黄冈七级思维数学一级第一讲行程问题教案.docx
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黄冈七级思维数学一级第一讲行程问题教案
第一讲行程问题
教学内容：
行程问题
教学目标：
1.掌握行程问题中路程、速度、时间三者之间的基本关系。
2.探索行程问题中反向运动问题、同向运动问题、环形行程问题、流水行船问题、列车过桥问题等类型的特点，比如反向运动问题抓住速度和，同向运动问题抓住速度差。
3.能够利用公式、线段图、算术、方程等方法解决行程问题，培养学生数形结合思想及方程思想。
4.通过将实际问题转化为数学问题的训练，培养学生分析问题和解决问题的能力;感受数学问题的探索性，激发学生兴趣，体验数学与生活的密切联系
教学重点：
1、行程问题中路程、速度、时间三者之间的基本关系。
2、探索相遇问题、追及问题、环形行程问题、流水行船问题、列车过桥问题等类型的特点，利用这些特点解决相应类型的问题。
教学难点：
1、相遇问题、追及问题、环形行程问题、流水行船问题、列车过桥问题等类型的特点及其应用。
2、灵活运用路程、速度、时间三者之间的数量关系。
教学方法：
合作探究、讲授法
教学过程：
第一课时
一、创设情景
1、请两个同学按老师的要求走路，让同学们根据他们的表演说出其表示的意义。
最后请同学用手势和语言完整表示两人的运动情况。
2、老师在黑板上板书运动几种情况。
二、探索新知
（一）反向运动（相遇问题）：
聪聪和明明兄弟两人决定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聪聪每秒跑6米，如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
分析：
①用线段图表示为：
②用符号语言表示为：
总结：
相遇问题的基本关系是：
路程=速度和×时间。
精例精析
例1、甲、乙两地相距800千米，一辆客车以每小时40千米的速度从甲地开出3小时后，一辆摩托车以每小时60千米的速度从乙地开出，开出后几小时与客车相遇？
思维入口：
如果把客车先行的3小时路程从总路程中去掉，那么余下路程就是同时出发的相遇问题的应用题了。
解：
（800－40×3）÷（60＋40）=6.8（小时）
答：
开出后6.8小时与客车相遇。
【小结】：
客车和摩托车出发时间不一样，可以把它们转化成同时出发的相遇类应用题。
练习：
P2初试身手1（注：
书中1160千米，应为1160米。
）
例2、六年级同学徒步去狼山看日出。
去时每小时行8千米，按原路返回时每小时行6千米。
他们往返的平均速度为多少？
思维入口：
根据平均速度=总路程÷总时间，把去狼山的路程看做单位“1”，往返的路程就是“2”，去时用的时间为
，回来时用的时间为
往返的总时间为
+
=
。
解:
2÷（
+
）=2÷
=
（千米/时）
答:
他们往返的平均速度为
千米/时。
【小结】：
由公式：
平均速度=总路程÷总时间可知，求往返的平均速度关键是确定往返的路程和时间。
练习：
P3初试身手2
（二）同向运动（追及问题）：
小巧今天早上要在7:
50之前赶到距家1000米的学校坐车去参加社会考察活动.小巧以80米/分的速度出发,5分后,她的爸爸发现她忘了带考察表.于是,爸爸立即以160米/分的速度去追小巧,并且在途中追上了他.
爸爸追上小明用了多长时间?
⑴学生尝试解答,并说出自己的思考过程。
*速度差×追及时间=相距路程
*爸爸的走的总路程=小巧走的总路程
⑵画线段图,验证你的思考是否正确?
⑶如果我们把小巧和小巧爸爸相距的距离用s表示,小巧走的慢,我们把她的速度用V慢表示,小巧爸爸的速度用V快表示,追及时间为t,那么小巧走的路程用?
表示;爸爸走的路程用?
表示;（在线段图上表示出来）这几个量之间有什么关系呢?
V快t-V慢t=s.
V快t=s+V慢t.
V快t-s=V慢t
其实这是同一个等量关系的不同变式.如何用语言叙述呢?
（追及的路程就是两人的路程差）
2、总结:
追及问题的基本关系式是：
路程差=速度差×追及时间
精例精析
例3、一个通讯员骑摩托车追赶前面的队伍，队伍每小时行5千米，摩托车每小时行50千米，通讯员出发后40分钟赶上队伍。
问：
队伍比通讯员早出发几小时？
思维入口：
要求队伍比通讯员早出发几小时，一般要知道队伍早出发走的路程和队伍的速度。
而队伍早出发走的路程就是40分钟内通讯员比队伍多走的路程（即路程差），根据“速度差×追及时间=路程差”这个数量关系，就可以求出队伍早出发走的路程。
（50-5）×
=30（千米）。
所以，队伍比通讯员早出发30÷5=6（小时）。
解：
（50-5）×
÷5
=45×
÷5
=6（小时）
答:
队伍比通讯员早出发6小时。
【小结】：
追及问题中的基本数量关系：
路程差=速度差×时间。
练习：
P4初试身手3
（三）环形行程问题
我们把行程问题中与环形有关的问题，称为环形行程问题。
环形问题的解决方法除与反向运动问题、同向运动问题等问题的方法类似外，还要注意以下两点：
（1）如果两人同地同时反向运动，从上次相遇到下次相遇共行一个全程。
（2）如果两人同地同时同向运动，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。
精例精析
例4、一对老年夫妇沿着周长为200米的圆形花坛散步，他们从同一地点出发，相背而行，老太太每分钟走45米，老先生每分钟走55米，多长时间后，他们第三次相遇？
思维入口：
在封闭的环形道上反向运动属相遇问题。
他们从同一地点出发（相当于第一次相遇），背向而行，再次相遇时，他们合走一圈200米，第三次相遇时，他们合走了二圈，根据相遇时间=相遇路程÷速度和。
解：
200×2÷（45＋55）
=400÷100
=4（分钟）
答：
4分钟后，他们第三次相遇。
【小结】：
首先确定他们第三次相遇时，他们合走了几圈，根据相遇时间=相遇路程÷速度和，求出相遇时间。
练习：
P5初试身手4
（四）流水行船问题
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，
（1）
逆水速度=船速-水速.
（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式
（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式
（1）和公式
（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
精例精析
例5、一艘船在静水中的速度为每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,已知水速为每小时3千米,那么从乙地返回甲地需要多少小时?
思维入口:
要求出从乙地返回甲地需要多少小时,需先知道甲、乙两地之间的路程和逆水的速度。
路程可以用顺水速度乘顺水航行的时间求得。
解：
顺水速度：
15+3=18（千米/时）
两地路程:
18×8=144（千米）
逆水速度:
15－3=12（千米/时）
逆水用时:
144÷12=12（小时）
答:
从乙地返回甲地需要12小时。
【小结】：
解决流水行船问题必须掌握下列关系式：
顺水速度=船速＋水速；
逆水速度=船速－水速；
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速。
练习：
P5初试身手5
（五）列车过桥问题
桥是静的，火车是动的，火车通过大桥，是指从车头上桥到车尾离桥。
“列车过桥”是以动对静。
如下图，
假设某人站在火车头的A点处，当火车通过桥时，A点实际运动的路程就是火车运动的总路程，即车长与桥长的和。
精例精析
例6、一列火车长150米，每秒行19米，全车通过420米的大桥，需要多长时间？
分析：
为了便于理解，可以把车尾A看作“标准点”（如下图所示）。
当车头刚上桥的霎那间，A距桥150米；当车尾离桥时，A点运动了150+420=570（米）,即全车通过大桥,火车需要运动的总距离为火车长与桥长的和,所以全车通过大桥需:
570÷19=30（秒）。
A
桥
车
A
150米
解：
（420+150）÷19
=570÷19
=30（秒）
答:
需要30秒。
【小结】：
火车过大桥，指的是从车头上桥算起到车尾离桥为止。
火车运动的总路程=车长+桥长。
练习：
P6初试身手6
三、尝试解决
P9第1题；P10第2、3、4题；P11第7、8题
四、归纳小结
1.反向运动问题（相遇问题）
反向运动问题的基本关系式是：
路程=速度和×时间。
2.同向运动问题（追及问题）
同向运动问题的基本关系式是：
路程差=速度差×追及时间。
3.环形有关的问题
环形问题的解决方法除与反向运动问题、同向运动问题等问题的方法类似外，还要注意以下两点：
（1）如果两人同地同时反向运动，从上次相遇到下次相遇共行一个全程。
（2）如果两人同地同时同向运动，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。
4.流水行船问题
即：
顺水速度=船速＋水速；逆水速度=船速－水速；
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速。
5.列车过桥问题
桥是静的，火车是动的，火车通过大桥，是指从车头上桥到车尾离桥。
“列车过桥”是以动对静。
如下图，
假设某人站在火车头的A点处，当火车通过桥时，A点实际运动的路程就是火车运动的总路程，即火车运动的总路程=车长+桥长。
五、自我反馈
请你试一试：
第5、6、9、10、11题
六、教学反思
（各位老师授课后撰写好教学反思。
）
第二课时
一、创设情景
复习回顾行程问题中几种类型的特点：
1.反向运动问题（相遇问题）
反向运动问题的基本关系式是：
路程=速度和×时间。
2.同向运动问题（追及问题）
同向运动问题的基本关系式是：
路程差=速度差×追及时间。
3.环形有关的问题
环形问题的解决方法除与反向运动问题、同向运动问题等问题的方法类似外，还要注意以下两点：
（1）如果两人同地同时反向运动，从上次相遇到下次相遇共行一个全程。
（2）如果两人同地同时同向运动，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。
4.流水行船问题
即：
顺水速度=船速＋水速；逆水速度=船速－水速；
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速。
5.列车过桥问题
火车运动的总路程=车长+桥长
二、探索新知
1、精例精析
例7、甲、乙两车同时从A地去B地，甲车行了全程的一半时，乙车离B地还有54千米，当甲车到达B地时，乙车行了全程的80％。
A、B两地的路程是多少千米？
分析：
根据“甲车到达B地时，乙车行了全程的80％”，可以算出甲、乙两车所行的路程比是1：
80％=5:
4，因为时间相等，所以速度比也是5:
4.那么在相同的时间里，甲车行了全程的一半，乙车应该行全程的
÷
=
，还剩全程的1－
=
。
根据这时乙车离B地还有54千米，求出全程。
解：
54÷[1-（
÷
）]
=54÷
=90（千米）
答:
A、B两地的路程是90千米。
【小结】：
本题关键是找甲、乙两车的速度比。
练习：
P7初试身手7
例8、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇。
又已知乙每分钟行50米，求A、B两地间的距离。
分析：
先画图：
设甲、乙两人相向而行时相遇地点为D,甲追到乙的地点为C,由题意可知：
甲从A到D用6分钟，而从A到C则用26分钟，因此，甲从D走到C之间所用时间应为26-6=20（分）。
同时，由图可知，D、C间的距离等于BC+BD。
即等于乙在6分钟内所走的路程与乙在26分钟内所走的路程之和，即为50×（26+6）=1600（米）。
所以，甲的速度为1600÷20=80（米/分）,由此可得A、B两地间的距离。
解：
50×（26+6）÷（26-6）
=50×32÷20
=80（米/分）
（80+50）×6=130×6=780（米）
答:
A、B两地间的距离为780米。
【小结】：
这是一类比较复杂的行程问题,它既包含有相遇问题,又包含有追及问题,所以要认真审题,先求出甲的速度,再求出A、B两地的距离。
练习：
P8初试身手8
2、例题变招
例9、在一条笔直的公路上，王辉和李明骑车从相距900米的A、B两地同时出发，王辉每分钟行200米，李明每分钟行250米，经过多少时间，两人相距2700米？
（分析各种情况）
分析：
画图以后各种情况就清楚了。
第一种情况：
王辉在前，李明在后，两人同向前进，李明追上王辉以后还要比王辉多行2700米；
第二种情况：
李明在前，王辉在后，李明再比王辉多行1800米；
第三种情况：
李明和王辉相背而行，经过一段时间以后两人相距2700米；
第四种情况：
李明和王辉相向而行，相遇以后，两人相距2700米。
解：
共有4种情况。
（1）（900+2700）÷（250－200）=72（分钟）
（2）（2700－900）÷（250－200）=36（分钟）
（3）（2700－900）÷（250+200）=4（分钟）
（4）（900+2700）÷（250+200）=8（分钟）
【小结】：
此类题属于发散思维的训练，也就是同一道题要求同学们从多角度来思考，从不同的角度分析各种情况才能全面解决问题。
3、竞赛我能行
例10、小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有
的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。
这样，小明比独自步行提早5分钟到校。
小明从家到学校全部步行需多少时间？
分析：
如图所示，
设爸爸在C点追上小明，求出爸爸与小明的速度比，再根据时间之比求出小明步行全程的时间。
1解:
设小明家到学校的路程为“1”，在爸爸从家出发到追上小明这段时间内，爸爸与小明所行路程比为：
[1－
]:
[1－
-
]=7:
2,这也是爸爸骑车与小明步行的速度比,在余下的
路程中,爸爸骑车与小明独自步行,所用时间的比为2:
7。
小明提早到校5分钟是由于坐了爸爸的车。
小明步行需要5÷（1―2/7）=7（分钟）,小明步行走完全程,需要7÷
=
（分钟）
【小结】：
用算术方法和简易方程求解行程问题是小学六年级同学必须掌握的方法，为了更好的掌握这些方法，同学们除了学会画图以外，还要能熟练地运用正比例、反比例的知识，才能做到迅速、简便、正确地解题。
三、尝试解决
P12第12、13题；P13第14、15、16题。
四、归纳小结
1、在解答一般行程问题时，可以从以下几方面来考虑：
（1）要弄清题意，紧扣速度、时间和路程这三个量之间的基本关系来分析。
（2）对具体问题要作具体分析，对一些数量关系较复杂的问题可以借助直观图帮助分析题意。
（3）要注意把综合法和分析法结合起来，灵活运用速度、时间和路程这三个量之间的基本关系来分析、解决问题。
2、用画图的方法可以使行程问题的数量关系变得明朗化，因此解答行程问题首先要学会画图分析。
3、用算术方法和简易方程求解行程问题是必须掌握的方法，为了更好的掌握这些方法，同学们除了学会画图以外，还要能熟练地运用正比例、反比例的知识，才能做到迅速、简便、正确地解题。
五、拓展提高
请你试一试：
第17、18、19、20题
六、教学反思
（各位老师授课后撰写好教学反思。
）
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