
12729
>>A*B
ans=
6715444
15516
7515753
（3）乘方
ØA.^B:
元素的乘方
元素的乘方，A和B必须是具有相同长度的矩阵，除非他们之一为标量。
一个标量可以与任何一个矩阵乘方，如A^2，2^A等。
ØA^B：
矩阵的乘方
当A和B都为矩阵时，此运算无定义；
Ø当A和B都是标量时，表示标量A的B次幂；
Ø当A是标量且B为矩阵时，表示标量A的中各元素次幂；
Ø当A为方阵且B为正整数时，表示矩阵A的B次乘积；
（4）矩阵除法
在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：
\和/，分别表示左除和右除。
如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。
A\B等效于A矩阵的逆左乘B矩阵，也就是inv（A）*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv（A）。
对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。
又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.10005.0000]。
对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。
对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。
2矩阵的基本函数
MATLAB提供的部分矩阵分析函数如下表所示。
（1）向量和矩阵的范数norm（）
（2）矩阵的秩rank（）
（3）矩阵的迹trace（）
（4）矩阵的行列式det（）
（5）矩阵的特征值与特征向量eig（）
（1）向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。
向量的3种常用范数及其计算函数
在MATLAB中，求向量范数的函数为：
Ønorm（V）或norm（V,2）：
计算向量V的2—范数。
Ønorm（V,1）：
计算向量V的1—范数。
Ønorm（V,inf）：
计算向量V的∞—范数。
矩阵的范数及其计算函数与求向量的范数的函数完全相同
（2）矩阵的秩
矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。
在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank（A）。
（3）矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace（A）。
（4）方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。
在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det（A）。
（5）矩阵的特征值与特征向量
在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig（A），常用的调用格式有3种：
ØE=eig（A）：
求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
Ø[V,D]=eig（A）：
求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。
Ø[V,D]=eig（A,‘nobalance’）：
与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
2.3符号计算
自然科学理论分析中的公式、关系式及其推导是符号计算要解决的问题。
MATLAB数值计算的对象是数值，而符号计算的对象则是非数值的符号字符串。
2.3.1符号对象
1.创建符号对象和表达式
2.符号表达式的运算
MATLAB提供了函数sym（）和命令syms创建符号常量、变量、函数以及表达式，函数class（）检验符号对象类型。
（symbol（符号）缩写）
1．创建符号对象和表达式
（1）建立符号变量和符号常量
MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：
sym和syms，两个函数的用法不同。
Øsym函数
sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：
符号量名=sym（'符号字符串'）
该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
Øsyms函数
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。
MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。
syms函数的一般调用格式为：
syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符（‘），变量间用空格而不要用逗号分隔。
（2）建立符号表达式
含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法：
Ø利用单引号来生成符号表达式。
Ø用sym函数建立符号表达式。
Ø使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例2.3.1：
用上面的三种方法创建符号函数:
f=sinx+cos（2x）
3）创建符号矩阵
Ø直接输入：
直接输入符号矩阵时，符号矩阵的每一行都要用方括号括起来，而且要保证同一列的各行元素字符串的长度相等，因此，较短的字符要插入空格来补齐长度，否则程序会报错。
例2.3.2：
A=[‘[cos（x）,sin（x）,x]';'[-x+1,x^2+x+1,tanx]']
A=
[cos（x）,sin（x）,x]
[-x+1,x^2+x+1,tanx]
Ø符号矩阵还可以通过函数sym来生成，符号矩阵中的元素是任何不带等号的符号表达式，各符号表达式的长度可以不同。
例2.3.3：
symsx;
A=sym（'[cos（x）,sin（x）,x;-x+1,x^2+x+1,tanx]'）
A=
[cos（x）,sin（x）,x]
[-x+1,x^2+x+1,tanx]
2.符号表达式的运算
（1）符号表达式的四则运算
符号表达式的加、减、乘、除运算与矩阵的数值运算一样，用“+”、“-”、“*”，“/”符号来实现，幂运算可以由幂运算符“^”来实现。
例2.3.4：
f=sym（'4*x+5'）;
g=sym（'2*x^2+5*x+6'）;
a=f+g
a=9*x+11+2*x^2
f^2
ans=（4*x+5）^2
2）符号表达式的提取分子和分母运算
如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。
其一般调用格式为：
[n,d]=numden（s）
该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
例2.3.5:
f=sym（'a*x^2/（b-x）'）;
[n,d]=numden（f）
n=a*x^2
d=b-x
（3）符号表达式的化简
MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，实现对符号计算的结果的化简和替换，函数的调用格式为：
factor（s）：
对符号表达式s分解因式。
expand（s）：
对符号表达式s进行展开。
collect（s）：
对符号表达式s合并同类项。
collect（s,v）：
对符号表达式s按变量v合并同类项。
horner（s）:
将符号表达式转换成嵌套形式。
simplify（s）：
应用函数规则对s进行化简。
simple（s）：
用几种不同的算术简化规则对符号表达式进行简化，并显示中间过程。
例2.3.6：
符号表达式分解因子
symsx
f=x^12-1;
factor（f）
•例2.3.7合并符号表达式的同类项
•symsxy
•collect（x^2*y+y*x-x^2-2*x）
•ans=
•（y-1）*x^2+（y-2）*x
例2.3.8符号表达式的展开
symsx
f=（x-1）*（x-2）*（x-3）
expand（f）
ans=
x^3-6*x^2+11*x–6
例2.3.9转换符号表达式为嵌套形式
symsxy
f=x^3-6*x^2+11*x-6
horner（f）
ans=
x*（x*（x-6）+11）-6
（4）符号表达式与数值表达式之间的转换
sym：
可以将数值表达式变换成它的符号表达式。
eval：
可以将符号表达式变换成数值表达式。
例2.3.10：
p='1+sqrt
（2）/2';
eval（p）
ans=1.7071
例2.3.11：
p=1.7071;
n=sym（p）
n=17071/10000
（5）符号表达式中变量的确定
在数学表达式中，一般习惯于用排在字母表前面的字母作为变量系数，而排在字母表后面的字母表示变量。
MATLAB中可以用findsym函数帮助用户查找一个符号表达式中系统默认的符号变量。
该函数的调用格式为：
findsym（s,n）
其中s为用户已经定义符号表达式中，n为正整数，表示查询的符号变量的个数，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。
symsatb
g=sin（a*t）+b;
findsym（g,1）
ans
=t
（6）符号表达式的替换．
（1）函数subexpr（）将符号表达式中重复出现的字符串用符号变量代替，其具体使用方法如下：
Ø[Y,SIGMA]=subexpr（S,SIGMA）：
指定用符号变量SIGMA来代替符号表达式中重复出现的字符串；
Ø[Y,SIGMA]=subexpr（S,‘SIGMA’）：
这种形式和上一种形式的不同在于第2个输入参数是字符或字符串
（2）函数subs（）用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，其具体使用方法如下:
R=subs（S,Old,New）：
用新符号变量New替代原来符号表达式S中的变量Old。
例2.3.11：
g=sym（'2*x^2+5*x+6'）;
r=subs（g,x,x+1）
r=
2*（1+x）^2+11+5*x
1．符号表达式的极限
A.符号极限
limit函数的调用格式为：
（1）limit（f,x,a）：
求符号函数f（x）的极限值。
即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值。
（2）limit（f,a）：
求符号函数f（x）的极限值。
由于没有指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认自变量，即变量x趋近于a。
（3）limit（f）：
求符号函数f（x）的极限值。
符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。
（4）limit（f,x,a,'right'）或limit（f,x,a,'left'）：
分别求取符号表达式F的右极限和左极限。
例2.3.12求下列极限。
极限1：
symsamx;%定义符号变量
f=（x*（exp（sin（x））+1）-2*（exp（tan（x））-1））/（x+a）;%定义符号函数
limit（f,x,a）%求极限
ans=
（1/2*a*exp（sin（a））+1/2*a-exp（tan（a））+1）/a
极限2：
symsxt;
limit（（1+2*t/x）^（3*x）,x,inf）%Inf在Matlab里表示无穷大
ans=
exp（6*t）
极限3：
symsx;
f=x*（sqrt（x^2+1）-x）;
limit（f,x,inf,'left'）
ans=
1/2
极限4：
symsx;
f=（sqrt（x）-sqrt
（2）-sqrt（x-2））/sqrt（x*x-4）;
limit（f,x,2,'right'）
ans=
-1/2
2．符号表达式的微分
diff（differential）函数用于对符号表达式求导数。
该函数的一般调用格式为：
（1）diff（s）：
没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。
（2）diff（s,'v'）：
以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。
（3）diff（s,n）：
按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。
（4）diff（s,'v',n）：
以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
例2.3.13求函数放f=sin（ax）的导数。
具体代码如下：
symsax%定义符号变量
f=sin（a*x）;%定义符号表达式
df=diff（f）;%对默认变量x求一阶导数
df2=diff（f,2）;%对默认变量x求二阶导数
运行结果为：
df=
cos（a*x）*a
df2=
-sin（a*x）*a^2
3．符号表达式的积分
符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：
（1）int（s）：
没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。
（2）int（s,v）：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。
（3）int（s,v,a,b）：
求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例2.3.14计算函数的积分：
symsx
r1=int（-2*x/（1+x^2）^2）%对符号表达式进行不定积分
r2=int（-2*x/（1+x^2）^2,1,2）%对符号表达式进行定积分
运行结果
r1=
1/（x^2+1）
r2
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