同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分.docx

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同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分

第九章重积分

教学目的：

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

教学重点：

1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。

教学难点：

1、利用极坐标计算二重积分；

2、利用球坐标计算三重积分；

3、物理应用中的引力问题。

§9.1二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1.曲顶柱体的体积

设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f（x,y）,这里f（x,y）≥0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.

首先,用一组曲线网把D分成n个小区域

∆σ1,∆σ2,⋅⋅⋅,∆σn.

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个∆σi中任取一点（ξi,ηi）,以f（ξi,ηi）为

高而底为∆σi的平顶柱体的体积为

f（ξi,ηi）∆σi（i=1,2,⋅⋅⋅,n）.

这个平顶柱体体积之和

.

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值,将分割加密,只需取极限,即

.

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

2.平面薄片的质量.

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点（x,y）处的面密度为ρ（x,y）,这里ρ（x,y）>0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M.

用一组曲线网把D分成n个小区域

∆σ1,∆σ2,⋅⋅⋅,∆σn.

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:

ρ（ξi,ηi）∆σi.

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:

.

将分割加细,取极限,得到平面薄片的质量

.

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

定义设f（x,y）是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域

∆σ1,∆σ2,⋅⋅⋅,∆σn.

其中∆σi表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个∆σi上任取一点（ξi,ηi）,作和

.

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f（x,y）在闭区域D上的二重积分,记作,即

.

f（x,y）被积函数,f（x,y）dσ被积表达式,dσ面积元素,x,y积分变量,D积分区域,积分和.

直角坐标系中的面积元素:

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域∆σi的边长为∆xi和∆yi,则∆σi=∆xi∆yi,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素dσ记作dxdy,而把二重积分记作

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.

二重积分的存在性:

当f（x,y）在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数f（x,y）在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f（x,y）在闭区域D上连续,所以f（x,y）在D上的二重积分都是存在的.

二重积分的几何意义:

如果f（x,y）≥0,被积函数f（x,y）可解释为曲顶柱体的在点（x,y）处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f（x,y）是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.

二.二重积分的性质

性质1设c1、c2为常数,则

.

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为两个闭区域D1与D2,则

.

性质3（σ为D的面积）.

性质4如果在D上,f（x,y）≤g（x,y）,则有不等式

.

特殊地有

.

性质5设M、m分别是f（x,y）在闭区域D上的最大值和最小值,σ为D的面积,则有

.

性质6（二重积分的中值定理）设函数f（x,y）在闭区域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点（ξ,η）使得

.

§9.2二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X--型区域:

D:

ϕ1（x）≤y≤ϕ2（x）,a≤x≤b.

Y--型区域:

D:

ψ1（x）≤y≤ψ2（x）,c≤y≤d.

混合型区域:

设f（x,y）≥0,D={（x,y）|ϕ1（x）≤y≤ϕ2（x）,a≤x≤b}.

此时二重积分在几何上表示以曲面z=f（x,y）为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.

对于x0∈[a,b],曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[ϕ1（x0）,ϕ2（x0）]为底、以曲线z=f（x0,y）为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为

.

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为

.

即V=.

可记为

.

类似地,如果区域D为Y--型区域:

D:

ψ1（x）≤y≤ψ2（x）,c≤y≤d,

则有

.

例1.计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.

解:

画出区域D.

方法一.可把D看成是X--型区域:

1≤x≤2,1≤y≤x.于是

.

注:

积分还可以写成.

解法2.也可把D看成是Y--型区域:

1≤y≤2,y≤x≤2.于是

.

例2.计算,其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.

解画出区域D,可把D看成是X--型区域:

-1≤x≤1,x≤y≤1.于是

.

也可D看成是Y--型区域：

-1≤y≤1,-1≤x

.

例3计算,其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域.

解积分区域可以表示为D=D1+D2,

其中;.于是

.

积分区域也可以表示为D:

-1≤y≤2,y2≤x≤y+2.于是

.

讨论积分次序的选择.

例4求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解设这两个圆柱面的方程分别为

x2+y2=ρ2及x2+z2=ρ2.

利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积V1,然后再乘以8就行了.

第一卦限部分是以D={（x,y）|0≤y≤,0≤x≤ρ}为底,以顶的曲顶柱体.

于是

.

二.利用极坐标计算二重积分

有些二重积分,积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量ρ、θ表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.

按二重积分的定义.

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域,小闭区域的面积为:

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.

在∆σi内取点,设其直角坐标为（ξi,ηi）,

则有,.

于是,

即.

若积分区域可表示为

ϕ1（θ）≤ρ≤ϕ2（θ）,α≤θ≤β,

则.

讨论:

如何确定积分限?

.

.

例5.计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.

解在极坐标系中,闭区域D可表示为

0≤ρ≤a,0≤θ≤2π.

于是

.

注:

此处积分也常写成.

利用计算广义积分:

设D1={（x,y）|x2+y2≤R2,x≥0,y≥0},

D2={（x,y）|x2+y2≤2R2,x≥0,y≥0},

S={（x,y）|0≤x≤R,0≤y≤R}.

显然D1⊂S⊂D2.由于,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

.

因为,

又应用上面已得的结果有

,

于是上面的不等式可写成.

令R→+∞,上式两端趋于同一极限,从而.

例6求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.

解由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍.

其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域.

在极坐标系中D可表示为

0≤ρ≤2acosθ,.

于是

.

§9.3三重积分

一、三重积分的概念

定义设f（x,y,z）是空间有界闭区域Ω上的有界函数.将Ω任意分成n个小闭区域

∆v1,∆v2,⋅⋅⋅,∆vn

其中∆vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积.在每个∆vi上任取一点（ξi,ηi,ζi）,作乘积f（ξi,ηi,ζi）∆vi（i=1,2,⋅⋅⋅,n）并作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f（x,y,z）在闭区域Ω上的三重积分,记作.即

.

三重积分中的有关术语:

——积分号,f（x,y,z）——被积函数,f（x,y,z）dv——被积表达式,dv体积元素,x,y,z——积分变量,Ω——积分区域.

在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分Ω,则∆vi=∆xi∆yi∆zi,因此也把体积元素记为dv=dxdydz,三重积分记作

.

当函数f（x,y,z）在闭区域Ω上连续时,极限是存在的,

因此f（x,y,z）在Ω上的三重积分是存在的,以后也总假定f（x,y,z）在闭区域Ω上是连续的.

三重积分的性质:

与二重积分类似.

比如

;

;

其中V为区域Ω的体积.

二、三重积分的计算

1.利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算:

三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域Ω可表为

z1（x,y）≤z≤z2（x,y）,y1（x）≤y≤y2（x）,a≤x≤b,

则

即.

其中D:

y1（x）≤y≤y2（x）,a≤x≤b.它是闭区域Ω在xOy面上的投影区域.

提示:

设空间闭区域Ω可表为

z1（x,y）≤z≤z2（x,y）,y1（x）≤y≤y2（x）,a≤x≤b,

计算.

基本思想:

对于平面区域D:

y1（x）≤y≤y2（x）,a≤x≤b内任意一点（x,y）,将f（x,y,z）只看作z的函数,在区间[z1（x,y）,z2（x,y）]上对z积分,得到一个二元函数F（x,y）,

然后计算F（x,y）在闭区域D上的二重积分,这就完成了f（x,y,z）在空间闭区域Ω上的三重积分.

则

.

即.

其中D:

y1（x）≤