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东北大学数值分析上机实验报告.docx

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东北大学数值分析上机实验报告

 

《数值分析》上机实验报告

课题三解线性方程组的迭代法

 

学生姓名：

学生系别：

学生班级：

日期：

上机实践报告

【运行环境】

软件：

Windows、MicrosoftVisualC++6.0

PC一台

【问题提出】

对课题二所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。

【实践要求】

1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做比较；

2、分别对不同精度要求，如ε=10-3，10-4，10-5由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；

3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；

4、给出各种算法的设计程序和计算结果。

 

【目的意义】

1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；

2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；

3、体会上机计算时，终止步骤<或k>（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；

4、体会初始解x，松弛因子的选取，对计算结果的影响。

【程序代码】

//Jacobi.cpp

#include

#include

usingnamespacestd;

#defineN15//最大迭代次数

#defineP10//矩阵的阶数

//#defineP8

staticdoublea[10][10]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,

8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,

4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,

0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,

-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,

8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,

0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,

16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,

4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,

0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1};

staticdoubleb[10]={5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21};

staticdoublex_jing[10]={1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2};//精确解

staticdoublex0[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

staticdoublex1[10];

staticintk,i,j;

//staticdoublea[8][8]={4,2,-4,0,2,4,0,0,

//2,2,-1,-2,1,3,2,0,

//-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,

//矩阵B0,-2,1,6,-1,-4,-3,3,

//2,1,-8,-1,22,4,-10,-3,

//4,3,-3,-4,4,11,1,-4,

//0,2,5,-3,-10,1,14,2,

//0,0,6,3,-3,-4,2,19};

//staticdoubleb[8]={0,-6,6,23,11,-22,-15,45};

//staticdoublex_jing[8]={1,-1,0,2,1,-1,0,2};

//staticdoublex0[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};

//staticdoublex1[8];

//staticdoublea[10][10]={4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,

//-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,

//0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,

//0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,

//矩阵C0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,

//0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,

//0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,

//0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,

//0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,

//0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4};

//staticdoubleb[10]={7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};

//staticdoublex_jing[10]={2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1};

//staticdoublex0[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

doubleMax（inty）//求算该次迭代的误差

{

doublesum,max;

for（i=0;i

{

sum=0;

for（j=0;j

sum+=a[i][j]*x0[j];

x1[i]=x0[i]+（b[i]-sum）/a[i][i];

}

max=fabs（x_jing[0]-x1[0]）;

for（i=1;i

{

if（fabs（x_jing[i]-x1[i]）>max）

max=fabs（x_jing[i]-x1[i]）;

}

cout<<"第"<

returnmax;

}

voidmain（）

{

doublee[3]={10e-3,10e-4,10e-5};

doublemax;

intt;

cout<<"请选择精确度：

0、10e-31、10e-42、103-5";

cin>>t;

for（k=0;k

{

max=Max（k）;

if（max

{k=k;

break;}

else

{

for（i=0;i

x0[i]=x1[i];

}

}

if（k

{

cout<<"迭代次数为"<

cout<<"方程组的解为"<

for（i=0;i

cout<<""<

}

else

{

cout<<"迭代次数超过"<

"<

cout<<"方程组的解为"<

for（i=0;i

cout<<""<

}

}

//Gauss-Seidol.cpp

#include

#include

usingnamespacestd;

#defineN15//最大迭代次数

//#defineP10//矩阵的阶数

#defineP8

//staticdoublea[10][10]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,

//8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,

//4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,

//0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,

//-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,

//8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,

//0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,

//16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,

//4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,

//0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1};

//staticdoubleb[10]={5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21};

//staticdoublex_jing[10]={1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2};//精确解

//staticdoublex0[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

//staticdoublex1[10];

staticintk,i,j;

staticdoublea[8][8]={4,2,-4,0,2,4,0,0,

2,2,-1,-2,1,3,2,0,

-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,

0,-2,1,6,-1,-4,-3,3,

2,1,-8,-1,22,4,-10,-3,

4,3,-3,-4,4,11,1,-4,

0,2,5,-3,-10,1,14,2,

0,0,6,3,-3,-4,2,19};

staticdoubleb[8]={0,-6,6,23,11,-22,-15,45};

staticdoublex_jing[8]={1,-1,0,2,1,-1,0,2};

staticdoublex0[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};

staticdoublex1[8];

 

//staticdoublea[10][10]={4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,

//-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,

//0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,

//0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,

//矩阵C0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,

//0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,

//0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,

//0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,

//0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1

//0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4};

//staticdoubleb[10]={7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};

//staticdoublex_jing[10]={2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1};//精确解

//staticdoublex0[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

doubleMax（inty）//求算该次迭代的误差

{

doublesum1,sum2,max;

for（i=0;i

{

sum1=0;

sum2=0;

for（j=0;j<=i-1;j++）

sum1+=a[i][j]*x1[j];

for（j=i+1;j

sum2+=a[i][j]*x0[j];

x1[i]=（b[i]-sum1-sum2）/a[i][i];

}

max=fabs（x_jing[0]-x1[0]）;

for（i=1;i

{

if（fabs（x_jing[i]-x1[i]）>max）

max=fabs（x_jing[i]-x1[i]）;

}

cout<<"第"<

returnmax;

}

voidmain（）

{

doublee[3]={10e-3,10e-4,10e-5};

doublemax;

intt;

cout<<"请选择精确度：

0、10e-31、10e-42、103-5";

cin>>t;

for（k=0;k

{

max=Max（k）;

if（max

{k=k;

break;}

else

{

for（i=0;i

x0[i]=x1[i];

}

}

if（k

{

cout<<"迭代次数为"<

cout<<"方程组的解为"<

for（i=0;i

cout<<""<

}

else

{

cout<<"迭代次数超过"<

"<

cout<<"方程组的解为"<

for（i=0;i

cout<<""<

}

}

//SOR.cpp

#include

#include

usingnamespacestd;

#defineN15//最大迭代次数

#defineP10//矩阵的阶数

//#defineP8

//staticdoublea[10][10]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,

//8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,

//4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,

//矩阵A0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,

//-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,

//8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,

//0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,

//16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,

//4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,

//0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1};

//staticdoubleb[10]={5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21};

//staticdoublex_jing[10]={1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2};//精确解

//staticdoublex0[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

staticdoublex1[P];

staticdoublesumx[P];

staticintk,i,j;

//staticdoublea[8][8]={4,2,-4,0,2,4,0,0,

//2,2,-1,-2,1,3,2,0,

//-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,

//矩阵B0,-2,1,6,-1,-4,-3,3,

//2,1,-8,-1,22,4,-10,-3,

//4,3,-3,-4,4,11,1,-4,

//0,2,5,-3,-10,1,14,2,

//0,0,6,3,-3,-4,2,19};

//staticdoubleb[8]={0,-6,6,23,11,-22,-15,45};

//staticdoublex_jing[8]={1,-1,0,2,1,-1,0,2};

//staticdoublex0[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};

//staticdoublex1[8];

staticdoublea[10][10]={4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,

-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0,

0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0,

0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,

0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,

0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,

0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,

0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,

0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,

0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4};

staticdoubleb[10]={7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};

staticdoublex_jing[10]={2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1};//精确解

staticdoublex0[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};

doubleMax（doublew,doubley）

{

doublesum1,sum2,max;

for（i=0;i

{

sum1=0;

sum2=0;

for（j=0;j<=i-1;j++）

sum1+=a[i][j]*x1[j];

for（j=i;j

sum2+=a[i][j]*x0[j];

sumx[i]=w*（b[i]-sum1-sum2）/a[i][i];

x1[i]=x0[i]+sumx[i];

}

max=fabs（x_jing[0]-x1[0]）;

for（i=1;i

{

if（fabs（x_jing[i]-x1[i]）>max）

max=fabs（x_jing[i]-x1[i]）;

}

cout<<"第"<

returnmax;

}

voidmain（）

{

doublee[3]={10e-3,10e-4,10e-5};

doublew[5]={0.8,0.9,1,1.1,1.2};

doublemax;

intt,l;

cout<<"请选择精确度：

0、10e-31、10e-42、103-5";

cin>>t;

cout<<"请选择松弛因子:

0、0.81、0.92、13、1.14、1.2";

cin>>l;

for（k=0;k

{

max=Max（w[l],k）;

if（max

{k=k;

break;}

else

{

for（i=0;i

x0[i]=x1[i];

}

}

if（k

{

cout<<"迭代次数为"<

cout<<"方程组的解为"<

for（i=0;i

cout<<""<

}

else

{

cout<<"迭代次数超过"<

"<

cout<<"方程组的解为"<

for（i=0;i

cout<<""<

}

}

 

【运行结果】

方程A：

=

Jacobi迭代

 

Gauss-Seidol迭代

SOR迭代

 

方程B

 

Jacobi迭代

 

Gauss-Seidol迭代

SOR迭代

方程C

Jacobi迭代

 

Gauss-Seidol迭代（选取了不同的精度）

SOR迭代（选取了不同的松弛因子）

【结果分析】

1、通过实验结果看出（方程C的Gauss-Seidol迭代），取的精度不同，迭代的次数也不同。

精度越大，迭代次数越多。

2、通过实验结果看出（方程C的SOR迭代），取的松弛因子的大小不同，迭代的次数不同，其中ω=1的时候，为Gauss-Seidol迭代。

而松弛因子的取值影响着迭代次数，最佳松弛因子为使ρ（Lω）达到最小的ω。

本实验中方程C最佳的ω为1。

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