新人教版八年级数学下导学案全册.docx
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新人教版八年级数学下导学案全册
第十六章二次根式导学案
二次根式
（1）
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：
、a_O（a_O）和（a）2二a（a_0）
二、学习重点、难点
重点：
二次根式有意义的条件；二次根式的性质.
难点：
综合运用性质,a_0（a_0）和（•..a）2=a（a一0）。
三、学习过程
（1）复习回顾：
（1）已知x2=a，那么a是x的;x是a的,记为,a一定是
数。
（2）4的算术平方根为2,用式子表示为匚二;正数a的算术平方根为
\4
0的算术平方根为；式子岛30（a兰0）的意义是。
（2）自主学习
（1）16的平方根是;
（2）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t（单位：
秒）与开始下落时的
高度h（单位：
米）满足关系式h=5t2。
如果用含h的式子表示t，则t=_；
（3）圆的面积为S,则圆的半径是;
⑷正方形的面积为b-3，则边长为。
思考：
J6,、h，.S,、b-3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.
\5\兀
定义：
一般地我们把形如Va（aK0）叫做二次根式，a叫做。
+厂。
1、试一试：
判断下列各式，哪些是二次根式？
哪些不是？
为什么？
寸3-£16V4V-57aq0），x21
''''3'
2、当a为正数时..a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负
数a才有算术平方根。
所以，在二次根式..a中，字母a必须满足_,_.a才
有意义。
3、根据算术平方根意义计算：
⑴（韶）2⑵（V3）2（3）（JO5）2（4）（£）2
根据计算结果，你能得出结论：
（a）2二，其中a_0,
4、由公式C.、a）2二a（a一0），我们可以得到公式a=（,、a）2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如「5）2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=（.5）2.
练习：
（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式:
60.35
（2）在实数范围内因式分解
22x-74a-11
（三）合作探究
例：
当x是怎样的实数时，.x-2在实数范围内有意义?
解：
由x-2—0,得
x_2
当x一2时，-x-2在实数范围内有意义
练习：
1、x取何值时，下列各二次根式有意义?
①.3^4
2、
（1）若7^3-后？
有意义，则a的值为.
（2）若・-x在实数范围内有意义，则x为（）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
,、＞i1~2x
3、
（1）在式子一中，x的取值范围是
1+x
（2）已知Jx2_4+J2x+y=0,贝Ux-y=
（3）已知y=J3_x+_3_2,贝卩yx=。
（四）达标测试
（1）填空题：
2、若*2x=0，那么x=,y=。
3、当x=时，代数式,'4x5有最小值，其最小值是_
4、在实数范围内因式分解：
（1）x2-9=x2-（）2=（x+_）（y-_）_
（2）x2-3=x2-（）2=（x+_）（y-_）_
（二）选择题：
1、一个数的算术平方根是a,比这个数大3的数为（）
A、a'3B、、a-3C、：
.a'3D、a2:
;-3
2、二次根式.a-1中，字母a的取值范围是（）
A、avlB、a<1C、a>1D、a>1
2、已知x3=0则x的值为
Ax>-3B、x<-3C、x=-3D、x的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是（）。
35
A3=（.3）2B、0.5=（0.5）2C、0.62=0.6D、（5一7）2
二次根式
（2）
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
Ja2=a
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
、学习重点、难点
重点：
二次根式的性质v'a^|a.
难点：
综合运用性质碍=a进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式X：
有意义，则X。
（3）在实数范围内因式分解：
x2-6=x2-（）2=（x+_）（y-_）_
（二）自主学习
1、计算：
-.4^（022二■,（4）2二、、202二
V5
观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：
当a.0时八a2二
2、计算：
，（-4）2丄—』（-0.2）2：
丿（-4）2二—肩二20）2-
观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：
当a7时八a2二
3、计算：
，02=当a=0时八a?
=
（三）合作交流
aa0
1、归纳总结：
la2=|a=*00
-aav0
■-
2、化简下列各式：
（1）、<0^
（2）、J（-0.5）2=_
（3）、J（-6）2=_（4）、極J=—（a<0）
3、讨论二次根式的性质ja）2二a（a一0）与•.a2二a有什么区别与联系。
（四）巩固练习
化简下列各式：
（1）、.4x2（x_0）
（2）X4
（3）.（a-3）2（a_3）（4）；2x32（xv-2）
注：
利用1云=a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。
（5）达标测试：
A组
1、填空：
（1）、J（2x—1）2-（*2x-3）2（xK2）=.
（2）、拖-4）2=
（3）a、b、c为三角形的三条边，贝g（a+b_c）2+|b_a_c=
2、已知2vxv3,化简：
f（x-2）2+|x-3
B组
3已知Ovxv1,化简：
（x-1）2（x•1）2-4
VX\X
4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为-的
3
正方形方孔•若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的
正方形桌面•你会拼吗？
试求出新的正方形边长.
5、把2-x1的根号外的2-x适当变形后移入根号内，得（）
Vx-2
A、人2-xB、匚x-2C2-xD、x-2
6若二次根式厂-2x6有意义，化简丨x-4|-|7-X|0
二次根式的乘法
一、学习目标
理解庙•品=Vab（a>0，b>O），Tab^/a•品（a>0，b>O），并
利用它们进行计算和化简
二、学习重点、难点
重点：
掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点：
正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式。
三、学习过程
（1）复习引入
1.填空：
（1）44x书=,J4X9=;44x79_J4X9
（2）府x/25=,J16疋25=___;尿X725_J16汇25
（2）、探索新知
交流总结规律：
一般地，对二次根式的乘法规定为
y/a•^b=^/ab.（a》0,b》0反过^:
y/ab=^a•\[b（a》0,b
>0）
例1、计算
（1）.5X7
（2）
.1X...9
（3）3.6X2、一10
（4）/5^•/^ay
'■*3
¥5
例2、化简
9x2y2（5）54
（1）、、916
（2）1681
（3）81100
（4）
巩固练习
（1）计算：
①一16
x,8
②5,5X215
③V12a3•（fay2
（2）化简:
20;
、58；
24;
54;
.12a2b2
（3）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）...（-4）（-9）—刁乓
（2）*4—X725=4X—X叮25=4..—X-.：
：
25=4拓12=8.3
（4）展示反馈
展示学习成果后，讨论：
对于9X■27的运算中不必把它变成243后再
进行计算，你有什么好办法？
注：
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：
即
系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
（五）达标测试：
A组
1、选择题
（1）等式xx=X2-1成立的条件是（）
A.x>1B.x>-1C.-11或x<-1
（2）二次根式2）26的计算结果是（）
A.2.6B.-26C.6D.12
（2）32x4；
2、化简:
（1）.360;
3、计算：
（2）3\75；
B组
（1）■18.30；
1、选择题
若a—2+b2+4b+4十、：
c2_c+*=0，贝Ulb2■需■Jc二（）
A.4B.2C.-2D.1
2、计算：
（1）6旋x（-2晶）;（2W8a^^/6ab?
;
3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
⑴”'.3⑵七2a
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
、学习重点、难点
重点：
掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：
正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
.16
36
般地，对二次根式的除法规定:
梟一
a（a>0,b>0）
反过来，
&书（a>0,b>0）
（二八巩固练习
数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求:
（3）拓展延伸
1
22*52・5
.33
3333',5555
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”
利用上述方法化简：
（四）达标测试:
1、选择题
2、计算:
用两种方法计算:
<6
⑵43
最简二次根式
、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式.
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算二、学习重点、难点
重点：
最简二次根式的运用。
难点：
会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算三、学习过程
（一）复习回顾
1、化简
（1）96x4=
-）；2=
）3、2=
）27=——
（5）.23=
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？
（二）自主学习观察上面计算1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:
1•被开方数不含分母；2•被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两
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