数理金融.docx

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数理金融

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1.你管理的股票基金的预期风险溢价为10％，标准差为14％，短期国库券利率为6％。

你的委托人决定将60000美元投资于你的股票基金，将40000美元投资于货币市场的短期国库券基金，你的委托人的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？

解：

你的基金的预期收益率=国库券利率+风险溢价=6%+10%=16%。

客户整个资产组合的预期收益率为0.6×16%+0.4×6%=12%。

客户整个资产组合的标准差为0.6×14%=8.4%。

2.假设投资者有100万美元，在建立资产组合时有以下两个机会：

①无风险资产收益率为12％/年，

②风险资产收益率为30％/年，标准差为40％，

如果投资者资产组合的标准差为30％，那么收益率是多少？

解：

W=30%/40%=0.75

E（r）=12%*0.25+30%*0.75=25.5%

3.A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间的相关系数。

根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：

①平均投资于A、B；②平均投资于A、C；③平均投资于B、C；④全部投资于C。

答案：

③

4。

如果rf＝6%，E（rM）＝14%，E（rP）＝18%的资产组合的β值等于多少？

答案：

5.一证券的市场价格为50美元，期望收益率为14％，无风险利率为6％，市场风险溢价为8.5％。

如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍（其他变量保持不变），该证券的市场价格是多少？

假定该股票预期会永远支付一固定红利。

答案：

如果证券的协方差加倍，则它的值和风险溢价也加倍。

现在的风险溢价为8%（=14%-6%），因此新的风险溢价为16%，新的折现率为16%+6%=22%。

如果股票支付某一水平的永久红利，则我们可以从红利D的原始数据知道必须满足永久债券的等式：

价格=红利/折现率

50=D/0.14

D=50×0.14=7.00美元

在新的折现率22%的条件下，股票价值为7美元/0.22=31.82美元。

6.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，一股股票今天的售价为50美元，在年末将支付每股6美元的红利，贝塔值为1.2。

预期在年末该股票售价是多少？

答案：

r=6%+（16%-6%）*1.2=18%

（P1+D-P0）/P0=r

P1=50*（1+18%）-6=53美元

7.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，投资者购入一企业，其预期的永久现金流为1000美元，但因有风险而不确定。

如果投资者认为企业的贝塔值是0.5，当贝塔值实际为1时，投资者愿意支付的金额比该企业实际价值高多少？

答案：

假定1000美元是永久型债券。

如果贝塔值为0.5，现金流应该按利率折现：

6%+0.5×（16%-6%）=11%

PV=1000/0.11=9090.91美元

但是，如果等于1，则投资的收益率就应等于16%，支付给企业的价格就应该为：

PV=1000/0.16=6250美元

其中的差额为2840.91美元

8.在2007年，短期国库券（被认为是无风险的）的收益率约为5％。

假定一贝塔值为1的资产组合市场要求的期望收益率为12％，根据资本资产定价模型和证券市场线：

①市场资产组合的预期收益率是多少？

②贝塔值为0的股票的预期收益率是多少？

③假定投资者正考虑买入一股股票，价格为40美元，该股票预计来年派发红利3美元。

投资者预期可以以41美元卖出。

股票风险贝塔值为-0.5，该股票是高估还是低估了？

答案：

①因为市场组合的定义为1，它的预期收益率为12%。

②贝塔值等于0意味着无系统风险。

因此，资产组合的公平的收益率是无风险利率，为5%。

③运用证券市场线，贝塔值为-0.5的股票公平收益率为：

E（r）=5%+（-0.5）（12%-5%）=1.5%

利用第二年的预期价格和红利，求得预期收益率：

E（r）=44/40-1=0.10或10%

因为预期收益率超过了公平收益，股票必然定价过低。

9.假定证券收益由单指数模型确定：

其中，Ri是证券i的超额收益，而RM是市场超额收益，无风险利率为2％假定有三种证券A、B、C，其特性的数据如下表所示：

1如果σM=20%，计算证券A、B、C的收益的方差。

②现假定拥有无限资产，并且分别与A、B、C有相同的收益特征。

如果有一种充分分散化的资产组合的A证券投资，则该投资的超额收益的均值与方差各是多少？

如果仅是由B种证券或C种证券构成的投资，情况如何？

③在这个情况下，有无套利机会？

如何实现？

具体分析这一套利机会

答案：

①

②如果存在无限数量的资产都具有相同的特征，每一种充分分散化的资产组合都将只有系统风险，因为当n很大时，非系统风险趋近于0。

均值将等于各个股票（都相同）的值。

2没有套利机会，因为充分分散化的资产组合都画在证券市场线（SML）上。

因为它们都是公平定价的，因而没有套利的可能。

10.假定市场可以用下面的三种系统风险及相应的风险溢价进行描述：

特定股票的收益率可以用下面的方程来确定：

r＝15%＋1.0I＋0.5R＋0.75C＋e

使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。

国库券利率为6%，该股票价格是低估还是高估了？

解释原因。

解：

APT的以rf和因素为基础的股票要求收益率为：

要求的E（r）=6+1×6+0.5×2+0.75×4=16%

根据该期望公式，股票实际的预期收益率E（r）=15%（因为所有因素的预期到的变动都定为0）。

因为基于风险的要求收益率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该股票定价过高。

11.股票提供的预期收益率为18％，其标准差为22％。

黄金提供的预期收益率为10％，标准差为30％。

①根据黄金在平均收益率和波动性上的明显劣势，有人会愿意持有它吗？

如果有，请用图形表示这样做的理由。

②由上面的数据，再假设黄金与股票的相关系数为1，重新回答①问题。

画图表示为什么有人会或不会在他的资产组合中持有黄金。

这一系列有关期望收益率、标准差、相关性和假设代表了证券市场的均衡吗？

答案：

①即便看起来股票要优于黄金，黄金仍然是一种极富吸引力的资产，可以作为资产组合的一部分来持有。

如果黄金和股票之间的相关性足够低，它将被作为资产组合—最优切线资产组合中的一个元素持有。

②如果黄金与股票的相关系数为+1，则不持有黄金。

最优的资本配置线将由国库券和股票构成。

因为股票和黄金的组合的风险/收益集合将画出一条负斜率的直线（见下图），则股票资产组合将优于它们。

当然，这种情况不会永远持续下去。

如果没有人想要黄金，则金价会下跌，它的预期收益率就会上升，直至它成为一种富于吸引力的值得持有的资产

12．假定一份期货合约，其标的股票不支付红利，现价为150美元，期货一年后到期，如果短期国库券利率为6%，期货价格是多少？

如果合约期限是3年，期货价格是多少？

如果利率是8%，期货合约价格是多少？

解：

K1=

K2=150*

K3=150*

若题干改为“国库券利率”（去掉短期），则K1=150*（1+6%），K2=150*（1+6%）3

K3=150*（1+8%）3

13.股指期货的乘数为250美元，合约期限一年，指数即期水平为950点，无风险利率为每月0.5%，指数的股利收益率为每月0.2%，假定一个月后，股指为960点

1求合约的盯市收益的现金流，假定评价条件始终成立

2如果合约保证金为15000美元，求持有期收益率。

解：

现在股指期货价格：

950*（1+0.5%-0.2%）12=984.7699

一个月后股指购买价格960*（1+0.5%-0.2%）11=992.1565

期货价格上涨增量为：

992.1565-984.7699=7.39

现金流为：

250*7.39=1847.5美元

持有期收益率=1847.5/15000=12.32%

名词解释与简答

红利诱惑

红利与资本利得是投资者投资收益的两项主要来源，在一个不存在税收和交易成本的有效市场中，对于理性投资者而言，收益的形式是红利还是资本利得是不存在区别的，因为理性投资者并不需要依赖公司去创造红利，他们自己可以通过出售股票而获得利润，特别是在一个对红利征税比对资本利得征税更高的现实市场中，公司不派股利应该是对投资者更为有利，但现实却是公司会应股东要求支付红利，为什么股东需要红利呢？

行为金融学运用“心理账户”、“不完善的自我控制”和“后悔厌恶”进行了分析，对现实投资者而言，一美元红利与一美元资本利得是有区别的，因为他们在心理上将资金存入了不同账户之中，股票价格的下跌是心理上资本账户的损失，而公司取消红利则是红利账户的损失，并且现实投资者不同于理性人，他们不具备良好的自控能力，对于在花销上缺乏良好自制力的投资者来说，只花红利不花资本金是改善自控力的最好方法。

除此之外，对于后悔的厌恶也是投资者不愿意出售股票来获益，因为今后股票价格上升了，投资者会感到后悔，后悔是与决策的责任相联系的，因为决策失误而导致后悔，如果投资者接受红利就不需要决策，从而后悔的可能性就会减少。

弗里德曼－萨维奇困惑

在马柯维茨的均值－方差模型中，投资者将一笔资金投资于N种不同的证券上构成一个组合，每个组合均可以由期望收益率和方差两个指标来标度。

该模型假设投资者均是风险厌恶的，其差异仅在于厌恶程度不同，即不同投资者所构造的组合其方差大小不同，而对于一位投资者而言，其风险厌恶程度是确定一致的，不因投资对象不同而不同，最终由方差这一综合指标作为代表。

但弗里德曼和萨维奇研究发现，人们通常同时购买保险与彩票，在购买保险时表现出风险厌恶，在彩票投资上表现出高风险寻求。

这说明投资者并不总是回避风险的，而且他们也并未将所有的投资化作一个组合来对待，不同的资产其表现出的风险态度是不同的。

行为金融认为弗里德曼—萨维奇困惑是由于投资者对于不同的心理账户有不同的风险态度，投资者们对于各种资产进行投资时通常将这些资产划分成不同的层次。

低层的心理账户通常收益比较低，如投资于货币市场基金、信用级别高的债券等等，但相对而言安全、稳定，投资者在这一层的投资表现出极强的风险厌恶，而在高层心理账户上的投资通常收益很高，具有很大的增值潜力，如投资于彩票，高成长基金，股票等，但相对而言具有很大风险，投资者在这一层的投资则表现出较强的风险寻求。

而且与马科维茨模型不同，现实投资者通常忽略不同心理账户之间的相关性。

无差异曲线：

投资者无差异曲线是指能够给投资者带来相同满足程度的收益与风险的不同组合。

可行集：

可行集是指由n种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。

也就是说，所有可能的组合将位于可行集的内部或边界上。

有效集：

假设投资者是风险厌恶的，一定风险水平下，投资者将会选择能够提供最大预期收益率的组合，而同样的预期收益率水平下，他们将会选择风险最小的组合，同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集。

最优投资组合：

投资者投资效用最大化的最优投资组合是位于无差异曲线与有效集的相切点。

分离定理：

风险资产组合的最优资产组合的确定与单个投资者的偏好无关，每个投资者根据自己的偏好在资本市场线CML上选择需要的证券组合，它是由市场证券组合M和以RF为利率的无风险证券组成。

数理金融:

数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合的一门新学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。

期货：

期货是现在进行买卖，但是在将来进行交收或交割的标的物，这个标的物可以是某种商品例如黄金、原油、农产品，也可以是金融工具，还可以是金融指标。

数理金融的发展阶段：

分为三个阶段,第一个时期为发展初期，代表人物有阿罗，德布鲁，夏普，马科维茨，代表模型有：

阿罗—德布鲁均衡，资本资产定价模型，M—M定理。

第二个时期1969-1979年，这是数理金融发展的黄金时代，代表人物有莫顿，布莱克，斯科尔斯，考克斯，罗斯，莱克，布雷登等人，代表模型有：

Black—Scholes模型，二项式模型，考克斯—英格尔—罗斯利息率期限结构模型。

第三个阶段，成果频出，不断成熟完善的时期；代表人物有达菲，卡瑞撒斯，考克斯，代表模型有Black—Scholes模型，高级期限结构的数学模型。

行为金融学:

行为金融学是在评论数理金融学的基础上建立的，他对数理金融学提出了挑战，它把投资者的心理区分为理性逐利与价值感受，把心理学纳入投资行为分析，解释金融市场的异常现象。

风险度量：

考虑效用函数U（x），假定其关于x是凹的，即效用函数具有凹性，U’（x）>0,

U”（x）<0,它表示人们对于风险的态度是厌恶的，即“风险厌恶”。

阿罗—普拉特绝对风险规避度量：

一条效用函数的曲线如果凹度越大，则表示投资者越是规避风险，曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量，用二阶导数除以一阶导数，得到一个衡量度，称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量，r（w）=—

。

期望效用函数：

对于任何两个博弈G1（a1，b1；

1），G2（a2，b2；

2）及给定的偏好关系，如果函数U（G）满足如下条件：

①G1（a1，b1；

1）比G2（a2，b2；

2）好，当且仅当

U[G1（a1，b1；

1）]>U[G2（a2，b2；

2）]

2G1（a1，b1；

1）和G2（a2，b2；

2）无差异，当且仅当

U[G1（a1，b1；

1）]=U[G2（a2，b2；

2）]

3U[G（a，b；

）]=

U（a）+（1-

）U（b）=E[U（G）]

则称U（G）为代表此偏好关系的期望效用函数。

期权的内在价值：

又称内涵价值，是指在履行期权合约时可获得的总利润。

布莱克—斯科尔斯模型：

+rS

+

S2

=rf，适用于其价格取决于标的的证券价格S的所有衍生证券价格。

普通布朗运动与标准布朗运动的区别？

为什么要引入几何布朗运动？

答：

标准布朗运动：

dz=

，标准布朗运动具备两个条件：

1在某一小段时间

内，他的变动与白噪声相关，即

=

2再两个不重叠时段

内，

与

相互独立。

随机增量

的概率分布性质：

E（

）=0，Var（

）=Var

）=

不足之处：

不适合刻画证券价格因为

=

，

～N（0，

），标准布朗运动表示证券没有收益，而且所有证券风险只与时间有关，时间相同则风险相同，以上两点不符合实际。

普通布朗运动：

令漂移率期望为a，方差率期望值为b2，得x的普通布朗运动：

dx=adt+bdz

一段时间

后，

，其中

，

不足之处：

可能取到-∞，则代表股票未来价格可能出现-∞，不符合实际，其次，漂移律和方差率都为常数，不适合描述股票价格。

虽然证券价格的变化过程可以用普通布朗运动来描述，但投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此用几何布朗运动来定义证券价格的布朗运动。

=

S为证券价格，

为单位时间内预期收益率，

为证券价格波动率

不足之处：

几何布朗运动是连续的，没有考察突发事件。

无差异定价法和风险中性定价法的关系

答：

他们在本质上相同。

只是无套利定价法是假设是市场上无套利机会，从而构造未来价值确定的组合证券，建立等式求得期权的价值；风险中性定价法是假设所有投资者都是风险中性的，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。

有效市场理论：

有效市场是只这样一种市场，在这个市场上，所有信息都会很快被市场参与者领悟并立即反映到市场价格中。

1．弱有效市场：

指当前证券价格已经充分反映了全部历史交易数据，所以弱有效市场意味着技术分析无效，若想获得超额利润必须寻找市场价格以外的信息。

2．半强有效市场：

指所有公开的信息都已经反映在证券价格之中了，投资者若想获得超额收益，必须寻求公开信息以外的信息，即内幕信息。

3．强有效市场：

指所有信息都反映在股票价格之中，这意味着任何人都不可能从市场中获得超额收益。

套利定价理论：

套利定价理论试图以多个变量去解释资产的预期报酬率。

套利定价理论认为经济体系中，有些风险都是无法经由多元化投资加以分散。

套期保值：

套期保值是指把期货市场当做转移价格风险的场所，利用期货合约作为将来现货市场上买卖商品的临时替代物，对其现在买进准备以后售出商品或对将来需要买进商品的价格进行保险的交易活动。

利率决定理论：

1．古典利率理论，这一理论也称真实利率理论，它建立在萨伊法则和货币数量论的基础之上，认为工资和价格的自由伸缩可以自动地达到充分就业。

2．流动性偏好理论：

凯恩斯认为，货币供给是外生变量，由中央银行直接控制。

因此，货币供给独立于利率的变动，在图上表现为一条垂线。

货币需求则取决于公众的流动性偏好，其流动性偏好的动机包括交易动机、预防动机和投机动机。

其中，交易动机和预防动机形成的交易需求与收入成正比，与利率无关。

投机动机形成的投机需求与利率成反比。

3．可贷资金理论：

可贷资金理论是新古典学派的利率理论，是为修正凯恩斯“流动性偏好”理论而提出的。

实际上可看成古典利率理论和凯恩斯理论的一种综合。

可贷资金理论综合了前两种利率决定论，认为利率是由可贷资金的供求决定的，供给包括总储蓄和银行新增的货币量，需求包括总储蓄和新增的货币需求量，利率的决定取决于商品市场和货币市场的共同均衡。

资本市场定价模型推导：

（请结合图形说明，时间有限，我不能把图做出来了）

在证券市场上的所有证券形成的所有组合的集合，便是可行集，它包括了现实生活中的所有可能的。

由于我们假设所有投资者都是理性的，即厌恶风险和偏好收益，根据这一条原则，可以得出投资组合的有效集，即满足相同风险下收益最大和相同收益下风险最小。

当引入无风险资产时，即允许以无风险利率借入和贷出资金时，原先的有效集会发生改变。

以无风险利率点引一条射线，该射线与原先的有效集相切于市场组合点。

由于射线上的点均比原先曲线上的点更加有效，所以得出新的有效集即为这条射线。

当不同投资者的等效用线与有效集相切时，会得到不同的投资者的最优资产组合点。

这条直线被称为资本市场线，其表达式为：

=

+

伊藤过程和伊藤引理：

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当做变量x和时间t的函数，我们可以得到伊藤过程：

dx=a（x,t）dt+b（x,t）dz

其中，dz是一个标准布朗运动，a，b是变量x和t的函数，变量x的漂移率a,方差率为b2。

若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：

dG=（

由于

和

都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为

，方差率为

1．我国股指期货市场存在哪些套利机会？

答：

套利机会：

套利是基于不合理价格关系通过双方交易来获利。

由于股指期货到期现金交割的特点，在期货与现货价格发生一定偏离时市场参与者可进行套利交易。

由于股指期货市场与股票现货市场相关度很高，因而期限套利交易很大程度上规避了市场趋势变动的风险，根据沪深300股指期货合约的安排，到期交割制度保证了期货价格在合约到期时一定会回归合理，从而保证了股指期货套利风险很低。

检验表明：

股指期货开设早起往往存在着风险小，收益率可观的期限套利机会，我国沪深300指数期货推出后，第一年也可能存在大量期货和现货定价偏离的现象，因此市场也会存在大量的套利机会。

2．发展外汇期货市场的建议

采取“日欧贸易以对方本币代替美元，周边贸易以人民币代替美元”策略。

继续保持外汇管制和汇率管制措施，以人民币对日元、欧元外汇期货品种起步，有选择的推出人民币对周边国家货币的期货品种，慎重推出人民币兑美元的外汇期货品种。