离散数学命题逻辑课后总结.docx
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离散数学命题逻辑课后总结
离散数学（课件上习题）
第一章
例1-1.1判定下面这些句子哪些是命题。
⑴2是个素数。
⑵雪是黑色的。
⑶2013年人类将到达火星。
⑷如果a>b且b>c，则a>c。
（其中a,b,c都是
确定的实数）
⑸x+y<5
⑹请打开书！
⑺您去吗？
⑴⑵⑶⑷是命题
例1-2.1P：
2是素数。
⌝P：
2不是素数。
例1-2.2P：
小王能唱歌。
Q：
小王能跳舞。
P∧Q：
小王能歌善舞。
例1-2.3.灯泡或者线路有故障。
（析取“∨”）
例1-2.4.第一节课上数学或者上英语。
（异或、排斥或。
即“⊽”）
注意：
P⊽Q与（P∧⌝Q）∨（Q∧⌝P）是一样的。
归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：
（1）否定“⌝”
（2）合取“∧”（3）析取“∨”（4）异或“⊽”（5）蕴涵“→”（6）等价“↔”
例1-2.5：
P表示：
缺少水分。
Q表示：
植物会死亡。
P→Q：
如果缺少水分，植物就会死亡。
P→Q：
也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。
也说成P是P→Q的前件，Q是P→Q的后件。
还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
以下是关于蕴含式的一个例子
P：
天气好。
Q：
我去公园。
1.如果天气好，我就去公园。
2.只要天气好，我就去公园。
3.天气好，我就去公园。
4.仅当天气好，我才去公园。
5.只有天气好，我才去公园。
6.我去公园，仅当天气好。
命题1.、2.、3.写成：
P→Q
命题4.、5.、6.写成：
Q→P
例1-2.6：
P：
△ABC是等边三角形。
Q：
△ABC是等角三角形。
P↔Q：
△ABC是等边三角形当且仅当它是等角三角形。
课后练习：
填空
已知P∧Q为T，则P为（），Q为（）。
已知P∨Q为F，则P为（），Q为（）。
已知P为F，则P∧Q为（）。
已知P为T，则P∨Q为（）。
已知P∨Q为T，且P为F，则Q为（）。
已知P→Q为F，则P为（），Q为（）。
已知P为F，则P→Q为（）。
已知Q为T，则P→Q为（）。
已知⌝P→⌝Q为F，则P为（），Q为（）。
已知P为T，P→Q为T，则Q为（）。
已知⌝Q为T,P→Q为T，则P为（）。
已知P↔Q为T，P为T,则Q为（）.
已知P↔Q为F，P为T,则Q为（）.
P↔P的真值为（）.
P→P的真值为（）。
1—3节
例1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。
P：
离散数学是有用的。
Q：
离散数学是枯燥无味的。
该命题可写成：
⌝（⌝P∧Q）
例2.如果小张与小王都不去，则小李去。
P：
小张去。
Q：
小王去。
R：
小李去。
该命题可写成：
（⌝P∧⌝Q）→R
如果小张与小王不都去，则小李去。
该命题可写成：
⌝（P∧Q）→R
也可以写成：
（⌝P∨⌝Q）→R
例3.仅当天不下雨且我有时间，才上街。
P：
天下雨。
Q：
我有时间。
R：
我上街。
分析：
由于“仅当”是表示“必要条件”的，既“天不下雨且我有时间”，是“我上街”的必要条件。
所以
该命题可写成：
R→（⌝P∧Q）
例4.人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
P：
人犯我。
Q：
我犯人。
该命题可写成：
（⌝P→⌝Q）∧（P→Q）或写成：
P↔Q
例5.若天不下雨，我就上街；否则在家。
P：
天下雨。
Q：
我上街。
R：
我在家。
该命题可写成：
（⌝P→Q）∧（P→R）.
注意：
中间的联结词一定是“∧”，而不是“∨”，也不是“⊽”。
1—4节
重言（永真）蕴涵式证明方法
方法1.列真值表。
方法2.假设前件为真，推出后件也为真。
例如求证：
（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）⇒⌝A∨⌝B
证明:
设前件（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）为真则（（A∧B）→C）、⌝D、（⌝C∨D）均真，
⌝D为T，则D为F
⌝C∨D为T得C为F
（（A∧B）→C）为T得A∧B为F
如果A为F，则⌝A为T，所以⌝A∨⌝B为T。
如果B为F，则⌝B为T，所以⌝A∨⌝B为T。
∴（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）⇒⌝A∨⌝B
方法3.假设后件为假，推出前件也为假。
例如求证：
（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）⇒⌝A∨⌝B
证明:
假设后件⌝A∨⌝B为F,则A与B均为T。
1.如C为F，则（A∧B）→C为F，所以前件（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）为F。
2.如C为T，则
⑴若D为T，则⌝D为F，所以前件（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）为假；
⑵若D为F，则⌝C∨D为F，所以前件（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）为假。
∴（（A∧B）→C）∧⌝D∧（⌝C∨D）⇒⌝A∨⌝B
重要的重言蕴涵式（如教材第43页所示）（课件中出现过多次，可不用记忆）
I1.P∧Q⇒PI2.P∧Q⇒Q
I3.P⇒P∨QI4.Q⇒P∨Q
I5.⌝P⇒P→QI6.Q⇒P→Q
I7.⌝（P→Q）⇒PI8.⌝（P→Q）⇒⌝Q
I9.P,Q⇒P∧QI10.⌝P∧（P∨Q）⇒Q
I11.P∧（P→Q）⇒QI12.⌝Q∧（P→Q）⇒⌝P
I13.（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R
I14.（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→R）⇒R
I15.A→B⇒（A∨C）→（B∨C）
I16.A→B⇒（A∧C）→（B∧C）
1—5节
重要的等价公式（课件中出现多次，可不用记忆）
⑴对合律⌝⌝P⇔P⑵幂等律P∨P⇔PP∧P⇔P
⑶结合律P∨（Q∨R）⇔（P∨Q）∨RP∧（Q∧R）⇔（P∧Q）∧R
⑷交换律P∨Q⇔Q∨PP∧Q⇔Q∧P
⑸分配律P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R）P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R）
⑹吸收律P∨（P∧Q）⇔PP∧（P∨Q）⇔P
⑺底-摩根定律⌝（P∨Q）⇔⌝P∧⌝Q⌝（P∧Q）⇔⌝P∨⌝Q
⑻同一律P∨F⇔PP∧T⇔P⑼零律P∨T⇔TP∧F⇔F
⑽互补律P∨⌝P⇔TP∧⌝P⇔F⑾P→Q⇔⌝P∨Q
⑿P→Q⇔⌝Q→⌝P⒀P↔Q⇔（P→Q）∧（Q→P）
⒁P↔Q⇔（⌝P∨Q）∧（P∨⌝Q）⒂P↔Q⇔（P∧Q）∨（⌝P∧⌝Q）
例题1.求证吸收律P∧（P∨Q）⇔P
证明：
P∧（P∨Q）
⇔（P∨F）∧（P∨Q）（同一律）
⇔P∨（F∧Q）（分配律）
⇔P∨F（零律）
⇔P（同一律）
例题2.求证（⌝P∨Q）→（P∧Q）⇔P
证明（⌝P∨Q）→（P∧Q）
⇔⌝（⌝P∨Q）∨（P∧Q）（公式E16）
⇔（⌝⌝P∧⌝Q）∨（P∧Q）（摩根定律）
⇔（P∧⌝Q）∨（P∧Q）（对合律）
⇔P∧（⌝Q∨Q）（分配律）
⇔P∧T（互补律）
⇔P（同一律）
公式E16：
P→Q⇔⌝P∨Q
例题3.化简⌝（P∧Q）→（⌝P∨（⌝P∨Q））
解原公式⇔⌝⌝（P∧Q）∨（（⌝P∨⌝P）∨Q）（E16,结合）
⇔（P∧Q）∨（⌝P∨Q）（对合律，幂等律）
⇔（P∧Q）∨（Q∨⌝P）（交换律）
⇔（（P∧Q）∨Q）∨⌝P（结合律）
⇔Q∨⌝P（吸收律）
公式E16：
P→Q⇔⌝P∨Q
1-6.范式（Paradigm）
例1.求P→Q和P↔Q的主析取范式
方法一：
真值表
P→Q⇔m0∨m1∨m3
⇔（⌝P∧⌝Q）∨（⌝P∧Q）∨（P∧Q）
P↔Q⇔m0∨m3
⇔（⌝P∧⌝Q）∨（P∧Q）
方法Ⅱ：
用公式的等价变换
⑴先写出给定公式的析取范式A1∨A2∨...∨An。
⑵为使每个Ai都变成小项，对缺少变元的Ai
补全变元，比如缺变元R，就用∧联结永真式（R∨⌝R）形式补R。
⑶用分配律等公式加以整理。
P→Q⇔⌝P∨Q
⇔（⌝P∧（Q∨⌝Q））∨（（P∨⌝P）∧Q）
⇔（⌝P∧Q）∨（⌝P∧⌝Q）∨（P∧Q）∨（⌝P∧Q）
⇔（⌝P∧Q）∨（⌝P∧⌝Q）∨（P∧Q）
思考题:
永真式的主析取范式是什么样？
（包含所有小项）
例2.求P→Q和P↔Q的主合取范式
P→Q⇔M2⇔⌝P∨Q
P↔Q⇔M1∧M2
⇔（P∨⌝Q）∧（⌝P∨Q）
方法Ⅱ：
用公式的等价变换
⑴先写出给定公式的合取范式A1∧A2∧...∧An。
⑵为使每个Ai变成大项，对缺少变元的析取式Ai补全变元，比如缺变元R，就用∨联
结永假式（R∧⌝R）形式补R。
⑶用分配律等公式加以整理。
例如，求（P→Q）→R的主合取范式
（P→Q）→R
⇔⌝（⌝P∨Q）∨R
⇔（P∧⌝Q）∨R
⇔（P∨R）∧（⌝Q∨R）
⇔（P∨（Q∧⌝Q）∨R）∧（（P∧⌝P）∨⌝Q∨R）
⇔（P∨Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧
（P∨⌝Q∨R）∧（⌝P∨⌝Q∨R）
⇔（P∨Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（⌝P∨⌝Q∨R）
例3.安排课表，教语言课的教师希望将课程安排在第一或第三节；教数学课的教师
希望将课程安排在第二或第三节；教原理课的教师希望将课程安排在第一或第二节。
如何安排课表，使得三位教师都满意。
令L1、L2、L3分别表示语言课排在第一、第二、第三节。
M1、M2、M3分别表示数学课排在第一、第二、第三节。
P1、P2、P3分别表示原理课排在第一、第二、第三节。
三位教师都满意的条件是：
（L1∨L3）∧（M2∨M3）∧（P1∨P2）为真。
将上式写成析取范式（用分配律）得：
（（L1∧M2）∨（L1∧M3）∨（L3∧M2）∨
（L3∧M3））∧（P1∨P2）
⇔（L1∧M2∧P1）∨（L1∧M3∧P1）∨
（L3∧M2∧P1）∨（L3∧M3∧P1）∨
（L1∧M2∧P2）∨（L1∧M3∧P2）∨
（L3∧M2∧P2）∨（L3∧M3∧P2）
可以取（L3∧M2∧P1）、（L1∧M3∧P2）为T，得到两种排法。
课堂练习：
1.已知A（P,Q,R）的真值表如图：
求它的主析取和主合取范式。
2.已知A（P,Q,R）的主析取范式中
含有下面小项m1,m3,m5,m7
求它的主合取范式.
3.已知A（P1,P2,…,Pn）的主合取范式中
含有k个大项，问它的主析取范式
中有多少个小项？
课堂练习答案
1.A（P,Q,R）的主析取范式:
A（P,Q,R）⇔m0∨m3∨m4∨m6∨m7
⇔（⌝P∧⌝Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）∨
（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）
A（P,Q,R）的主合取范式：
A（P,Q,R）⇔M1∧M2∧M5⇔（P∨Q∨⌝R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（⌝P∨Q∨⌝R）
2.A（P,Q,R）⇔M0∧M2∧M4∧M6
⇔（P∨Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（⌝P∨Q∨R）∧（⌝P∨⌝Q∨R）
3.A（P1,P2,…,Pn）的主析取范式中含有2n-k个小项.
1-7.命题逻辑推理
例题１求证P→Q，Q→R，P⇒R
证明
序号前提或结论所用规则从哪几步得到所用公式
（1）PP
（2）P→QP
（3）QT
（1）
（2）I11
（4）Q→RP
（5）RT（3）（4）I11
例题２求证
⌝（P∧Q）∧（Q∨R）∧⌝R⇒⌝P
（1）Q∨RP
（2）⌝RP
（3）QT
（1）
（2）I10
（4）⌝（P∧Q）P
（5）⌝P∨⌝QT（4）E8
（6）⌝PT（3）（5）I10
注公式I10为：
⌝P,P∨Q⇒Q
公式E8为：
⌝（P∧Q）⇔⌝P∨⌝Q
例题３用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性：
如果我学习，那么我数学不会不及格。
如果我不热衷于玩朴克，那么我将学习。
但是我数学不及格。
因此，我热衷于玩朴克。
解:
设P：
我学习。
Q：
我数学及格。
R：
我热衷于玩朴克。
于是符号化为：
P→Q，⌝R→P，⌝Q⇒R
P→Q，⌝R→P，⌝Q⇒R
（1）P→QP
（2）⌝QP
（3）⌝PT
（1）
（2）I12
（4）⌝R→PP
（5）⌝⌝RT（3）（4）I12
（6）RT（5）E1
注：
公式I12为：
⌝Q，P→Q⇒⌝P
公式E1为：
⌝⌝R⇔R
例题４求证P→（Q→S）,⌝R∨P,Q⇒R→S
证明
（1）P→（Q→S）P
（2）⌝P∨（⌝Q∨S）T
（1）E16
（3）⌝P∨（S∨⌝Q）T
（2）E3
（4）（⌝P∨S）∨⌝QT（3）E5
（5）QP
（6）⌝P∨ST（4）（5）I10
（7）P→ST（6）E16
（8）⌝R∨PP
（9）R→PT（8）E16
（10）R→ST（7）（9）I13
例题５用条件论证，证明例题４
P→（Q→S）,⌝R∨P,Q⇒R→S
证明
（1）RP（附加前提）
（2）⌝R∨PP
（3）PT
（1）
（2）I10
（4）P→（Q→S）P
（5）Q→ST（3）（4）I11
（6）QP
（7）ST（5）（6）I11
（8）R→SCP
例题６用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性：
如果体育馆有球赛，青年大街交通就拥挤。
在这种情况下，如果小王不提前出发，就会迟到。
因此，小王没有提前出发也未迟到，则体育馆没有球赛。
证明先将命题符号化。
设P：
体育馆有球赛。
Q：
青年大街交通拥挤。
R：
小王提前出发。
S：
小王迟到。
P→Q，（Q∧⌝R）→S⇒（⌝R∧⌝S）→⌝P
P→Q，（Q∧⌝R）→S⇒（⌝R∧⌝S）→⌝P
证明
（1）⌝R∧⌝SP（附加前提）
（2）⌝RT
（1）I1
（3）⌝ST
（1）I2
（4）（Q∧⌝R）→SP
（5）⌝（Q∧⌝Ｒ）T（3）（4）I12
（6）⌝Q∨RT（5）E8
（7）⌝QT
（2）（6）I10
（8）P→QP
（9）⌝PT（7）（8）I12
（10）（⌝R∧⌝S）→⌝PCP
例７P→Q,（⌝Q∨R）∧⌝R,⌝（⌝P∧S）⇒⌝S
证明
（1）⌝⌝SP（假设前提）
（2）ST
（1）E1
（3）⌝（⌝P∧S）P
（4）P∨⌝ST（3）E8
（5）PT
（2）（4）I10
（6）P→QP
（7）QT（5）（6）I11
（8）（⌝Q∨R）∧⌝RP
（9）⌝Q∨RT（8）I1
（10）⌝RT（8）I2
（11）RT（7）（9）I10
（12）R∧⌝RT（10）（11）I9
第一章习题课
1.有工具箱A、B、C、D，各个箱内装的工具如下表所示。
试问如何携带数量最少工具箱，而所包含的工具种类齐全。
工具箱
改锥
扳手
钳子
锤子
A
有
有
B
有
有
有
C
有
有
D
有
有
解：
设A、B、C、D分别表示带A、B、C、D箱。
则总的条件为：
（A∨C）∧（A∨B∨D）∧（B∨C）∧（B∨D）为真。
改锥扳手钳子锤子
将（A∨C）∧（A∨B∨D）∧（B∨C）∧（B∨D）写成析取范式，上式Û（（A∨C）∧（B∨C））∧（（A∨（B∨D））∧（B∨D））（交换）
Û（（A∧B）∨C））∧（B∨D）
（分配（提取C）、吸收）
Û（A∧B∧B）∨（C∧B）∨（A∧B∧D）∨（C∧D）（分配）
Û（A∧B）∨（C∧B）∨（A∧B∧D）∨（C∧D）
分别可以取（A∧B）、（C∧B）、（C∧D）为真。
于是可以得到三种携带方法：
带A和B箱，带B和C箱，带C和D箱。
请根据下面事实，找出凶手：
1.清洁工或者秘书谋害了经理。
2.如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。
3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。
4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。
5.如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。
6.经理有钱且清洁工不富裕。
7.午夜时屋里灯灭了。
令A:
清洁工谋害了经理。
B:
秘书谋害了经理。
C:
谋害发生在午夜前。
D:
秘书的证词是正确的.
E:
午夜时屋里灯光灭了。
H:
清洁工富裕.
G:
经理有钱.
命题符号为：
A∨B,A⌝→C,D→C,⌝D⌝→E,H⌝→A,G∧⌝H,E⇒?
A∨B,A⌝→C,B→C,D→C⌝D⌝→E,H⌝→A,G∧⌝H,E⇒?
⑴EP
⑵⌝D⌝→EP
⑶⌝⌝DT⑴⑵I
⑷DT⑶E
⑸D→CP
⑹CT⑷⑸I
⑺A⌝→CP
⑻⌝AT⑹⑺I
⑼A∨BP
⑽BT⑻⑼I
结果是秘书谋害了经理。
第一章小结
本章的重点内容、及要求：
１.逻辑联结词，要熟练掌握联结词的真值表定义以及它们在自然语言中的含义。
其中特别要注意“∨”和“→”的用法。
２.会命题符号化。
３.掌握永真式的证明方法：
（1）.真值表。
（2）.等价变换，化简成Ｔ。
（3）.主析取范式。
４.掌握永真蕴含式的证明方法，熟练记忆并会应用
43页中表1-8.3中的永真蕴含式。
５.掌握等价公式的证明方法，熟练记忆并会应用
43页表1-8.4中的等价公式。
６.熟练掌握范式的写法及其应用。
７.熟练掌握三种推理方法。
以上自己是不是都已经熟练掌握了呢？
？
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