中考数学人教版专题复习实际问题和二元一次方程组讲义.docx
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中考数学人教版专题复习实际问题和二元一次方程组讲义
2020年中考数学人教版专题复习：
实际问题与二元一次方程（组）
一、教学内容：
1.通过实际问题，感受二元一次方程组的广泛作用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识．
2.通过将实际问题中的数量关系转化成二元一次方程组，体会数学化的过程，提高用数学来分析问题和解决问题的能力．
二、知识要点：
1.列方程组解应用题的意义
列一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的思想方法是一致的，一般设几个未知数，就要找几个相等关系，列出几个方程，对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解决，一般要比列一元一次方程解题容易，因为多设一个或两个未知数，量与量之间的关系就会直接明了，这样就比较容易找到相等关系．
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的未知数．
（2）找出能够表达应用题全部含义的两个相等关系．
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组．
（4）解这个方程组，求出未知数的值．
（5）写出答．
3.列方程组解应用题应注意的问题
（1）方程的个数与所设的未知数的个数应相等，否则会出现不定解的情况．
（2）列方程时，等式两边的实际意义必须一致，等式两边的单位必须相同．等式两边的数量必须相等．
（3）在分析题意的过程中，可采取列表或图解方法，帮助理解和揭示各数量之间的相等关系，以利于顺利地列出方程．
（4）应善于把常见的应用题进行分类，在掌握基本题型的基础上，可以对所解应用题“对号入座”，进而利用已有的公式或其他关系式帮助分析题意．
（5）解应用题，要注意检验．检验所求得的解是否是原方程组的解，并看它是否符合实际意义．
三、重点难点：
本讲重点是学会分析应用题的数量关系，正确列出二元一次方程组求解，难点是根据题意合理设未知数．
【典型例题】
例1.驴子和骡子驮着货物并排在路上走着，驴子不停地埋怨主人给它驮的货物太重，压得实在受不了，骡子说：
“你发什么牢骚呢！
我比你驮得更重！
如果你给我一袋，我驮的袋数是你的两倍．”驴子反驳说：
“没那么回事，只要你给我一袋，我们就一样多了！
”同学们，你能算出驴子和骡子各驮了几袋货物吗，试试看．
分析：
此题中有两个未知量——驴子和骡子各驮的货物的袋数．问题中有两个等量关系：
（1）骡子所驮袋数＋1袋＝2（驴子所驮袋数－1袋）.
（2）骡子所驮袋数－1袋＝驴子所驮袋数＋1袋．
解：
设驴子驮x袋，骡子驮y袋．根据题意得：
解这个方程组，得
答：
驴子驮5袋，骡子驮7袋．
评析：
直接设未知数，根据驴子和骡子各驮的货物的袋数之间的关系列方程组．
例2.教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．
分析：
从图中可以看出1支水仙和3支康乃馨共计19元；2支水仙和2支康乃馨共计18元，问第三束鲜花中3支水仙和1支康乃馨共计多少元？
可以设康乃馨和水仙的单价分别为x元和y元，列出方程组求解后再求第三束鲜花的总价格．
解：
设康乃馨每支x元，水仙花每支y元，由题意得：
，
解得：
，
第三束花的价格为x＋3y＝5＋3×4＝17元．
答：
第三束鲜花的价格是17元．
评析：
对于图形信息问题，要认真观察图示信息，从中分析出题目的数量关系，再确定合理的解法．
例3.现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子．
分析：
此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数．问题中有两个等量关系：
（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝190．
（2）制成盒身的个数的2倍＝制成盒底的个数．
解：
设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，根据题意得：
解这个方程组得
答：
110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底，可正好制成一批完整的盒子．
评析：
盒底的个数是盒身的两倍．
例4.一份稿件，甲单独打字6小时完成，乙单独打字10小时完成，现在甲单独打若干小时，因有事接着由乙打字，共用7小时，问甲、乙分别打了多长时间？
分析：
此题有两个未知数——甲、乙打字的时间．问题中有两个等量关系：
甲打字的时间＋乙打字的时间＝7；甲工作量＋乙工作量＝总工作量1．
解：
设甲打了x小时，乙打了y小时，根据题意列方程组，得：
解这个方程组，得
答：
甲打了4.5小时，乙打了2.5小时．
评析：
一般把总工作量看成是1，工作量＝工作时间×工作效率，工作效率＝
．
例5.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离．
分析：
本题的相等关系有两个：
以50千米/时的速度行驶所用时间－规定时间＝24分钟；规定时间－以75千米/时的速度行驶所用时间＝24分钟．
解：
设甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，
根据题意，有
．
解这个方程组，得
．
答：
从甲地到乙地的距离为120千米．
评析：
此类问题常见的思维误区有：
（1）单位不统一；
（2）错误理解题目的等量关系；（3）用同一个相等关系列两个方程联立成方程组，结果在解方程组时，出现0＝0的情况，求不出未知数的值．
例6.有黑白小球各若干只，且同色小球的质量均相同，在下图所示的两次称量中天平恰好平衡，若每只砝码的质量均为5克，则每只黑球和白球的质量各是多少克？
分析：
此题含有两个未知量，题目中有两个等量关系：
2个白球的质量＋1个黑球的质量＝1个砝码的质量；3个黑球的质量＋1个白球的质量＝2个砝码的质量．
解：
设每只黑球的质量为x克，每只白球的质量为y克．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：
每只黑球的质量为3克，每只白球的质量为1克．
评析：
若天平达到平衡，则左右两盘的质量应相等．
【方法总结】
1.列方程组解应用题是把未知转化成已知的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程．所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等．
2.列方程（组）解决问题时，要主动探索，大胆尝试，与同学互相交流，逐步培养自己解决实际问题的能力和自信心．
【模拟试题】（答题时间：
45分钟）
一、选择题
1.如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为5，那么这样的两位数的个数是（）
A.3B.6C.5D.4
2.甲、乙两个药品仓库共存药品45吨，现从甲仓库调出库存药品的60%，从乙仓库调出库存药品的40%，支援地震灾区，结果乙仓库所余药品比甲仓库所余药品多3吨，那么，甲、乙仓库原来所存药品分别为（）
A.21吨，24吨B.24吨，21吨C.25吨，20吨D.20吨，25吨
*3.甲乙两人相距42千米，如果相向而行，2小时相遇，如果同向而行，乙用14小时才能追上甲，则甲、乙两人的速度分别是（）
A.12千米/时，9千米/时B.11千米/时，10千米/时
C.10千米/时，11千米/时D.9千米/时，12千米/时
4.某同学买了x枚1元的邮票和y枚2元邮票共12枚，花了20元，求两种邮票各多少张，那么适合x、y的方程组为（）
A.
B.
C.
D.
5.根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（）
A.51元B.35元C.8元D.7.5元
**6.设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？
”处应放“■”的个数为（）
A.5B.4C.3D.2
1.y＝8x＋202.
3.
4.（x＋y）×1＝95.4（x－y）＝96.a（1＋m％）万元a（1＋m％）（1＋n％）万元7.58.209
二、填空题
1.若载重3吨的卡车有x辆，载重5吨的卡车比它多4辆，它们一共运货y吨，那么x、y的关系式为__________．
2.某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子，共560元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子，共680元，若设每件衬衫售价x元，每条裤子售价y元，则可列方程组为__________．
3.计划用化肥xkg给一块y亩的麦地追肥，若每亩用化肥23kg，则还差90kg；若每亩用18kg，则还多110kg，则可列出的方程组为__________．
4.甲、乙两人相距9km，同时相向而行1h相遇，若甲速度是xkm/h，乙速度是ykm/h，则可列方程为__________．
*5.甲、乙两人相距9km，同时同向而行，甲4h可以追上乙，若甲速度是xkm/h，乙速度是ykm/h，则可列方程为__________．
6.某工厂去年产值a万元，今年比去年增加m％后产值是__________，预计明年产值增长n％，产值是__________．
*7.已知甲、乙两数和是2，甲、丙两数和是5，乙、丙两数和是3，则甲、乙、丙三数的和是__________．
**8.甲班有28人，乙班有15人，两班共同参加义务劳动，现有29人前来参加，要使甲班的人数为乙班人数的2倍，则分给甲班__________人，分给乙班__________人．
三、解答题
1.“海之南”水果种植场今年收获的“妃子笑”和“无核Ⅰ号”两种荔枝共3200千克，全部售出后收入30400元．已知“妃子笑”荔枝每千克售价8元，“无核Ⅰ号”荔枝每千克售价12元，问该种植场今年这两种荔枝各收获多少千克？
*2.李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税（利息×20%）得利息43.92元．已知：
这两种储蓄年利率的和为3.24%；问：
这两种储蓄的年利率各是多少？
**3.甲、乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球数就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲、乙两盒原来的球数各是多少？
【试题答案】
一、选择题
1.C2.B3.D4.B5.C6.A
二.填空题
1.y＝8x＋20
2.
3.
4.（x＋y）×1＝9
5.4（x－y）＝9
6.a（1＋m％）万元a（1＋m％）（1＋n％）万元
7.5
8.209
三、解答题
1.解：
设“妃子笑”荔枝收获x千克，“无核Ⅰ号”荔枝收获y千克，
则
解得
2.解：
设2000元储蓄的年利率为x，1000元储蓄的年利率为y，根据题意得
解得
3.解：
设甲盒中原有球x个，乙盒中原有球y个，根据题意得
解得
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