届高考数学第一轮基础知识点复习两个基本计数原理.docx

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届高考数学第一轮基础知识点复习两个基本计数原理

2012届高考数学第一轮基础知识点复习：

两个基本计数原理

第十编计数原理

§101两个基本计数原理

1有不同颜色的四上衣与不同颜色的三长裤，如果一条长裤与一上衣配成一套，则不同的配法有种

答案12

2从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种

答案

3一个乒乓球队里有男队员人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法

答案20

4将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有种

答案36

有一项活动需在3名老师，8名男同学和名女同学中选人参加，

（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？

（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？

（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

解

（1）“完成这事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+=16种

（2）“完成这事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：

选老师有3种方法，选学生有8+=13种方法，共有

3×13=39种方法

（3）“完成这事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有种方法，共有3×8×=120种方法

例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

解方法一按十位数上的数字分别是1，2，3，4，，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条的两位数分别有8个，7个，6个，个，4个，3个，2个，1个

由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：

8+7+6++4+3+2+1=36（个）

方法二按个位数字是2，3，4，，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条的两位数分别有1个、2个、3个、4个、个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有：

1+2+3+4++6+7+8=36（个）

例2已知集合={-3,-2,-1,0,1,2},P（a,b）表示平面上的点（a,b∈）,问:

（1）P可表示平面上多少个不同的点?

（2）P可表示平面上多少个第二象限的点?

（3）P可表示多少个不在直线=x上的点?

解

（1）确定平面上的点P（a,b）可分两步完成：

第一步确定a的值，共有6种确定方法；

第二步确定b的值，也有6种确定方法

根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36

（2）确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；

第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法

由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6

（3）点P（a,b）在直线=x上的充要条是a=b因此a和b必须在集合中取同一元素，共有6种取法，即在直线=x上的点有6个

由

（1）得不在直线=x上的点共有36-6=30个

例3（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学外小组

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选二人作中心发言，这二人需自不同的班级，有多少种不同的选法？

解

（1）分四类：

第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；

第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；

第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；

第四类，从四班学生中选1人，有10种选法

所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）4分

（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法

N=7×8×9×10=040（种）8分

（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，

14分

所以共有不同的选法

N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）16分1从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?

解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法

当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法

当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法

……

当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法

当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法

……

当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法

由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法

2某体育彩票规定：

从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？

解先分三步选号，再计算总钱数

按号段选号，分成三步

第一步从01至17中选3个连续号，有1种选法；

第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；

第三步从30至36中选1个号，有7种选法

由分步计数原理可知，满足要求的号共有

1×10×7=100（注）,

故至少要花100×2=2100（元）

3某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动

（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？

解

（1）分三类：

第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法

（2）每种选法分三步：

第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法

（3）分三类，每类又分两步第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法

一、填空题

1位同学报名参加两个外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种

答案32

2某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：

凡卡号的后四位中带有数字”4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个

答案904

3从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有个

答案8

4如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种

答案180

一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有种

答案48

6（2008•全国Ⅰ）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有种

答案12

7在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种

答案2880

8若一个,n均为非负整数的有序数对（,n），在做+n的加法时各位均不会进位，则称（,n）为“简单的”有序数对，+n称为有序数对（,n）的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是

答案300

二、解答题

9

（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？

（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？

解

（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：

3×3×3×3=81种报名方法

（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这事才算完成，

于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：

4×4×4=43=64种可能的情况

10用种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

解完成该事可分步进行

涂区域1，有种颜色可选

涂区域2，有4种颜色可选

涂区域3，可先分类：

若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选

所以共有×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法

11在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,,6}的元素,又点P到原点的距离|P|≥求这样的点P的个数

解按点P的坐标a将其分为6类:

（1）若a=1,则b=或6,有2个点;

（2）若a=2,则b=或6,有2个点;

（3）若a=3,则b=或6或4,有3个点;

（4）若a=4,则b=3或或6,有3个点;

（）若a=,则b=1,2,3,4,6,有个点;

（6）若a=6,则b=1,2,3,4,,有个点;

∴共有2+2+3+3++=20（个）点

12将3种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？

解设由左到右五块田中要种a,b,三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,,有两种选法同理，如果第二块种b,则第三块可种a和,也有两种选法，由分步计数原理共有1×2×2×2×2=16其中要去掉ababa和aaa两种方法

故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）

同理b种或种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种

所以符合要求的种植方法共有

3×（2×2×2×2-2）=3×（16-2）=42（种）

§102排列与组合

1从1，2，3，4，，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有个

答案4

2（2008•福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有种

答案14

3停车场每排恰有10个停车位当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种（用式子表示）

答案A

4在100产品中有6次品，现从中任取3产品，至少有1次品的不同取法种数是（用式子表示）

答案-

（2007•天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）

答案390例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站两端；

（2）甲、乙必须相邻；

（3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人；

（）甲、乙站在两端；

（6）甲不