高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十51数列的概念与简单表示法理.docx

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高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十51数列的概念与简单表示法理

2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十5.1数列的概念与简单表示法理

一、选择题（每小题5分,共35分）

1.已知数列的前4项为2,0,2,0,则归纳该数列的通项不可能是（　　）

A.an=（-1）n-1+1

B.an=

C.an=2sin

D.an=cos（n-1）π+1

【解析】选C.对于C,当n=3时,sin=-1,则a3=-2,与题意不符.

2.已知数列,,2,,…,则2是这个数列的（　　）

A.第6项B.第7项

C.第19项D.第11项

【解析】选B.数列即:

,,,…,据此可得数列的通项公式为:

an=,由=2,解得:

n=7,即2是这个数列的第7项.

3.设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1,则a20的值是（　　）

A.4B.4C.4D.4

【解析】选D.由题知:

an+1=

a3==,a4=

=4,a5=

=,a6=

=,故an=,所以a20===4.

【变式备选】数列{an}满足:

a1=1,且当n≥2时,an=an-1,则a5=（　　）

A.　　　B.　　　C.5　　　D.6

【解析】选A.因为a1=1,且当n≥2时,an=an-1,则

=,所以a5=

·

·

·

·a1=××××1=.

4.（xx·西安模拟）设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为（　　）

A.15B.16C.49D.64

【解析】选A.a8=S8-S7=82-72=15.

5.（xx·银川模拟）已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+2,若对所有的n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是（　　）

A.（0,+∞）B.（-1,+∞）

C.（-2,+∞）D.（-3,+∞）

【解析】选D.an+1>an,即（n+1）2+k（n+1）+2>n2+kn+2,则k>-（2n+1）对所有的n∈N*都成立,

而当n=1时,-（2n+1）取得最大值-3,所以k>-3.

6.（xx·北京模拟）数列{an}满足an+1（an-1-an）=an-1（an-an+1）,若a1=2,a2=1,则a20=

（　　）

A.B.C.D.

【解题指南】数列{an}满足an+1（an-1-an）=an-1（an-an+1）,展开化为+=,利用等差数列的通项公式得出.

【解析】选C.数列{an}满足an+1（an-1-an）

=an-1（an-an+1）,

展开化为+=.

所以数列

是等差数列,公差为-=,首项为.

所以=+×19=10,解得a20=.

7.（xx·黄冈模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为（　　）

A.an=2n-3

B.an=2n+3

C.an=

D.an=

【解析】选C.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时a1的值不适合n≥2的解析式,故通项公式为an=

【巧思妙解】选C.当n=1时,a1=S1=1,A、B选项不合题意.又a2=S2-a1=1,所以D选项不合题意.

二、填空题（每小题5分,共15分）

8.（xx·长沙模拟）在数列{an}中,a1=1,an+1=（-1）n（an+1）,记Sn为{an}的前n项和,则S2018=______. 

【解析】因为数列{an}满足a1=1,an+1=（-1）n（an+1）,

所以a2=-（1+1）=-2,

a3=-2+1=-1,a4=-（-1+1）=0,a5=0+1=1,a6=-（1+1）=-2,a7=-2+1=-1,…,所以{an}是以4为周期的周期数列,

因为2018=504×4+2,所以S2018=504×（1-2-1+0）+1-2=-1009.

答案:

-1009

9.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},则数列{an}的通项公式为________. 

【解析】由题干图可知,an+1-an=n+1,a1=1,由累加法可得an=.

答案:

an=

10.（xx·合肥模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=3-3×2n,n∈N*,则an=________. 

【解析】

（1）当n=1时,a1=S1=3-3×21=-3.

（2）当n≥2时,an=Sn-Sn-1=（3-3×2n）-（3-3×2n-1）=-3×2n-1.

当n=1时也符合上式,

综合

（1）

（2）,得an=-3×2n-1.

答案:

-3×2n-1

1.（5分）（xx·衡水模拟）数列{an}满足a1=2,an+1=（an>0）,则an=（　　）

A.B.2n-1

C.4n-1D.2n

【解析】选A.因为数列{an}满足a1=2,an+1=（an>0）,所以log2an+1=2log2an⇒

=2,所以{log2an}是公比为2的等比数列,所以log2an=log2a1·2n-1⇒an=.

2.（5分）若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+n,则a1++…+等于

（　　）

A.2n2+2nB.n2+2n

C.2n2+nD.2（n2+2n）

【解析】选A.因为++…+=n2+n,

所以n=1时,=2,解得a1=4,

n≥2时,++…+=（n-1）2+n-1,

相减可得=2n,所以an=4n2,n=1时也成立,

所以=4n.

则a1++…+=4（1+2+…+n）=4×=2n2+2n.

3.（5分）（xx·郑州模拟）意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F

（1）=F

（2）=1,F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3,n∈N*）,此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn},则b2018=________.

【解析】由题意得,引入“兔子数列”:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…构成以8为周期的周期数列,所以b2018=b2=1.

答案:

1

4.（12分）（xx·泰安模拟）设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,Tn满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.

（1）求a1的值.

（2）求数列{an}的通项公式.

【解析】

（1）当n=1时,T1=2S1-1,

因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.

（2）当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-（n-1）2,

则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-（n-1）2]

=2（Sn-Sn-1）-2n+1=2an-2n+1,

因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,

所以Sn=2an-2n+1（n≥1）,

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2（n-1）+1,

两式相减得an=2an-2an-1-2,

所以an=2an-1+2（n≥2）,

所以an+2=2（an-1+2）,

因为a1+2=3≠0,

所以数列{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列.

所以an+2=3×2n-1,

所以an=3×2n-1-2,

当n=1时也成立,

所以an=3×2n-1-2（n∈N*）.

5.（13分）（xx·银川模拟）已知函数f（x）=2x-2-x,数列{an}满足f（log2an）=-2n.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）证明:

数列{an}是递减数列.

【解析】

（1）因为f（x）=2x-,f（log2an）=-2n,

所以an-=-2n,

所以+2nan-1=0,解得an=-n±,

因为an>0,所以an=-n,n∈N*.

（2）

=

=

<1,

因为an>0,所以an+1

2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十一5.2等差数列及其前n项和理

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.若数列{an}的通项公式是an=2（n+1）+3,则此数列（　　）

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为3的等差数列

C.是公差为5的等差数列

D.不是等差数列

【解析】选A.由题意可得,an=2n+5=7+2（n-1）,即此数列是公差为2的等差数列.

2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于（　　）

A.31B.32C.33D.34

【解析】选B.由已知可得解得

所以S8=8a1+

d=32.

【变式备选】若等差数列{an}的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于（　　）

A.0B.12C.-1D.-12

【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得

4a1+d=18a1+d,a1=-d,

所以S22=22a1+d=22×+22×d=0.

3.（xx·锦州模拟）已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=4π,则cosa5的值为

（　　）

A.-B.-C.D.

【解析】选A.因为{an}为等差数列,a1+a5+a9=4π,所以3a5=4π,解得a5=.所以cosa5=cos=-.

4.（xx·武汉模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:

今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为

（　　）

A.8B.9C.10D.11

【解析】选B.该数列为等差数列,且S7=28,a2+a5+a8=15,即7a1+21d=28,3a1+12d=15,解得a1=1,d=1,a9=a1+8d=9.

5.（xx·全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=（　　）

A.100B.99C.98D.97

【解析】选C.由题意可知,

解得a1=-1,d=1,

所以a100=-1+99×1=98.

【一题多解】选C.由等差数列性质可知:

S9===9a5=27,故a5=3,

而a10=8,因此公差d==1,

所以a100=a10+90d=98.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有

=,则

+

的值为________. 

【解析】因为{an},{bn}为等差数列,

所以

+

=

+

=

=

因为

=

=

==.

所以

=.

答案:

7.（xx·银川模拟）在等差数列{an}中,已知a3=7,a6=16,依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵,则此数阵中,第10行从左到右的第5个数是________. 

【解析】由题知公差d===3,所以an=7+（n-3）d=3n-2,第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1+2+…+9+5=50项,即为a50=3×50-2=148.

答案:

148

8.（xx·郑州模拟）在等差数列{an}中,a1=-2018,其前n项的和为Sn,若-

=2,则S2018=________. 

【解析】因为=a1+（n-1）d,所以数列

也成等差数列,由-=2得公差为1,因此

=+（2018-1）×1=-1,

则S2018=-2018.

答案:

-2018

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.

（1）求a及k的值.

（2）已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.

【解析】

（1）设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.

由Sk=110,得k2+k-110=0,

解得k=10或k=-11（舍去）,故a=2,k=10.

（2）由

（1）得Sn==n（n+1）,

则bn==n+1,

故bn+1-bn=（n+2）-（n+1）=1,

即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,

所以Tn==.

10.（xx·太原模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1<0,S2015=0.

（1）求Sn的最小值及此时n的值.

（2）求n的取值集合,使其满足an≥Sn.

【解析】

（1）设公差为d,则由S2015=0⇒2015a1+d=0⇒a1+1007d=0,

d=-a1,a1+an=a1,

所以Sn=（a1+an）=·a1

=（2015n-n2）.

因为a1<0,n∈N*,

所以当n=1007或1008时,Sn取最小值504a1.

（2）an=a1,

Sn≤an⇔（2015n-n2）≤a1.

因为a1<0,所以n2-2017n+2016≤0,

即（n-1）（n-2016）≤0,

解得1≤n≤2016.

故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2016,n∈N*}.

1.（5分）（xx·银川模拟）已知等差数列{an}中,a2,a2016是方程x2-2x-2=0的两根,则S2017=（　　）

A.-2017B.-1008

C.1008D.2017

【解析】选D.由题意得:

a2+a2016=2,S2017=

=

=

2017.

2.（5分）《九章算术》之后,人们学会了用等差数列知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:

“今有女善织,日益功疾（注:

从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布）,第一天织5尺布,现在一月（按30天计）共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织______尺布.（　　） 

A.　　　　　　B.C.　　　　　　D.

【解析】选D.设从第2天起每天比前一天多织d尺布,

则由题意知30×5+d=390,解得d=.

3.（5分）（xx·长沙模拟）已知函数f（x）=cosx（x∈（0,2π））有两个不同的零点x1,x2（x1

【解题指南】函数f（x）=cosx（x∈（0,2π））有两个不同的零点x1,x2,可知x1=,x2=π,因为方程f（x）=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,需要分两种情况进行讨论:

m>0和m<0,再利用等差数列的性质进行求解.

【解析】函数f（x）=cosx（x∈（0,2π））有两个不同的零点x1,x2（x1

因为方程f（x）=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,

若m>0,则由余弦函数的图象知x3,,π,x4构成等差数列,

可得公差d=-=π,则x3=-π=-<0,显然不可能;

若m<0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,π构成等差数列,可得3d=-,解得d=,

所以x3=+=,m=cosx3=cosπ=-.

答案:

-

【变式备选】已知等差数列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-=0,S2n-1=38,则n等于________. 

【解析】因为2an=an-1+an+1,

又an-1+an+1-=0,

所以2an-=0,即an（2-an）=0.

因为an≠0,所以an=2.

所以S2n-1=2（2n-1）=38,解得n=10.

答案:

10

4.（12分）已知数列{an}满足a1=6,an+1=4-（n为正整数）.

（1）求证:

数列

为等差数列.

（2）若bn=

求数列{bn}的前n项和Sn.

【解析】

（1）因为

-

=

-

=

-

=

-

=

=2,

所以数列

为等差数列.

（2）a1=6,

=2,则

=2+2（n-1）=2n,则an=,

bn=

=

=

=-,

则Sn=b1+b2+…+bn=++…+

=.

5.（13分）在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且5a3·a1=（2a2+2）2.

（1）求d,an.

（2）若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】

（1）由题意得5a3·a1=（2a2+2）2,即d2-3d-4=0,

故d=-1或d=4,

所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.

（2）设数列{an}的前n项和为Sn,因为d<0,

由

（1）得d=-1,an=-n+11,

则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn

=-n2+n,

当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.

综上所述,

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

=