数学教案 五升六2 替换与消元.docx
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数学教案五升六2替换与消元
教案
教材版本:
精英版.学校:
.
教师
年级
五升六
授课时间
年月日
课时
2课时
课题
第二讲替换与消元
教材分析
本讲主要让学生学会用“代入消去法”和“加减消元法”解决有关消去问题,减少未知量的个数,简化解题过程。
“代入消元法”的本质也就是用含一个未知数的式子去替换另一个未知数,以达到消元的目的,发展学生分析推理能力。
例题部分例2难度较大,教师着重讲解,有些方法学生不易想到,教师循序善诱。
拓展训练部分是例题部分巩固,学生独立完成即可。
拓展延伸题目,在教材中不予体现,作为教师在课堂选讲内容。
教学目标
知识技能
1.理解消去法解题的含义和计算依据;
2.能通过观察对比和分析计算出未知量;
3.能够运用已知条件灵活计算和转化,设法抵消掉其中的一个或两个未知数,只剩下的一个未知数进而求解。
数学思考
1.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中,经历将现实问题抽象为方程,将未知转换为已知的过程,进一步体会消元的思想方法及价值。
2.学会独立思考,体会数学中替换与消元的基本思想。
问题解决
1.尝试从日常生活中发现、提出或设计用消去法解决的数学问题,并用所学的知识加以解决;
2.与他人合作交流,并能理清自己的思路,尝试解释自己的思考过程。
情感态度
1.感受数学与现实生活的联系,培养学生的数学应用意识。
2.帮助学生养成自觉检验的学习习惯,培养学生的分析能力和应用能力,渗透代数的数学思想和方法。
教学重点、难点
教学重点:
了解消去问题的特征,学会用消去法解决这类问题。
教学难点:
解决稍复杂的,利用系数最小公倍数解决的消去问题。
教学准备
动画多媒体语言课件
第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师:
同学们,之前在我们的学习中,“消元”的知识也有所接触,大家认为难吗?
生:
……
师:
今天我们的主人公小佳,最近也在学习替换与消元的问题,他有一些郁闷,我们去看看发生了什么吧。
(课件播放导入)
二、教学新授
(一)呈现问题1
师:
曹冲来到了学校的一间教室,给小佳提出了这样一个问题:
(先播放过渡场景)
例1:
学校买来6张桌子和10把椅子,一共用去1500元,买2张桌子的钱可买5把椅子。
每张桌子和每把椅子各多少元?
1.学生读题,明确题意。
2.师生互动,教师引导。
师:
通过读题,大家获取到了哪些信息?
转化为数学语言如何表示呢?
(根据学生情况,适时出示课件解析)
生1:
6张桌子的价钱+10把椅子的价钱=1500元。
生2:
2张桌子的价钱=5把椅子的价钱。
师:
非常好,现在题目中有两个未知量,该怎么办呢?
通过观察两个式子,大家能否转化变为一个未知量呢?
生:
第一个式子中有6张桌子,第二个式子中有2张桌子,我可以把第二个式子中的2张桌子×3,变成6张桌子。
师:
那么等式左边发生了变化,等式右边呢?
生:
等式右边也需要扩大3倍,也就是6张桌子的价钱=15把椅子的价钱。
师:
非常好,那么现在两个式子中都有了6张桌子的价钱,下一步该如何变?
生:
可以将第一个式子中的6张桌子的价钱用15把椅子的价钱替换,这样就可以计算出椅子的价钱。
师:
椅子的钱计算出来,我们可以代入其中任意一个式子计算出桌子的价钱,或者也可以利用同样的方法,将第一个式子中的桌子用椅子的钱替换计算。
选择你喜欢的方法,进行列式解答吧。
3.学生尝试独立解答。
4.全班集体汇报。
(教师出示课件答案,规范学生解题步骤)
5.教师小结。
学会转化是替换与消元解题过程中的重要环节,要注意观察未知量式子之间的特点,逐步由未知向已知转化。
答案:
椅子的单价:
1500÷(10+6÷2×5)=60(元)
桌子的单价:
60×5÷2=150(元)
答:
每张桌子150元,每把椅子60元。
(二)举一反三
商店卖出电视机8台,空调10台,一共收款49400元。
若每台电视机比每台空调贵1000元,问每台电视机和每台空调各多少元?
1.学生读题,获取信息。
2.师生合作,教师引导。
师:
通过读题,你得到了哪些信息?
尝试用数学语言表示出来。
生1:
8台电视机的价钱+10台空调的价钱=49400元。
生2:
每台电视机的价钱-每台空调的价钱=1000元。
师:
知道这两个式子,有两个未知量,该如何计算?
生1:
根据第二个式子,可以用每台电视机的价钱表示出每台空调的价钱,然后将第一个式子中空调的价钱替换掉,剩一个未知数,进行计算。
生2:
也可以用每台空调的价钱表示出每台电视机的价钱,进行替换计算。
师:
很清晰的思路,尝试独立解答吧。
3.学生独立解答。
4.总结交流。
答案:
空调单价:
(49400-8×1000)÷(10+8)=2300(元)
电视机单价:
2300+1000=3300(元)
答:
每台电视机3300元,每台空调2300元。
(三)呈现问题2
师:
离开教室,沿着学校走道,曹冲来到了的体育器材室。
(播放过渡场景)
例2:
学校A、B两个校区在同一家体育用品店采购了同样的篮球和同样的排球,采购信息如下表:
请你根据表中的信息,求出篮球和排球的单价。
1.学生读题,明确题意。
2.师生互动,教师引导。
师:
这道题目相比之前有了一定难度,我们并不知道篮球个数和排球个数之间的关系,该怎么办?
大家仔细观察表格,横向、纵向,上下对比,你能发现什么?
生:
我发现A校区是B校区的排球总价的2倍。
师:
非常棒的发现,那么我们能否将这两个总价变为一致呢?
其它数据是否会跟着改变呢?
生:
我可以B校区的数量整体都乘2,将排球总价和A校区的变成一样的。
师:
大家按着这个方法,尝试做一下,你有什么发现?
生:
排球总价一样了,篮球总价B校区比A校区多了3000元,球的个数也多了20个。
师:
排球总价一样了,说明排球的个数一样,那么根据多出的篮球总价和球的个数可以求出什么?
生:
篮球的单价。
3.学生独立写出过程。
4.总结交流。
在解决较复杂的含有多个未知量的题目的过程中,仔细观察各个数量之间的关系,通过扩大或缩小等变化,使其中一个量保持一致,进行计算。
答案:
解:
篮球单价:
(2250×2-1500)÷(19×2-18)=150(元)
排球单价:
800÷(18-1500÷150)=100(元)
答:
篮球和排球的单价分别为150元和100元。
(四)呈现问题3
师:
从器材室出来,曹冲来到了的展示栏,看到这样一个图形:
(播放过渡场景)
例3:
四边形BEHC是正方形,BF=12分米,DH=15分米,求长方形AFGD的周长。
1.学生读题,观察图形。
2.师生互动,教师引导。
师:
根据图形,要求长方形AFGD的周长,我们可以如何用线段表示它的周长?
生1:
长方形AFGD的周长=AF+FG+DG+AD。
师:
但是现在只已知了BF和DH的长度,如何转化到已知线段上呢?
生2:
长方形AFGD的周长=AB+BF+FG+CG+DC+AD,CG和BF的长度一样。
师:
那么其余线段的长度之和呢?
题中还有什么条件没有用到?
生:
因为BEHC是正方形,那么BC=AD=FG=CH,而且AB=CD,所以AD+AB=FG+DC=CH+DC=DH。
3.学生整理思路,独立完成。
4.总结交流.
进行几何图形的计算时,仔细观察图形,找到未知量与已知量之间的数量关系,用相等线段进行替换,计算。
答案:
(12+15)×2=54(分米)
答:
长方形AFGD的周长为54分米。
师:
离开了的展示栏,曹冲下一站又和小佳去到哪里呢?
我们下节课接着学习。
接下来的时间先到拓展问题中巩固一下今天的所学知识吧。
3、巩固应用、尝试成功.
(一)拓展问题1
1.下图中□、☆和△各代表几?
☆+☆=□+□+□
□+□+□=△+△+△+△
☆+□+△+△=80
☆=( )□=( )△=( )
(本题较为简单,建议学生独立完成,根据学生答题情况,教师酌情出示课件解析,也可请学生进行讲解。
)
答案:
☆=30,□=20,△=15
(二)拓展问题2
2.学校买来20个排球和10个篮球,共付1250元,3个排球的价格与1个篮球的价格相等。
排球和篮球的单价各是多少元?
(本题是例1的变式练习,难度不大,学生独立完成即可,然后老师找学生说说自己的解题思路,也可请学生黑板板演,教师根据学生掌握情况,酌情出示解析:
根据题意,可以得到
20个排球+10个篮球=1250元;3个排球的价格=1个篮球的价格
将第一个式子中,10个篮球的价格用30个排球的价格替换)
答案:
解:
排球单价:
1250÷(10×3+20)=25(元)
篮球单价:
25×3=75(元)
答:
排球和篮球的单价分别是25元和75元。
(三)拓展问题3
3.水果店王老板运进25千克葡萄和80千克西瓜共付360元,已知每千克葡萄比每千克西瓜贵6元,每千克西瓜和每千克葡萄各多少元?
1.学生读题,理解题意。
2.生生合作,相互讲解。
生1:
通过读题,我得出了两个关系式:
25千克葡萄的价钱+80千克西瓜的价钱=360元
每千克葡萄的价钱-每千克西瓜的价钱=6元
生2:
我可以通过第二个关系式,将每千克葡萄的价钱用每千克西瓜的价钱代替,然后代入到第一个式子中,求出每千克葡萄的价钱。
3.学生独立列式。
4.总结交流。
答案:
解:
西瓜单价:
(360-25×6)÷(25+80)=2(元)
葡萄单价:
2+6=8(元)
答:
每千克西瓜2元,每千克葡萄8元。
四、课堂小结.
这节课学习了替换与消元的一些基本题型,每种题型的方法都需要掌握,大家都掌握了吗?
休息一下,下节课我们继续学习。
第二课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师:
上节课我们在习题中体会了替换与消元法的灵活运用,也跟随小佳的梦乡,和曹冲一起游览了学校,接下来又曹冲又会去到哪里呢?
我们接着这节课的学习。
二、教学新授
师:
曹冲又来到了的道具室,看到了一些精美的衣服:
(播放过渡场景)
(一)呈现问题4
4.我记得用980元买了上衣、裤子和鞋。
上衣的价钱比裤子贵570元,上衣和裤子一共比鞋贵680元。
你知道这件上衣、这条裤子、这双鞋分别是多少元吗?
1.学生读题,明确题意。
2.教师引导。
师:
根据题目,你获取到了哪些信息?
生1:
上衣价+裤子价+鞋价=980元;
生2:
上衣价-裤子价=570元;
生3:
上衣价+裤子价-鞋价=680元。
师:
现在有三个式子,三个未知量,该怎样利用消元法计算呢?
大家先观察第一个式子和第三个式子,你有什么发现?
生:
这两个式子都有上衣价,裤子价,和鞋价,但是鞋价前面一个是加号,一个是减号。
师:
根据这两个式子能否消去一些未知数呢?
生:
两个式子相减,就剩2倍的鞋价,可以计算出鞋价的价格。
师:
我们将上节课学习的消元方法,可以称作“代入消元法”,这道题目,用的方法我们称之为“加减消元法”。
师:
计算出鞋价,你能否再利用“加减消元法”计算出上衣价和鞋价吗?
尝试计算一下。
3.学生独立完成。
4.教师总结。
做题过程中,我们可以根据关系式中,系数的特点,合理采用“代入消元法”或“加减消元法”。
答案:
解:
鞋价:
(980-680)÷2=150(元)
裤子价:
[(980-150)-570]÷2=130(元)
上衣价:
980-150-130=700(元)
答:
这件上衣700元,这条裤子130元,这双鞋150元。
(二)呈现问题5
师:
离开道具室,曹冲又来到了表演室:
(播放过渡场景)
例5:
驴子和骡子一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重的。
驴子抱怨负担太重,骡子说:
“你抱怨干嘛,如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!
你知道驴和骡子各驮了几袋?
1.学生读题,寻找解题思路。
2.教师引导。
师:
通过读题,你得出了怎样的关系式?
依据是什么?
生1:
骡子的袋数+1=2×(驴子的袋数-1);
生2:
驴子的袋数=骡子的袋数-1-1。
师:
这道题目中关系还是比较明显的,如何求出驴子和骡子各驮了多少袋?
生:
根据第二个关系式,可以用骡子的袋数表示出驴子的袋数。
师:
大家可以整理出式子,运用消元法进行计算,也可以利用方程进行解答。
3.学生整理思路,独立写出解题过程。
4.总结交流.
答案:
解:
设骡子驮了x袋,则驴子驮了(x-1-1)袋。
x+1=2(x-1-1-1)
x+1=2(x-3)
x+1=2x-6
x=7
驴子:
7-1-1=5(袋)
答:
骡子驮了7袋,驴子驮了5袋。
三、巩固应用、尝试成功.
(一)拓展问题4
4.老刘大清早准备骑摩托车运9只鸡和7只鹅去集市卖钱。
他先在家称了称,共重124斤,鹅的总质量比鸡重。
为了摩托车两边保持平衡,老刘把鸡和鹅各取2只左右交换,这样摩托车两边的质量就相等了。
假设每只鸡的质量相等,每只鹅的质量也相等。
那么每只鸡和鹅各重多少斤?
1.学生读题,理解题意。
2.师生互动,教师引导。
师:
根据题目,你得到了怎样的数量关系?
生:
9只鸡的重量+7只鹅的重量=124斤。
师:
如何理解“把鸡和鹅各取2只左右交换,这样摩托车两边的质量就相等了”,用式子可以如何表示?
生:
7只鸡的重量+2只鹅的重量=5只鹅的重量+2只鸡的重量,也就是5只鸡的重量=3只鹅的重量。
师:
观察这两个式子,对比我们上节课遇到的此类型题,有什么不同之处吗?
生:
之前通过第二个式子,直接乘一个倍数,就可以出现第一个式子中所含有的数量,但是这道题目不可以。
师:
那么这种情况下,我们该如何消元?
提示大家,寻求上下两个式子中,相同种类之间的最小公倍数,进行计算,大家尝试一下。
3.同桌间讨论完成。
(根据学生情况,酌情出示解析)
4.总结交流。
答案:
解:
每只鸡的重量:
124×3÷(9×3+5×7)=6(斤)
每只鹅的重量:
(124-9×6)÷7=10(斤)
答:
每只鸡重6斤,每只鹅重10斤。
(二)拓展问题5
5.王老师每天晨练,周六跑步3000米,散步900米,共用35分钟;周日跑步2700米,散步300米,共用23分钟。
王老师每天跑步速度、散步速度是一样的,那么他散步每分钟走多少米?
(这道题目是例2的变式练习,可作为检验,放在例2后让学生完成,提示学生列表,寻求关系,独立完成)
提示:
答案:
解:
跑步速度:
(2700×3-3000)÷(23×3-35)=150(米/分)
散步速度:
900÷(35-3000÷150)=60(米/分)
答:
散步每分钟走60米。
(三)拓展问题6
6.一件工作,欢欢做6小时以后由乐乐来做,4小时可以完成;乐乐做8小时以后由欢欢来做,也是4小时可以完成。
那么欢欢做1小时以后由乐乐来做几小时可以完成?
1.学生读题,理解题意。
2.师生互动,合作完成。
师:
通过读题,工作总量可以如何表示?
生1:
欢欢6小时工作量+乐乐4小时工作量;
生2:
乐乐8小时工作量+欢欢4小时工作量。
师:
这两个式子都代表工作总量,所以两个式子是相等的,那么你能得出欢欢和乐乐两个工作量之间怎样的关系?
生:
欢欢2小时工作量=乐乐4小时工作量,也就是欢欢1小时工作量=乐乐2小时工作量。
师:
现在题目要求,欢欢先做1小时后,乐乐做多久,结合之前几个式子,能否将一些量拆分开,表示工作总量呢?
(小组讨论,汇报)
生:
根据欢欢6小时工作量+乐乐4小时工作量,可以表示为欢欢1小时工作量+欢欢5小时工作量+乐乐4小时工作量。
师:
分析到这里,大家尝试完成这道题目。
3.学生间相互讲解,完成解题过程。
4.总结交流。
答案:
解:
欢欢工作效率为乐乐的:
(8-4)÷(6-4)=2
全部由乐乐来做,需:
6×2+4=16(小时)
欢欢做1小时后:
16-1×2=14(小时)
答:
欢欢做1小时以后由乐乐来做14小时可以完成。
四、拓展视野
棋艺小组的赵老师第一次买了3副象棋和5副围棋,一共花了109元;第二次买了5副象棋和3副围棋,一共花了75元钱,象棋单价、围棋单价各多少元?
1.学生读题,寻找数量关系式。
2.师生互动,合作完成。
师:
通过读题,你能否将题目信息转化为数学语言?
生1:
3×象棋单价+5×围棋单价=109元;
生2:
5×象棋单价+3×围棋单价=75元。
师:
根据这两个式子,代入消元法比较复杂,那么能否尝试加减消元法呢?
生:
但是加减消元法,两个式子系数不一样。
师:
我们之前有用到找最小公倍数的方法,这道题目能否用到呢?
3.学生尝试独立解答。
4.总结交流。
答案:
解:
象棋单价:
(75×5-109×3)÷(5×5-3×3)=3(元)
围棋单价:
(109-3×3)÷5=20(元)
答:
象棋单价3元,围棋单价20元。
五、课堂总结
1.消元法:
一般是包含两个或两个以上的未知量,根据题中的条件,通过运算进行转化,想办法使得其中一个数量相同,然后用“代入消元法”或“加减消元法”消去一个未知量,进而求另一个未知量。
2.代入消元法:
根据等量代换的原理,把含有两个量的算式用含有一个量的算式表示出来。
3.加减消元法:
根据等式的性质,两个等式等号的左边相加减,等于等号的右边相加减,消去一个量。
拓展问题答案:
1.☆=30,□=20,△=15
2.排球单价:
1250÷(10×3+20)=25(元)
篮球单价:
25×3=75(元)
答:
排球和篮球的单价分别是25元和75元。
3.西瓜单价:
(360-25×6)÷(25+80)=2(元)
葡萄单价:
2+6=8(元)
答:
每千克西瓜2元,每千克葡萄8元。
4.每只鸡的重量:
124×3÷(9×3+5×7)=6(斤)
每只鹅的重量:
(124-9×6)÷7=10(斤)
答:
每只鸡重6斤,每只鹅重10斤。
5.跑步速度:
(2700×3-3000)÷(23×3-35)=150(米/分)
散步速度:
900÷(35-3000÷150)=60(米/分)
答:
散步每分钟走60米。
6.欢欢工作效率为乐乐的:
(8-4)÷(6-4)=2
全部由乐乐来做,需:
6×2+4=16(小时)
欢欢做1小时后:
16-1×2=14(小时)
答:
欢欢做1小时以后由乐乐来做14小时可以完成。