完整word版初一数学乘法公式.docx

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完整word版初一数学乘法公式

乘法公式

　　一、平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

　　要注意等式的特点：

（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；

（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．

　　值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．

　　例１　下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）．

　　A．（a－b）（－a－b）　B．（a2－b2）（a2＋b2）

　　C．（a＋b）（－a－b）　D．（b2－a2）（－a2－b2）

　　解：

Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．

　　例２　运用平方差公式计算：

　　（１）（

x2－y）（－y－

x2）；

　　（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．

　　解：

（１）（

x2－y）（－y－

x2）

　　＝（－y＋

x2）（－y－

x2）

　　＝（－y）2－（

x2）2

　　＝y2－

x4；

　　（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）

　　＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）

　　＝（a2－32）（a2＋9）

　　＝（a2－9）（a2＋9）

　　＝a4－81．

　　例３　计算：

　　（１）54.52－45.52；

　　（２）（2x2+3x+1）（2x2-3x+1）．

　　分析：

（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．

　　解：

（１）54.52－45.52

　　＝（54.5＋45.5）（54.5－45.5）

　　＝100×9

　　＝900；

　　（２）（2x2+3x+1）（2x2-3x+1）

　　=（2x2+1）2-（3x）2

　　=4x4+4x2+1-9x2=4x4-5x2+1

　　二、完全平方公式：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2　　

　　（a－b）2＝a2－2ab＋b2．

　　二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．

　　完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．

　　需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．

　　例１　利用完全平方公式计算：

　　（１）（－3a－5）2；　（２）（a－b＋c）2．

　　分析：

有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．

　　解：

（１）（－3a－5）2

　　＝（－3a）2－2×（－3a）×5＋52

　　＝9a2＋30a＋25

　　（２）（a－b＋c）2

　　＝[（a－b）＋c]2

　　＝（a－b）2＋2（a－b）c+c2

　　＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc+c2

　　＝a2＋b2+c2＋2ac－2ab－2bc．

　　例２利用完全平方公式进行速算.

（1）1012　　　

（2）992

　　解:

（1）1012　　　　　　　　　　分析:

将1012变形为（100+1）2原式可

　　=（100+1）2　　　　　　　　　　　　　　利用完全平方公式来速算.

　　=1002+2×100×1+12

　　=10201

　　解:

（2）992　　　　　　　　　　分析:

将992变形为（100-1）2原式可

　　=（100-1）2　　　　　　　　　　　　　利用完全平方公式来速算.

　　=1002-2×100×1+12

　　=9801

　　例３　计算：

　　（１）　992－98×100　；（２）49×51－2499．

　　解：

（１）992－98×100　

　　＝（100－１）2－98×100

　　＝1002－２×100＋１－9800

　　＝10000－　200－9800＋１

　　＝１；

　　（２）49×51－2499

　　＝（50－1）（50＋１）－2499

　　＝2500－1－2499

　　＝０．

　　例４　已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．

　　分析：

由前面的公式变形可以知道：

a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，（a－b）2＝（a＋b）2－4ab．

　　解：

由于a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，（a－b）2＝（a＋b）2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10

　　所以　

　　a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝82－2×10＝44

　　（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝82－4×10＝24．

　　三：

练习

　　1．利用乘法公式进行计算：

（1）（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）　　

（2）（3x+2）2-（3x-5）2　　　　　（3）（x-2y+1）（x+2y-1）

　　（4）（2x+3y）2（2x-3y）2　　　　　　（5）（2x+3）2-2（2x+3）（3x-2）+（3x-2）2

　　（6）（x2+x+1）（x2-x+1）　　　　

　　解：

（1）原式=（x2-1）（x2+1）（x4+1）

　　=（x4-1）（x4+1）

　　=x8-1.

（2）解法1：

原式=（9x2+12x+4）-（9x2-30x+25）

　　=9x2+12x+4-9x2+30x-25

　　=42x-21

　　解法2：

原式=[（3x+2）+（3x-5）][（3x+2）-（3x-5）]

　　=（6x-3）×7

　　=42x-21.

　　（3）原式=[x-（2y-1）][x+（2y-1）]

　　=x2-（2y-1）2

　　=x2-（4y2-4y+1）

　　=x2-4y2+4y-1

　　（4）原式=[（2x+3y）（2x-3y）]2

　　=（4x2-9y2）2

　　=16x4-72x2y2+81y4

　　（5）原式=[（2x+3）-（3x-2）]2

　　=（-x+5）2

　　=x2-10x+25

　　（6）原式=[（x2+1）+x][（x2+1）-x]

　　=（x2+1）2-x2

　　=（x4+2x2+1）-x2

　　=x4+x2+1

　　2．已知：

a+b=5,ab=3，求：

（1）（a-b）2；

（2）a2+b2；

　　解：

（1）（a-b）2=（a+b）2-4ab

　　=52-4×3

　　=13

（2）a2+b2=（a+b）2-2ab

　　=52-2×3

　　=19.

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　　选择题

　　1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　）

　　A、（x+1）（1+x）　　B、（

a+b）（b-

a）

　　C、（-a+b）（a-b）　　D、（x2-y）（x+y2）

　　2．下列各式计算正确的是（　）

　　A、（a+4）（a-4）=a2-4　　　　　　B、（2a+3）（2a-3）=2a2-9

　　C、（5ab+1）（5ab-1）=25a2b2-1　　D、（a+2）（a-4）=a2-8

　　3．（-

x+2y）（-

x-2y）的计算结果是（　）

　　A、

x2-4y2　　　　B、4y2-

x2

　　C、

x2+4y2　　　　D、-

x2-4y2

　　4．（abc+1）（-abc+1）（a2b2c2+1）的结果是（　）。

　　A、a4b4c4-1　　B、1-a4b4c4

　　C、-1-a4b4c4　　D、1+a4b4c4

　　5．下列各式计算中，结果错误的是（）

　　A、a（4a+1）+（2a+b）（b-2a）=a+b2.

　　B、

　　C、m2-（5m+3n）（5m-3n）+6（2m-n）（n+2m）=3n2

　　D、

答案与解析

　　答案：

1、B　2、C　3、A　4、B　5、D

　　解析：

　　1．B．（

a+b）（b-

）=（b+

a）（b-

a）.符合平方差公式的特点，故选B。

　　2．C．（a+4）（a-4）=a2-42=a2-16,故A错；

　　　　　（2a+3）（2a-3）=（2a）2-32=4a2-9，故B错。

　　　　　（5ab+1）（5ab-1）=（5ab）2-12=25a2b2-1，故C正确；

　　　　　（a+2）（a-4）=a2+（2-4）a+2´（-4）=a2-2a-8，故D错。

　　3．A．原式=（-

x）2-（2y）2=

x2-4y2.

　　4．B．原式=（1+abc）（1-abc）（1+a2b2c2）

　　　　　　　=[12-（abc）2]（1+a2b2c2）

　　　　　　　=（1-a2b2c2）（1+a2b2c2）

　　　　　　　=1-a4b4c4.

　　5．D．

才正确，差一个符号。

中考解析：

乘法公式

平方差公式

　　考点扫描:

　　熟练掌握平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．

　　名师精讲:

　　1．平方差公式：

（a+b）（a–b）=a2–b2．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘，而右边正好是这两个数的平方差．

　　2．平方差公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．

　　中考典例:

　　1．（湖北武汉）观察下列各式（x–1）（x+1）=x2–1,（x–1）（x2+x+1）=x3–1，（x–1）（x3+x2+x+1）=x4–1，根据前面各式的规律可得（x–1）（xn+xn–1+…+x+1）=___________．

　　考点：

平方差公式的延伸

　　评析：

该题是一个探索规律性的试题，要通过观察把握住给出的等式中的不变量和变量与变量间的变化规律．不难发现其结果为xn+1–1．

　　真题专练:

　　1．（广东省）化简：

（x+y）（x–y）–x2=　　．

　　2．（德阳市）化简：

x2–（x+y）（x–y）

　　答案：

1、原式=x2–y2–x2=–y2　　　2、原式=x2–（x2–y2）=x2–x2+y2=y2

完全平方公式

　　考点扫描:

　　熟练掌握完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行计算

　　名师精讲:

　　1．完全平方公式：

（