.]
2．（2013·山东高考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝
，则c＝（ ）
A．2
B．2
C.
D．1
B [由正弦定理得：
＝
，∵B＝2A，a＝1，b＝
，
∴
＝
.
∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，
∴cosA＝
.
又0＜A＜π，∴A＝
，∴B＝2A＝
.
∴C＝π－A－B＝
，∴△ABC为直角三角形．
由勾股定理得c＝
＝2.]
3．（2016·全国甲卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝
，cosC＝
，a＝1，则b＝________.
[在△ABC中，∵cosA＝
，cosC＝
，
∴sinA＝
，sinC＝
，∴sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝
×
＋
×
＝
.
又∵
＝
，∴b＝
＝
＝
.]
回访2 三角形的面积问题
4．（2014·全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是
，AB＝1，BC＝
，则AC＝（ ）
A．5B.
C．2D．1
B [∵S＝
AB·BCsinB＝
×1×
sinB＝
，
∴sinB＝
，∴B＝
或
.
当B＝
时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝
，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝
时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝
.]
5．（2014·全国卷Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．
[∵
＝
＝
＝2R，a＝2，
又（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC可化为
（a＋b）（a－b）＝（c－b）·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴
＝
＝
＝cosA，∴∠A＝60°.
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc（“＝”当且仅当b＝c时取得），
∴S△ABC＝
·bc·sinA≤
×4×
＝
.]
回访3 正、余弦定理的实际应用
6．（2014·全国卷Ⅰ）如图2 1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.
图2 1
150 [根据图示，AC＝100
m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得
＝
⇒AM＝100
m.
在△AMN中，
＝sin60°，
∴MN＝100
×
＝150（m）．]
（对应学生用书第167页）
热点题型1 正、余弦定理的应用
题型分析：
利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化.
（2016·四川高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
＋
＝
.
（1）证明：
sinAsinB＝sinC；
（2）若b2＋c2－a2＝
bc，求tanB.
[解]
（1）证明：
根据正弦定理，可设
＝
＝
＝k（k>0）．
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
代入
＋
＝
中，有
＋
＝
，2分
即sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）.4分
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，
所以sinAsinB＝sinC．6分
（2）由已知，b2＋c2－a2＝
bc，根据余弦定理，有
cosA＝
＝
，8分
所以sinA＝
＝
.9分
由
（1）知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
所以
sinB＝
cosB＋
sinB，11分
故tanB＝
＝4.12分
关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
[变式训练1]
（1）（2016·威海二模）已知等腰△ABC满足AB＝AC，
BC＝2AB，点D为BC边上一点且AD＝BD，则sin∠ADB的值为（ ）
【导学号：
67722013】
A.
B.
C.
D.
C [如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，
由
BC＝2AB，得BC＝
a，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC＝
＝
＝
.
∵AB＝AC，∴∠ABC是锐角，
则sin∠ABC＝
＝
，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，
∴b2＝a2＋b2－2·a·b·
，解得a＝
b，
由正弦定理得，
＝
，
∴
＝
，解得sin∠ADB＝
.]
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB＋bcos（B＋C）＝0.
①证明：
△ABC为等腰三角形；
②若2（b2＋c2－a2）＝bc，求cosB＋cosC的值．
[解] ①证明：
∵acosB＋bcos（B＋C）＝0，
∴由正弦定理得sinAcosB＋sinBcos（π－A）＝0，
即sinAcosB－sinBcosA＝0，3分
∴sin（A－B）＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分
∵A，B是△ABC的两内角，
∴A－B＝0，即A＝B，5分
∴△ABC是等腰三角形.6分
②由2（b2＋c2－a2）＝bc，
得
＝
，7分
由余弦定理得cosA＝
，8分
cosC＝cos（π－2A）＝－cos2A＝1－2cos2A＝
.10分
∵A＝B，∴cosB＝cosA＝
，11分
∴cosB＋cosC＝
＋
＝
.12分
热点题型2 三角形面积的求解问题
题型分析：
三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等.
（2015·山东高考）设f（x）＝sinxcosx－cos2
.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f
＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
【解题指导】
（1）
―→
（2）
[解]
（1）由题意知
f（x）＝
－
＝
－
＝sin2x－
.2分
由－
＋2kπ≤2x≤
＋2kπ，k∈Z，可得－
＋kπ≤x≤
＋kπ，k∈Z.由
＋2kπ≤2x≤
＋2kπ，k∈Z，可得
＋kπ≤x≤
＋kπ，k∈Z.4分
所以f（x）的单调递增区间是－
＋kπ，
＋kπ（k∈Z）；单调递减区间是
（k∈Z）.6分
（2）由f
＝sinA－
＝0，得sinA＝
，7分
由题意知A为锐角，所以cosA＝
.8分
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋
bc＝b2＋c2≥2bc，10分
即bc≤2＋
，当且仅当b＝c时等号成立．
因此
bcsinA≤
，
所以△ABC面积的最大值为
.12分
1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B（或y＝Acos（ωx＋φ）＋B，y＝Atan（ωx＋φ）＋B）的形式，进而利用函数y＝sinx（或y＝cosx，y＝tanx）的图象与性质解决问题．
2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，有a2＋c2和ac两项，二者的关系a2＋c2＝（a＋c）2－2ac经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．
[变式训练2] （2016·淄博模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋
＝4cosC，b＝1.
（1）若sinC＝
，求a，c；
（2）若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积．
[解]
（1）∵sinC＝
，∴cos2C＝1－sin2C＝
，cosC＝
.1分
∵4cosC＝a＋
，
∴
＝a＋
，解得a＝
或a＝
.3分
又
＋a＝4cosC＝4×
＝4×
，
∴a2＋1＝2（a2＋1－c2），即2c2＝a2＋1.5分
∴当a＝
时，c＝2；当a＝
时，c＝
.6分
（2）由
（1）可知2c2＝a2＋1.
又△ABC为直角三角形，C不可能为直角．
①若角A为直角，则a2＝b2＋c2＝c2＋1，
∴2c2－1＝c2＋1，
∴c＝
，a＝
，8分
∴S＝
bc＝
×1×
＝
.9分
②若角B为直角，则b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1.
∴2c2＝a2＋1＝（1－c2）＋1，
∴c2＝
，a2＝
，即c＝
，a＝
，11分
∴S＝
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