四川省凉山州届高三第三次诊断性测试文数试题 含.docx
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四川省凉山州届高三第三次诊断性测试文数试题含
四川省凉山州2018届高三第三次诊断性测试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
考点：
集合的运算
2.为虚数单位，，则（）
A．B．5C．1D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：
由题意
考点：
复数的模，复数的运算
3.已知：
“直线的倾斜角”；：
“直线的斜率”，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
考点：
充要条件
4.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
考点：
程序框图
5.下列说法中，不正确的是（）
A．已知，命题：
“若，则”为真命题
B．命题：
“”的否定是：
“”
C．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：
A．正确；B．正确；D，正确；C不正确，若命题“或”为真命题，则命题和命题由一个为真命题即可
考点：
命题的真假判定
6.已知函数图象过点，则图象的一个对称中心是（）
A．B．C．D．
【答案】B
考点：
正弦函数的图像
7.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，.故反映这个命题本质的式子是.
故选D
考点：
数列递推式
8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】D
考点：
几何体的表面积，三视图
9.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：
设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，
由柯西不等式得即（
即，当且仅当时取等号，故选A
考点：
椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理
10.函数在内有极小值，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
考点：
导数的综合应用
【名师点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力，属中档题.解题时求出函数的导数，得到极值点，判断函数的单调性，求出极小值点，得到关系式，求解即可．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）
11.已知向量，若，则实数______．
【答案】
【解析】
试题分析：
因为向量，，所以，即，解得；
考点：
向量垂直的充要条件
12.已知为区域内的任意一点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
试题分析：
画出可行域如图所示：
由题意可求得，
由得：
，
显然直线过时，最小，最小值是0，
直线过时，最大，最大值是6，
故．
考点：
简单的线性规划
13.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为号，并按编号顺序平均分成10组（号，号，…，号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______．
【答案】
【解析】
试题分析：
因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是10，
∵第三组抽取的是13号，
∴第七组抽取的为．
考点：
系统抽样
14.若，则的大小关系是______
【答案】
【解析】
试题分析：
又
考点：
指数函数、对数函数的性质
15.若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形”有以下命题：
（1）存在直角三角形是“完美三角形”
（2）不存在面积是整数的“完美三角形”
（3）周长为12的“完美三角形”中面积最大为；
（4）若两个“完美三角形”有两边对应相等，且它们面积相等，则这两个“完美三角形”全等．
以上真命题有______．（写出所有真命题的序号）．
【答案】（3）（4）．
（3）设，则
，可得，
化为，解得，即，当且仅当时取等号，
可得周长为12的“完美三角”中面积最大为，是真命题；
（4）设，①若夹角的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等；
②若夹角其中一条边相等，由于面积相等，夹角另一条边必然相等，可得：
此两个三角形全等．因此是真命题．以上真命题有（3）（4）．
故答案为：
（3）（4）．
考点：
命题真假判断，合情推理
【名师点睛】本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共75分）
16.设等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求的前项和．
【答案】
（1）；
（2）
试题解析：
（1）设数列的首项为，公差为，则根据题意可得，解之可得，
则
（2），
则
考点：
等差数列的通项公式，裂项求和法
17.2018年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价．分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户．已知这10名用户的评分分别为：
．
（1）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；
（2）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率．
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
试题分析：
（1）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，利用列举法能求出两名用户评价分之和大于18的概率．
（2）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，利用列举法能求出这两名用户至少有一人为满意用户的概率．
试题解析：
（1）不满意用户有4名，基本满意有4名，满意有2名
记：
从这10名不满意用户和基本满意用户各抽取一名为事件
∴
（2）记：
从这10名满意用户和基本满意用户任意抽取两名至少有一名为满意用户为事件
∴
（列举略）
考点：
列举法，古典概型
18.在中，设内角、、的对边分别为、、，．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
试题分析：
（1）利用两角差的正弦函数，余弦函数公式化简已知可得，结合范围，即可解得的值．
（Ⅱ）由正弦函数化简，可得，利用余弦定理解得b，可求的值，利用三角形面积公式即可得解．
考点：
余弦定理，正弦定理
19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，，为的中点，为棱的中点．
（1）证明：
平面；
（2）已知，求点到平面的距离．
【答案】
（1）见解析；
（2）点到平面的距离
【解析】
试题分析：
（1）连结交于，连结，只要证明，利用线面平行的判定定理可证；
（2）由
（1）可知，，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
试题解析：
连结交于，连结，因为，为的中点，所以为的中点，为的中点，即，
∴为的中位线，
∴，
又平面，平面，
所以平面
（2）由
（1）可知，平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
∴，
取的中点，连结，可得，
∴，
又底面，∴底面，
又，
可求得，
∴，
，
则点到平面的距离．
考点：
直线与平面平行的判断，点到面的距离，等体积法
20.已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间．
【答案】
（1）；
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
试题分析：
（1）求出的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）求出的导数，讨论当时，当时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意的条件．
考点：
利用导数研究函数的性质
21.已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与圆相交于、，与椭圆相交于、，且，求．
【答案】
（1）椭圆方程为;
（2）
【解析】
试题分析：
（1）设，利用点差法求得，再结合椭圆的离心率及隐含条件求得的值，则椭圆方程可求；
（2）利用点到直线的距离公式、韦达定理及焦点弦长公式，计算即得结论．
试题解析：
（1）由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即
设弦与椭圆的交点为，
代入椭圆方程得…………①
…………②
①式②式，得…………③
∵点平分弦，弦经过焦点，
∴，
代入③式得，，即，
又∵，∴，∴，
即，∴椭圆方程为
考点：
椭圆的简单性质
【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．
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