江苏省淮安市届高三第五次模拟考试数学试题及答案WO.docx
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江苏省淮安市届高三第五次模拟考试数学试题及答案WO
第5题图
淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷
数学试题2015.5
数学Ⅰ必做题部分
（本部分满分160分,时间120分钟
参考公式:
锥体的体积公式:
1
3VSh=,其中S是锥体的底面面积,h是高.
一、填空题:
本题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡上.....1.已知集合{}1,2,3,4A=,集合{}|,Bxxaa=∈R≤,若（],5AB=-∞,则a的值是▲.
2.若复数
i
1i
a++是实数（i为虚数单位,则实数a的值是▲.3.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员36人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,42,则这四个社区驾驶员的总人数N为▲.
4.若抛物线2
8yax=的焦点与双曲线22
21xya
-=的右焦点重
合,则双曲线的离心率为▲.
5.如右图所示的流程图的运行结果是▲.
6.某校有,AB两个学生食堂,若,,abc三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲.
7.在ABC∆中,若2,3
abBπ
===
则ABC∆的面积为
▲.
8.已知正四棱锥的底面边长是
侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为▲.
A
B
C
E
9.已知1sincos2αα=
+,且（0,2πα∈,则
cos2sin（4
α
πα-的值为▲.10.已知函数3
2
（2fxxxmx=-++,若对任意12,xx∈R,均满足[]1212（（0xxfxfx-->（,
则实数m的取值范围是▲.11.已知
22:
1Oxy+=
.若直线2y+上总存在点P,使得过点P的O的两条切线互
相垂直,则实数k的最小值为__▲__.
12.已知{}{},nnab均为等比数列,其前n项和分别为,nnST,若对任意的*
n∈N,总有31
4
nnnST+=,则
3
3
ab=▲.13.已知正△ABC的边长为1,点G为边BC的中点,点,DE是线段,ABAC上的动点,DE中点
为F.若ADABλ=,（12AEACλ=-（λ∈R,则FG的取值范围为▲.14.已知二次函数2（（212fxaxbxa=++--在区间[3,4]上至少有一个零点,则2
2
ab+的最
小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分
函数π
（cos（π（02
fxxϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（1求出ϕ及图中0x的值;
（2求（fx在区间11[,]23
-上的最大值和最小值.
16.（本题满分14分
如图,边长为2的正方形ABCD是圆柱的中截面,点E为线段BC的中点,点S为圆柱的下底面圆周上异于A,B的一个动点.
（1在圆柱的下底面上确定一定点F,使得//EF平面ASC;
（2求证:
平面ASC⊥平面BSC.
第15题图
第17题图
第18题图
如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中AB长为2km,C、D两点在半圆弧上,满足BC=CD.设
COBθ∠=.
（1现要在景区内铺设一条观光道路,由线段AB、BC、CD和DA组成,则当θ为何值时,
观光道路的总长l最长,并求l的最大值.
（2若要在景区内种植鲜花,其中在AOD∆和BOC∆在扇形COD内种一半面积的鲜花,则当θ为何值时,鲜花种植面积S最大.
18.（本小题满分16分
.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆22
22:
1（0xyCabab
+=>
>的左,右顶点分别为
（
12
AA,若直线3450xy++=上有且仅有一个点M,使得1290FMF︒∠=.
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵设圆T的圆心（0,Tt在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点.点P,Q分别为椭圆C和圆T上的一动点.若
0PQQT⋅=时,
PQt的值.
已知函数（fx满足（2（2fxfx=+,且当（0,2x∈时,1
（ln（2fxxaxa=+<-,当（
4,2x∈--
时,（fx的最大值为4-.
（1求实数a的值;
（2设0b≠,函数31
（3gxbxbx=-,（1,2x∈.若对任意（11,2x∈,总存在（21,2x∈,使
（（12fxgx=,求实数b的取值范围.
20.（本小题满分16分
在数列{}na,{}nb中,已知12a=,14b=,且na,nb-,1na+成等差数列,nb,na-,1nb+也成等差数列.
（1求证:
{}nnab+是等比数列;（2设m是不超过100的正整数,求使
114
4
nmnmamaama++-+=-+成立的所有数对（,mn.
淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷
数学试题2015.5
数学Ⅱ附加题部分
注意事项
1.本试卷共2页,均为非选择题（第21题~第23题,共4题。
本卷满分为40分,考试时间为
30分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一
律无效。
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题.......,并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选修4—1:
几何证明选讲（本小题满分10分
如图,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,BAC∠的
平分线AD交⊙O于D,过点D作DEAC⊥交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.若35
ACAB=,求AF
FD的值.
B.选修4—2:
矩阵与变换（本小题满分10分
已知矩阵A=21ab⎡⎤⎢
⎥⎣⎦,若矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α1=11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦,属于特征值4的一个特征向量为α2=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.求矩阵A,并写出A的逆矩阵A-
1.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程（本小题满分10分
已知直线l:
cossinxtmytαα=+⎧⎨=⎩（t为参数恒经过椭圆C:
⎩⎨⎧==ϕ
ϕ
sin3cos5yx（ϕ为参数的右焦点F.（1求m的值;
（2设直线l与椭圆C交于A,B两点,求FAFB⨯的最大值与最小值.
D.选修4—5:
不等式选讲（本小题满分10分
已知x,y,z均为正数.求证:
111y
xz≥++++.
A
BC
D
EF
O
第21-A题图
【必做题】第22题,第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分
如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分别是CC1、BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足111BAAλ=（∈λR.（1证明:
PN⊥AM;
（2若平面PMN与平面ABC所成的角为45°,试确定点P的位置.
23.在自然数列1,2,3,
n中,任取k个元素位置保持不动,将其余nk-个元素变动位置,得到
不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为（nPk.⑴求（31P;⑵求
（4
40
kPk=∑;
⑶证明（（11
nnn
nkkkPknPk--==
=∑∑,并求出（0
n
n
kkPk=∑的值.
第22题图
A
B
C
E
淮安市2014—2015学年度高三年级第一次调研测试
数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题:
1.5
2.1
3.300
4.2
5.20
6.34
7
.8.24
9
.10.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11.112.913
.12⎡⎢⎣⎦
14.1100二、解答题:
15.（1由图可知,当（（
00ffx==
即（
0sinxϕπϕ=+=,………………2分
又0,2πϕ⎛⎫
∈⎪⎝⎭
00x>,所以ϕ=π6.0x=53.…………………………………………………6分
（2由（1可知:
π（cos（π3fxx=+.因为11[,23x∈-,所以πππ
π362
x-+≤≤.所以当ππ03
x+=,即1
3x=-时,（fx取得最大值1;
当ππ
π62
x+
=,即13x=时,（fx取得最小值0.…………………………………14分
16.（1点F为线段AB的中点,又点E为线段BC的中点,
故//EFAC,…………………………………………2分又AC⊂平面ASC,EF⊄平面ASC,
所以//EF平面ASC.………………………………6分（2因为正方形ABCD是圆柱的中截面,所以BC⊥底面ASB,而AS⊂底面ASB,故BC⊥AS,…………………8分
因为点S为圆柱的下底面圆周上异于A,B的一个动点,所以BS⊥AS,………10分又BC
BSB=,且BCBS⊂,平面BSC,所以AS⊥平面BSC,…………………12分
又AS⊂平面ASC,所以,平面ASC⊥平面BSC.…………………………………14分
17.（1由题CODθ∠=,2AODπθ∠=-,0,2πθ⎛⎫
∈⎪⎝⎭
取BC中点M,连结OM.则OMBC⊥,2
BOMθ
∠=.
所以22sin2
BCBMθ
==.
同理可得2sin2
CDθ
=,22sin
2cos2
ADπθ
θ-==.
所以222sin
2sin
2cos212sin4sin22
222lθ
θ
θθθ⎛
⎫=+++=-++⎪⎝
⎭.………………………4分即2
14sin5,0,222lθπθ⎛⎫⎛⎫
=--+∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.所以当1sin22θ=,即3πθ=时,有max5l=.……6分
（21sin2BOCSθ∆=,（1sin2sincos2AODSπθθθ∆=-=,12
CODSθ=扇形.
所以11sinsincos24
Sθθθθ=++.…………………………………………………………8分所以（（22111
'coscossin4cos32cos1244
Sθθθθθ=+-+
=+-………………………10分因为0,2πθ⎛⎫
∈⎪⎝⎭
随意解'0S=得3πθ=,列表得
所以当3
θ=
时,有面积S取得最大值.
答:
（1当3
π
θ=时,观光道路的总长l最长,最长为5km;
（2当3
π
θ=
时,鲜花种植面积S最大.…………………………………………14分
18.⑴因为椭圆22
22:
1（0xyCabab
+=>>左,右顶点分别为（
12
AA,
所以2
=2a.………………………………………………………………………………1分
又因为直线3450xy++=上恰存在一个点M,使得1290FMF︒∠=,
即以原点O为圆心,半径为1rOFc==作圆O,
使得圆O与直线3450xy++=相切即可.
又圆心O到直线3450xy++=的距离1d=
=,…………………3分
所以1c=,2221bac=-=,………………………………………………………………5分
所以椭圆C的标准方程为2
212
xy+=;…………………………………………………6分⑵设（00,Pxy,因为点P在椭圆上,所以有22
0012
xy+=,……………………………………7分因为圆T的圆心（0,Tt在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点.
所以圆T的方程为（2
22
1xytt+-=+,（0t>,…………………………………………8分
由0PQQT⋅=得222PQPTQT=-（（
2
2
2
001xytt=+--+,
又22
0012
xy+=,所以（22201PQytt=-+++,…………………………………………10分
①当1t--≤即1t≥时,当01y=-时,PQ
因为PQ2
=,解得58t=,又1t≥,故舍去.……………12分
②当1t->-即01t<<时,当0yt=-时,PQ
2
=
解得2
14t=,又01t<<,所以12t=.……………………………14分
综上,当12t=
时,PQ的最大值为2
.………………………………………………16分19.（1当x∈（0,2时,11
（（2（424
fxfxfx=
-=-,由条件,当x-4∈（-4,-2,（4fx-的最大值为-4,
所以（fx的最大值为-1.……………………………………………………………2分因为11（ax
fxaxx
+'=
+=
令（0fx'=,所以1xa=-.……………………………3分因为12a<-,所以1
（0,2a-∈.当x∈（0,1a-时,（0fx'>,（fx是增函数;
当x∈（1
a
-,2时,（0fx'<;（fx是减函数.
则当x=1a-时,（fx取得最大值为11
（ln（11faa
-=--=-.所以a=-1.……6分
（2设（fx在（1,2x∈的值域为A,（gx在（1,2x∈的值域为B,则依题意知A⊆B.
因为（fx在（1,2x∈上是减函数,所以A=（ln22,1--.
又g¢（x=bx2-b=b（x2-1，因为xÎ（1,2），所以x2-1Î（0,3）．22①b>0时，g¢（x>0，g（x是增函数，B=（-b,b．3323因为AÍB，所以-b≤ln2-2．解得b≥3-ln2．3222②b<0时，g¢（x<0，g（x是减函数，B=（b,-b．3323因为AÍB，所以b≤ln2-2．b≤-3+ln2．3233由①，②知，b≤-3+ln2，或b≥3-ln2．……………………………………………16分2220．
（1）由an，-bn，an+1成等差数列可得，-2bn=an+an+1，①由bn，-an，bn+1成等差数列可得，-2an=bn+bn+1，①+②得，an+1+bn+1=-3（an+bn，所以{an+bn}是以6为首项、-3为公比的等比数列．………………………………………6分
（2）由
（1）知，an+bn=6´（-3n-1，③③+④得，an=代入①-②得，an+1-bn+1=an-bn=-2，④②6´（-3n-1-2=3´（-3n-1-1，……………………………………………8分2an-ma+43´（-3n-1-1-m3´（-3m-1+3=m=，得，an+1-mam+1+43´（-3n-1-m3´（-3m+3所以[3´（-3n-1-1-m][3´（-3m+3]=[3´（-3n-1-m][3´（-3m-1+3]，整理得，（m+1（-3m+3´（-3n=0，所以m+1=（-3n-m+1，……………………………10分由m是不超过100的正整数，可得2≤（-3n-m+1≤101，所以n-m+1=2或4，当n-m+1=2时，m+1=9，此时m=8，则n=9，符合题意；当n-m+1=4时，m+1=81，此时m=80，则n=83，符合题意．故使an-ma+4=m成立的所有数对（m,n为（8,9，（80,83．………………………16分an+1-mam+1+4E数学Ⅱ部分21．A．连接OD，BC，设BC交OD于点M．因为OA=OD，所以ÐOAD=ÐODA；又因为ÐOAD=ÐDAE，所以ÐODA=ÐDAE所以OD//AE；又因为AC^BC，且DE^AC，所以BC//DE．高三数学第11页共14页CFAODB
所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD，…………………………………………………………………………………5分由AC335=，设AC=3x，AB=5x，则OM=x，又OD=x，AB52253x-x=x，所以AE=AC+CE=4x，22AFAE4x8===．………………………………………………10分FDOD5x52é1ùú可得，ë-1û所以MD=因为OD//AE，所以B．由矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝êéabùé1ùé1ùê21úê-1ú＝-1ê-1ú，即a－b＝－1；……………………………………………………3分ëûëûëûé3ù由矩阵A属于特征值4的一个特征向量为α2＝êú，ë2ûéabùé3ùé3ù＝4êú，即3a+2b＝12，…………………………………………………6分úêúë21ûë2ûë2ûìa=2é23ù解得í.即A＝êú，…………………………………………………………………8分îb=3ë21û可得ê1ù2ú……………………………………………………………10分ú1-ú2úûx2y2C．
（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得+=1，259因为a=5,b=3,c=4,则点F的坐标为（4,0.因为直线l经过点（m,0，所以m=4.………………………………………………4分
（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：
é1ê-4所以A逆矩阵A-1是êê3êë4（9cos2a+25sin2at2+72tcosa-81=0.……………………………………………6分设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2，则FA×FB=|t1t2|=当sin8181=.29cosa+25sina9+16sin2a2a=0时，FA×FB取最大值9；高三数学第12页共14页
当sina=±1时，FA×FB取最小值81.25……………………………………………10分D．因为x，y，z都是为正数，所以同理可得xy1xy2+=（+≥．………………………………4分yzzxzyxzyz2zx2+≥，+≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．zxxyxxyyzyxyz111++≥++．………10分yzzxxyxyz将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得22．
（1）证明：
如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．111则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），222111PNAM×从而PN＝（－λ，，－1），AM＝（0,1，），222111＝（－λ×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM；…4分222
（2）平面ABC的一个法向量为n＝AA．1＝（0,0,1）设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），ìæ1ö1çl-÷x-y+z=0ìï1ïm×NP=0ï22ø由
（1）得MP＝（λ，－1，）．由í，得íè2ïîm×MP=0ïlx-y+1z=0ïî22l+1ìy=xï3ï解得í，令x=3，得m=（3,2l+1,2-2l）．………………………………8分ïz=2（1-l）xï3î因为平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，所以cosm,n=|2（1－λ|21m×n＝＝，解得λ＝－，29＋（2λ＋12＋4（1－λ22mn1故点P在B1A1的延长线上，且A1P＝．……………………………………………………10分223．⑴因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3，所以P3
（1）=3；………………………………………………………………………………2分⑵åP（k）=P（0）+P
（1）+P
（2）+P（3）+P（4）k=04444444高三数学第13页
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