二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.docx
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二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方
第八章二次型
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论
在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用•本章主要介绍二次
型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题
§8.1二次型及其矩阵表示
在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二
次曲线可以由一个二元二次方程给出：
22
axbxycydxeyf0（1.1）
要区分（1.1）式是哪一种曲线（椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式）,我们通常分两步来做：
首
先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去
xy项，通常的坐标变换公式为：
xxcosysin
（1.2）
yxsinycos
从线性空间与线性变换的角度看，（1.2）式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关
键是给出一个线性变换，使（1.1）式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只
考虑二次齐次多项式.
定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：
2
f（X1,X2,L,Xn）印必242X1X2L2a1nX1Xn
2
a22X22a23X2X3L2a2nX2Xn（1.3）
1222
Lan1,n1xn12an1,nxn1xnannxn
称为数域
P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果
数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即
222
f（X1,X2丄，Xn）djX1d2X2LdnXn
称为标准形式的二次型，简称为标准形.
说明：
在这个定义中，非平方项系数用2aj主要是为了以后矩阵表示的方便
例8.1.2下列多项式都是二次型：
22
f（x,y）x3xy3y
f（x,y,z）2x22xy3xzy24yz，3z2
F列多项式都不是二次型
f（x,y）x23xy3y22x1
f（x,y,z）2x32xy4yz3z21
f（x1,X2,L,Xn）anxj
定义8.1.3设X1,X2,L,Xn；yi,y2丄,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
C11y1
C|2y2
L
X2
C21y1
022y2
L
C2n%
（1.4）
LL
L
Xn
Cn2y2
L
Cnnyn
称为由X1,X2,L,Xn到y1,y2,
L,yn
的一个
线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式
q
0,那么线性替换（1.4）就称为非退化的
在研究二次型时，矩阵是-
「个有力工具
因此我们先把二次型用矩阵来表示.
令
aijaji,则有2aijxixj
ajxx
ajiX
jXi,
于是（1.3）式可以改写为
812^X2La1nX1Xn
a：
1X2X1a：
2X2la：
n卷Xi
Lan1XnX1an2XnX2LannXn
X1（anX1L
X2（821X1822X2L
LXn^nMan2X2L
（为,X2,L,Xn）
（Xi,X2,L
Xn）
a^X]
a〔2X
L
a1nXn
a2[X〔
a22X2
L
a2n片1
L
an1X1
a
n2X2
L
ann^n
a11
a12
L
a1n
X1
a21
a22
L
a2n
X2
L
L
L
L
M
an1
an2
L
ann
Xn
a1n^n）a2nXn）ann^n）
（1.5）
a11
a12
L
a1n
X1
a21
a22
L
a2n
X2
记A
x
L
L
L
L
M
an1
an2
L
ann
Xn
则二次型可记为
f
TX
Ax,
其中A是对称矩阵•称（1.5）式为二次型的矩阵形式
例8.1.4二次型f（x,y,z）2x22xy3xzy24yz,3z2的矩阵形式为
21x
f（x，y，z）（x，y，z）112y
32z
说明：
任给一个二次型就唯一地确疋一个对称矩阵.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确疋
一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着对应的关系.把对称矩阵A称为二次型
f的矩阵，也把f称为对称矩阵A的二次型.称对称矩阵A的秩为二次型的秩.
例8.1.5给定对称矩阵
1213
2231
A
1330
3104
则其对应的二次型为：
f（X1,X2,X3,X4）x!
2
4x-|X2
6x-|X4
2x22
6x2x3
22
2x2x43x34x4
对于二次型
fxTAx,作线性替换x
Cy，其中
c11
C|2
L
Gn
*
c
p21
C22
L
On
y
y2
L
L
L
L
M
Cn1
Cn2
L
Cnn
yn
fxT
Ax（Cy）TA（Cy）
yTc
TACy
yT（CTAC）y
BCTAC
则有bt（ctac）t
ct
at
（ct）t
c
tac
则
B,即B是对称矩阵.这
令
样，对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C，使得
CtACB
则称矩阵A与B合同，记作A;B.
合同是矩阵之间的一个关系•易知，合同关系具有：
（1）反身性：
即A与A合同，因为AEtAE；
⑵对称性：
即若A与B合同，则B与A合同，因为由BCTAC，即得A（C1）TBC1;
⑶传递性：
即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，由BC1TAC1和
CC2BC2，即得CC2BC2（C1C2）A（GC2）.
说明：
经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.这样，我们就
把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以后的讨论提供了有力的工具•另外，在二次型变换时
我们总是要求所作的线性替换是非退化的,因为这样我们可以把所得的二次型还原.定理8.1.7若A与B合同,则rankArankB.
证明：
因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C,使得
CTACB
由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故rankArankB.
说明：
这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证•这样，若B是对角矩阵，则非退化的线
性替换xCy就把二次型化为了标准形.因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：
对
于对称矩阵A，寻找可逆矩阵C，使得CtACB为对角矩阵.
§8.2化二次型为标准形
现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题.
1配方法
定理8.2.1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形，即只含有平
方项.
证明：
对变量的个数n作数学归纳法.
2
对于n1，二次型就是f（x1）a11x12，显然已经是平方项了.现假定对n1元的二次型，定
nn理的结论成立.再设f（x1，x2，L，xn）aijxixj（aijaji）
i1j1
分三种情形来讨论：
⑴aH（i1,2，L，n）中至少有一个不为零，例如0，这时
n
f（x1，x2，L，xn）a11x12
nn
a1jx1xjj2
ai1xix1
aijxixj
i2j2
2a11x1
n
2a1jx1xj
j2
nn
aijxixj
2j2
a11（x1
n
12a11a1jxj）j2
a11（a1jxj）
j2
aijxixjj2
a11（x1
12a11a1jxj）j2
nn
bijxixj
i2j2
n
12a11（a1jxj）
j2
nn
aijxixj
i2j2
nn
这里bijxixj
i2j2
是一个关于X2,X3，L，Xn的二次型.令
n
y1
1
x1a11a1jxj
j2
y2
x2
LL
L
yn
xn
n
1
x1y1a111a1jyj
j2
x2y2
LLL
xnyn
这是一个非退化线性替换,它使
nn
2
f（x1,x2,L,xn）a11y1bijyiyj
i2j2
nn
由归纳法假定,对bijyiyj有非退化的线性替换
c2nyn
c3nyn
i2j2
z2c22y2c23y3Lz3c32y2c33y3LLLL
zncn2y2cn3y3Lcnnyn
能使它变成平方和
于是非退化线性替换
d2z22d3z32Ldnzn2
z1
y1
z2
c22y2
c23y3
L
c2nyn
LL
L
zn
cn2y2
cn3y3
L
cnnyn
就使f（x1,x2,L,xn）变成
f（x1,x2,L,xn）a11z12d2z22d3z32Ldnzn2即变成平方和了.根据归纳法原理,定理得证.
⑵所有aii（i1,2,L,n）都等于零，但是至少有一个的0（j2,3丄，n）,不失普遍性，设
a120.令
x1z1z2x2z1z2x3z3LLLxnzn
它是非退化线性变换
且使
f（Xi,X2,L,Xn）2ai2XiX2L
2ai2（ZiZ2）（ZiZ2）L
222ai2Zi2ai2Z2L
2
这时，上式右端是Zi,Z2丄，Zn的二次型，且乙的系数不为零,属于第一种情况，定理成立.
⑶anai2Lam0,由对称性知a?
ia3iLani0
nn
这时f（Xi,X2,L,xn）ajXjXj是n1元的二次型,根据归纳法假定,它能用非退化线
i2j2
性替换变成平方和.证毕.
例8.2.2用配方法化二次型
f（Xi,X2,X3）
2
Xi
2X225X32
2XiX2
2XiX3
6X2X3
Xiyiy2y3
X2y2
X3y3
yiZi
y2Z22Z3
Zi
yi
Z2
y22y3,
即
Z3y3
为标准形,并写出所用的非退化线性替换
解:
由定理的证明过程,令
yiXiX2X3
y2X2,即
y3X3
得:
f（Xi,X2,X3）yi2y224y2y34y32上式右端除第一项外已不再含yi,继续配方,令
y3Z3
得:
f（Xi,X2,X
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