人版初三数学旋转模型含详细解析.docx
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人版初三数学旋转模型含详细解析
旋转模型
授课日期时间
教学内容
1.巩固并掌握旋转的性质;
2.
结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质;
1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转
2、?
旋转具有以下特征：
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等;
（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。
3、旋转的思想：
旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
4、旋转不同类型
（一）正三角形类型
在正ABC中，P为ABC内一点，将ABP绕A点按逆时针方向旋转60，使得AB与AC
重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个
PCP中，此时PCP也为正三角形。
图（Ila）
圏（1-1）
圏（1-2）心
【例题】如图：
（1-1）:
设P是等边占ABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5ZAPB的度数是
简解：
在厶ABC的外侧，作•BAP'-/CAP,且AP'=AP=3，连结P'B.则厶BAP'-△CAP。
易证△APP‘为正三角形，△PBP'为RT△
•APB=APP'P'PB=6090=150
（二）正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B点按顺时针方向旋转90，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中
II
的CPP中，此时CPP为等腰直角三角形。
【例题】如图（2-1）：
P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分
别为PA=1,PB=2,PC=3求此正方形ABCD
简解:
#△AED使.DAE二.BAP,AE=AP,连结ADE=△ABP
同样方法，作△DFC且有△DFC4BPC。
易证△EAP为等腰三角形，又■■-AP=1
.PE二.2,同理，PF=32
EDA—PBA,FDC=/PBC
又PBAPBC=90
EDF=/EDAFDCADC=9090^180
.点E、D、F在一条直线上
EF=EDDFDF=22=4，
面.在厶EPF中，EF=4,EP=V2,FP=3^2
由勾股定理的逆定理，可知△EPF为RT△
（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ABC中，・C=90；，P为ABC内一点，将APC绕C点按逆时针
方向旋转90，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个.PCP'为等腰直角
三角形。
【例题】如图，在:
ABC中，/ACB=90°,BC=ACP为.：
ABC内一点，且PA=3,PB=1,PC=2求.BPC
的度数。
简解：
在RT△ABC的外侧，作.BCP‘=/ACP,且CP'=CP=：
2，连结p'p,则厶BCP’=△ACP。
易证RT△CPP'为等腰直角三角形，
在厶pbp'中,BP'二3，BP=1，PP'=2.2,
由勾股定理的逆定理可知，△P'PB为RT△，/P'PB=9O，
•BPC—CPPPPB=4590=135
典型例题
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如
1.求线段长•
2.
例1.如图，已知长方形ABCD的周长为20，AB=4,点E在BC上,且AE丄EF,AE=EF，求CF的长。
四边形B'ECF为长方形，二CE=BF=AB
•/CF+CE=EE+CE=BE+EC=BC=6
•••CF=BC-CE=6-4=2
3.求角的大小
例2.如图，在等边ABC中，点E、D分别为AB、BC上的两点，且BE二CD,AD与CE交于点M，求.AME的大小。
【解析】：
因为BC=AC,ABC二ACD=60,BE=CD
所以以ABC的中心（等边三角形三条中线的交点）0为旋转
中心，将■ADC顺时针旋转120就得到了CEB,
•••/AME=180-/AMC=180-120°=60°
4.进行几何推理
例3.如图，点F在正方形ABCD的边BC上，AE平分/DAF，请说明DE二AF—BF成立的理由。
数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想一一对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：
例4、如图，正方形ABCD内一点P,/PAD=ZPDA=15°，连结PBPC,请问：
△PBC是等边三角形吗？
为什么？
【分析】：
本题关键是说明/PCD=/PBA=30°,利用条件可以设想将△APD绕点D逆时针方向旋转90°，而使A与C重合，此时问题得到解决•
【解析】：
将厶APD绕点D逆时针旋转90°,得厶DPC,再作△DPC关于DC的轴对称图形△DQC得厶CDC与AADP经过对折后能够重合。
•/PD=QD./PDQ=90-15°-15°=60°,
•••△PDQ为等边三角形，./PQD=60.
•//DQC/APD=180-15°-15°=150°,
•/PCD=30…/PCB=60
•••/PQC=360-60°-150°=150°=/DQC,
•/PQ=QD=CQ•/PCQ=/DCQ=15
•/PC=BC=CD.APBC为等边三角形
例5、已知：
如图，E是正方形ABCD勺边BC上一点，AF平分/EAD交CD于点F,说明AE=BE+DF的理由。
【分析】：
由于要证的3条线段ABBE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
【解析】：
把厶ADF绕点A顺时针旋转90°,则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
/3=Z1,F'B=FD,ZAF'B=ZAFD
•/ABCD为正方形
•••/D=ZABF'=90°
•••F'、B、E、C在一条直线上又•••/1+Z2+ZEAB=90°•••/3+Z2+ZEAB=90°•••/F'AE+Z2=90°又•••/AFD^Z1=90°•••/AF'B+Z1=90°
•••/1=Z2
•••/F'AE=ZAF'B
•AE=F'E=F'B+BE=FD+BE
例6、如图，P是正方形ABCD内一点，将厶ABP绕点B顺时针旋转90°,使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求/APB的度数。
【分析】：
此题运用旋转将厶ABP绕点B顺时针旋转90°,根据旋转性质求出/BP'C的度数即可。
而/BP'C又是/BP'P与/CP'P之和，可各个击破，从而得解。
【解析】：
由旋转的性质及特征可知：
/PBP'=90°,APIP'C,BP=BP'
•••在厶BPP'中，1
ZBP'P=ZBPP'=3（180”-90^=45°
又•••AP的延长线正好经过P'点
•••/AP'C=90°
•••/BP'C=ZAP'C+ZBP'P=135°
从而可得/APB=135°
例7、已知：
如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BCABCD上的点，且AE!
FG求证：
AE=FG
【分析】：
AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
【证明】：
延长AB至F'使BF'=BE连结CF'
•••正方形ABCD
•AB=CB/ABC=90°
又•••/CBF'=90°,BE=BF'
•△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'
•AE=CF',AE!
CF'
•/FG丄AE
•FG//CF'
又•••正方形ABCDAB//CD
•四边形GFF'C为平行四边形
•CF'=FG
•AE=FG
例8、如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE!
AD于E,PF!
CD于F。
求证：
（1）OELOF
（2）OE=OF
【分析】：
充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。
【证明】：
•••正方形ABCD
•••/ADC=90。
，/DAC=45°•/DE丄AD,PED=90°
•/PF丄CD,PFD=90°
•四边形EPFD为矩形
•PE=DF
又•••/PED=90°,/DAC=45
•/APE=45°
•△AEP中,AE=PE
•AE=DF
•••正方形ABCD为中心对称图形
•△AOD绕点O顺时针旋转90°与厶DOC!
合•A与D为对应点
又•••AE=DF
•E与F为对应点
由旋转变换的特征知：
OELOF,OE=OF
例9.△ABC为等边三角形，点分别交于点GHM
（1）求/1的度数；
（2）判断△GMH的形状。
DE、F分别在边
AC
AB
BC上，且AE=BF=CD连结AF、BDCE,
【分析】：
等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°,/1是厶BCH的外角，可知/1=/2+/3。
而/2=/4
•/1=/4+/3=60°,从而得证。
【解析】：
（1）v等边△ABC是旋转对称图形，且AE=BF=CD
所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC△BFA△CDB能够重合
•/2=/4
由/1=/2+/3
•/1=/4+/3=60°
（2）同理可得：
/GMH=/MGH=60°
•△GMH!
等边三角形
观察思考：
旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位
E
置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系,找出证题途径。
5.如右图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接
丘巳则厶AEF的形状是（）
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
6.如图是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以A
为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（）
、选择题
9犬巩99询值
A.顺时针旋转60°B.顺时针旋转120°C.逆时针旋转60°D.逆时针
旋转120°
学习参考
（第16题）
8.如图，△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，
/AO490°，则/D的度数是
9.如图，将矩形ABCD^点A顺时针旋转90°后，得到矩形ABC'D',如果CD=2DA=2
那么CC
（第14题）
10.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）则至
度后能与原来图形重合.
三、解答题
11.画出下列图形关于点O的对称图形（10分）
12.
12.如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直
角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上（15分）
（1）把厶ABC向上平移5个单位后得到对应的△AB.G,画出△AB.G
⑵以原点0为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点0对称的△A2B2C2
⑶写出点A2B2C2坐标
DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.
2.一位同学拿了两块45：
三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动：
将厶MNK的直角顶点M放
在厶ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4•（15分）
（第19题）
（1）如图
（1）,两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为
（2）将图
（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到图
（2）,此时重叠部分的面积
为，周长为
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图
（1）和图
（2）的图形，如图（3）,请你猜想此时重叠
部分的面积为
3E
D
F
C
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