高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲游戏策略.docx
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高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲游戏策略
第十讲游戏策略
对策论又称博弈论,研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系.一般地,在具有竞争或对抗性质的行为中,参加竞争对抗的各方具有不同的目标.为了达到各自的目标,各方既要制定出对自己最有利的方案,又要考虑到对手所有可能采取的方案.对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案,以及如何找到这个最佳方案.
我们将要学习的对策问题,主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题.如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话,那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手,因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案,并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置,我们将这种状态称作“必胜状态”(否则称为“必败状态”).那么在给定的游戏规则下,是否存在必胜状态,以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键.
需要强调的是,我们的目标不是“可能胜”,而是“必胜”!
我们不能存在侥幸心理,不能寄希望于对方的失误,而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略.
例题1
有12枚棋子,甲、乙两人轮流取,规定甲先取,每人每次至少取1枚,最多取3枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢,那么谁有必胜策略?
如果谁取走最后一枚棋子谁输,那么谁有必胜策略?
必胜策略是什么?
「分析」直接考虑12枚棋子并不容易,大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略,看看能否找到规律.
练习1
有15枚棋子,甲、乙两人轮流取,规定甲先取,每人每次至少取1枚,最多取2枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢.那么谁有必胜策略?
如果谁取走最后一枚棋子谁输,那么谁有必胜策略?
必胜策略是什么?
情况很复杂时,我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试,在逐渐变复杂的过程中,寻找规律进而解决题目.这其实是一种非常重要的数学思想,高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的.
利用互补的想法,我们有更一般的结论.“有m枚棋子,两人轮流取棋子,规定每人每次可以取走1至n枚,直到把棋子取完为止,谁取得最后的一枚棋子谁胜.”其取胜策略是:
每次取走棋子数除以
的余数枚棋子,让对方面对
的倍数枚棋子——必败状态,则可保证取到最后的一枚棋子而获胜.
例题2
现有2014根火柴.甲、乙两个人轮流从中取出火柴,规定甲先取,每人每次至少从中取出2根,最多取出4根.如果谁无法取出火柴谁就赢,请问谁一定能赢?
策略是什么?
「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴,如果恰好剩下1根火柴,就已经无法再次取出了.能否像例题1那样,从火柴较少的情况入手,找出规律呢?
练习2
现有2009个糖豆,甲、乙两个人轮流取从中出糖豆,每次至少从中取出2个,最多取出5个,谁无法取出糖豆谁就赢.如果甲先取,请问谁一定能赢?
策略是什么?
在一定能分出胜负的对策问题中,一方要么处于必胜状态,要么处于必败状态.处于必胜状态的一方,总能进行一次适当的操作后,把必败状态留给对手.反之,处于必败状态的一方,无论采取什么策略,都只能把必胜状态留给对手.
在很多对策问题中,具有对称性的状态往往是解决问题的关键.
例题3
甲、乙两人玩一个游戏:
有两堆小球,甲、乙两人轮流从中取球,每次只能从同一堆中取,个数不为零即可.规定取到最后一个球的人赢,甲先取球.如果开始时两堆分别有五个球和八个球,那么谁有必胜策略?
请说明理由.
「分析」直接考虑5个和8个并不容易,你能像之前一样,从最简单的情况开始分析,找到规律吗?
练习3
甲、乙两个海盗分金币:
有两堆金币,一堆有2009枚,一堆有2014枚.甲、乙轮流从中拿金币,每次只能从同一堆中拿,个数不为零即可.规定拿到最后一枚金币的人获胜,胜者可以获得所有金币.如果甲先拿,那么谁有必胜策略?
请说明理由.
B
A
例题4
如下图,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:
谁一定能获胜?
必胜策略是什么?
B
A
「分析」在棋盘中,有一些是必胜格,有一些是必败格.一方想要获胜,必须每次都把棋子走到必胜格子中,使得对手下一步无论采取什么操作,都不得不进入必败格子.本题中方格B就是必胜格.那么其他的格子中哪些是必胜格?
哪些是必败格?
练习4
如右图,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:
谁有必胜策略?
必胜策略是什么?
例题5
B
A
如下图,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿
角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:
(1)谁一定能获胜?
必胜策略是什么?
(2)如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步,结果又如何呢?
「分析」第
(1)问中,每次只能走1步,那么B为必胜格,则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格;第
(2)问中,每次可以走任意多步,那么B为必胜格,则由B可以直接找出多少个必败格呢?
例题6
桌上有一块巧克力,它被直线划分成3行7列的21个小方块,如图所示.现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏,规则如下:
①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块;
②拿走其中一块,把另一块留给对手再切;
③不断重复前两步,最后谁能恰好留给对手一个小方块,谁获胜.
如果你首先切巧克力,那么你第一次应该切走多少个小方块,才能保证自己最后获胜?
「分析」直接分析并不容易,还是先来看看简单情况吧!
如果只有一行或一列的小方块,谁会获胜?
两行或两列呢?
你能发现什么规律呢?
在对策问题中,要想取得胜利,必须使自己能始终保持在必胜状态中,而使对手总是处于必败状态.明确了这一点,我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态,什么是必败状态.“知己知彼,百战不殆.”哪一方的策略更胜一筹,哪一方就会取得最终的胜利.
课堂内外
田忌赛马
田忌很喜欢赛马.有一回他和齐威王约定,进行一次比赛.
将马分成上、中、下三等,比赛的时候,上等马对上等马,中等马对中等马,下等马对下等马.由于齐威王每个等级都比田忌的强,三场比下来,田忌都失败
了.田忌觉得很扫兴,垂头丧气地准备离开赛马场.
这时,田忌发现,他的好朋友孙膑也在人群里.孙膑招呼田忌过来,拍着他的肩膀,说:
“从刚才的情形看,齐威王的马比你的马快不了多少呀……”
孙膑还没说完,田忌瞪了他一眼,说:
“想不到你也来挖苦我!
”
孙膑说:
“我不是挖苦你,你再同他赛一次,我有办法让你取胜.”
田忌疑惑地看着孙膑:
“你是说另换几匹马?
”
孙膑摇摇头,说:
“一匹也不用换.”
田忌没有信心地说:
“那还不是照样输!
”
孙膑胸有成竹地说:
“你就照我的主意办吧.”
齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马,看见田忌和孙膑过来了,便讥讽田忌:
“怎么,难道你还不服气?
”
田忌说:
“当然不服气,咱们再赛一次!
”
齐威王轻蔑地说:
“那就来吧!
”
一声锣响,赛马又开始了.
孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马,第一场输了.
接着进行第二场比赛.孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马,胜了第二场.齐威王有点儿心慌了.
第三场,田忌拿中等马对齐威王的下等马,又胜了一场.这下,
齐威王目瞪口呆了.
比赛结果,田忌胜两场输一场,赢了齐威王.
还是原来的马,只调换了一下出场顺序,就可以转败为胜.
作业
1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上,两个小朋友玩翻硬币游戏.规定:
每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上,翻过的硬币不能再翻.两人轮流翻硬币,翻动最后一枚硬币的人获胜.请问:
谁有必胜策略?
必胜策略是什么?
2.现有200个石子.甲、乙两个人轮流从中取出石子,每次最少从中取出2个,最多取出4个,谁无法取出石子谁就赢.如果甲先取,那么谁有必胜的策略?
必胜策略是什么?
3.甲、乙两人玩一个游戏:
有两堆小球,甲、乙两人轮流从中取球,每次只能从同一堆中取任意多个,但不能不取.规定取到最后一个球的人输,甲先取球.
(1)如果开始时两堆各有两个球,那么谁有必胜策略?
请说明理由;
(2)如果开始时两堆分别有两个球和三个球,那么谁有必胜策略?
请说明理由.
4.甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线(即两个不相邻顶点的连线).规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交,谁不能继续画谁输.甲先画,请问谁有必胜策略?
必胜策略是什么?
\
5.如下图所示,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿
角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:
谁一定能获胜?
必胜策略是什么?
第十讲游戏策略
1.例题1
答案:
(1)乙有必胜策略;
(2)甲有必胜策略
详解:
(1)如果剩不到4枚棋子,先取的人把所有棋子取走后获胜;如果剩4枚棋子,无论先取的人如何取,所剩的棋子数都不到4枚,所以后取的人获胜;如果有12枚棋子,甲取1枚时乙取3枚,甲取2枚时乙取2枚,甲取3枚时乙取1枚,在每次甲取完后,乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子,这样乙可以拿到最后1枚,乙胜.
(2)如果剩1枚,那么先取的人必败;如果剩2至4枚,先取的人可以剩1枚不取,所以后取的人败.12枚的情况与4枚的情况类似,甲先取3枚,剩下9枚.之后乙取1枚时甲取3枚,乙取2枚时甲取2枚,乙取3枚时甲取1枚,甲保证两人一个回合共取4枚棋子.最后1枚必然被乙拿到,甲胜.
2.例题2
答案:
甲有必胜策略
详解:
根据上题经验,第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴,
,所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同.4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜,因此2014根火柴时甲也先取2根火柴,之后乙无论怎么取,甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴.
,最后剩下的2根火柴留给了乙,甲无法取出火柴,甲获胜.
3.例题3
答案:
甲必胜
详解:
甲先从8个球的那堆中取出三个球,使得两堆球一样多.之后每次乙取几个球,甲就在另一堆中取相同数量的球,甲获胜.
4.例题4
答案:
甲必胜
详解:
我们给必胜格子(如方格B)标记“√”,给必败格子标记“×”.从方格B逆推,能一步走到B的格子都要标记“×”.特别地,最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记,如左图.对于左图中的格子1和格子3,对方有办法把它移到必胜格子中,所以格子1和格子3都是必败格子.如果把棋子移到格子2中,对手无论怎么移,都只能移到必败格子中,因此格子2是必胜格子.用类似的方法分析,得到右图.因此甲有必胜策略,每次把棋子移到标有“√”的格子中即可.
5.例题5
答案:
(1)甲必胜;
(2)甲必胜
详解:
(1)我们给必胜格子(如方格B)标记“√”,给必败格子标记“×”.从方格B逆推,
能一步走到B的格子都要标记“×”.特别地,最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记,如左图.对于左图中的格子1和格子3,对方有办法把它移到必胜格子中,所以格子1和格子3都是必败格子.如果把棋子移到格子2中,对手无论怎么移,都只能移到必败格子中,因此格子2是必胜格子.用类似的方法分析,得到右图.因此甲有必胜策略,每次把棋子移到标有“√”的格子中即可.
(2)与第
(1)问方法类似,得到下图.甲有必胜策略,每次把棋子移到标有“√”的格子中即可.
×
×
×
×
×
×
B
×
×
×
×
√
×
×
×
×
×
×
×
√
×
×
√
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
A
×
×
√
×
×
×
6.例题6
答案:
切走12个小方块
详解:
当只剩1行(或1列)时,但不是一个小方块,先切的人只要切剩下一个小方块就赢了.
当剩2行(或2列)时,如果剩
的方块,那么先切的人切完后成为
的方块,所以后切的人必胜;如果剩
、
、…等情况,先切的人只要切剩下一个
的方块就可以取胜.
当剩3行(或3列)时,如果剩
的方块,先切的人切一刀后只能剩下
或
的方块,此时后切的人获胜.
当有
块时,先切的人切走
块,给对手留下一个
的正方形,接着每次都给对手留下一个
或
的正方形即可获胜.
7.练习1
答案:
(1)乙必胜;
(2)甲必胜
详解:
(1)甲取1枚时乙取2枚,甲取2枚时乙取1枚,乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子,即可拿到最后1枚获胜.
(2)甲先取2枚,剩下13枚.之后乙取1枚时甲取2枚,乙取2枚时甲取1枚,甲保证两人一个回合共取3枚棋子,最后1枚必然被乙拿到,甲胜.
8.练习2
答案:
甲必胜
详解:
,甲先取5个糖豆,之后乙无论怎么取,甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆,最后剩下的2个糖豆留给了乙,甲无法再次取出糖豆,甲获胜.
9.练习3
答案:
甲必胜
简答:
甲先从2014个金币中取出5个金币,使两堆金币一样多.之后每次乙拿几个金币,甲就在另一堆中拿相同数量的金币,最后肯定甲拿走最后一个金币,甲获胜.
10.练习4
答案:
甲必胜
√
×
√
×
B
×
×
×
×
×
√
×
√
×
√
A
×
×
×
×
简答:
策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内.
11.作业1
答案:
先翻动的人必胜
简答:
先翻硬币的小朋友翻1枚硬币,以后对手翻1枚时自己翻2枚,对手翻2枚时自己翻1枚,保证两人一个回合共翻3枚,即可保证自己翻到最后1枚.
12.作业2
答案:
乙必胜
简答:
甲取2个乙就取4个,甲取3个乙也取3个,甲取4个乙就取2个.
,最后剩下2个石子,甲取完,乙无法再取,乙获胜.
13.作业3
答案:
(1)乙必胜;
(2)甲必胜
简答:
(1)甲取1个乙就取2个,甲取2个乙就取1个.
(2)必胜策略是从三个球的那堆中取1个球,之后乙取1个甲就取2个,乙取2个甲就取1个.
14.作业4
答案:
甲必胜
简答:
策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线,以它为对称轴,把图形分成对称的两部分.之后乙每画一条对角线,甲就在对称的位置上画出对角线.最后肯定是乙不能继续画,甲胜.
15.作业5
答案:
乙必胜
√
×
√
×
√
×
B
×
×
×
×
×
×
×
A
×
√
×
√
×
√
简答:
策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内.