高考题和高考模拟题数学文分类汇编专题04 数列与不等式.docx

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高考题和高考模拟题数学文分类汇编专题04数列与不等式

2018年高考题和高考模拟题数学（文）分类汇编

4．数列与不等式

1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则

A.B.C.D.

【答案】B

点睛：

构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

2．【2018年文北京卷】】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为

A.B.C.D.

【答案】D

分析：

根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：

因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.

点睛：

此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：

（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；

（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.

3．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

【答案】27

，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由

得满足条件的最小值为.

点睛：

本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.

4．【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列

{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.

由（Ⅰ）可知，所以，故，

.设，

所以，因此，

又，所以.

点睛：

用错位相减法求和应注意的问题：

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

5．【2018年天津卷文】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）4.

详解：

（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．

（II）由（I），有

由可得，整理得解得（舍），或．所以n的值为4．

点睛：

本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.

6．【2018年文北京卷】设是等差数列，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求.

【答案】（I）（II）

分析：

（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；

（2）由

（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.

详解：

（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.

∴.

（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.

∴.

∴

点睛：

等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.

7．【2018年江苏卷】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s

对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求的值；

（2）求的表达式（用n表示）．

【答案】

（1）252）n≥5时，

详解：

解：

（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．

（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：

12…n，所以．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．

当n≥5时，

，因此，n≥5时，．

点睛：

探求数列通项公式的方法有观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.

8．【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．

（1）设，若对均成立，求d的取值范围；

（2）若，证明：

存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．

【答案】

（1）d的取值范围为．

（2）d的取值范围为，证明见解+析。

详解：

解：

（1）由条件知：

．因为对n=1，2，3，4均成立，

即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．

因此，d的取值范围为．

（2）由条件知：

．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即当时，d满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

②设，当x>0时，，所以单调递减，

从而

点睛：

对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

9．【2018年新课标I卷文】已知数列满足，，设．

（1）求；

（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（3）求的通项公式．

【答案】

（1）b1=1，b2=2，b3=4．

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解+析.（3）an=n·2n-1．

分析：

（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为an+1=，分别令n=1和n=2，代入上式求得a2=4和a3=12，再利用，从而求得b1=1，b2=2，b3=4．

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

（3）由

（2）可得，所以an=n·2n-1．

点睛：

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.

10．【2018年全国卷Ⅲ文】等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】

（1）或

（2）

分析：

（1）列出方程，解出q可得；

（2）求出前n项和，解方程可得m。

详解：

（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．综上，．

点睛：

本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。

11．【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为

A.6B.19C.21D.45

【答案】C

.本题选择C选项.

点睛：

求线性目标函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

12．【2018年文北京卷】设集合则

A.对任意实数a，B.对任意实数a，（2,1）

C.当且仅当a<0时,（2,1）D.当且仅当时,（2,1）

【答案】D

点睛：

此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

13．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．

【答案】-28

分析:

先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.

详解：

作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A（2,2）时取最大值8，过点B（4,-2）时取最小值-2.

点睛：

线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：

一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.

14．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

点睛：

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

15．【2018年文北京卷】若𝑥,y满足，则2y−𝑥的最小值是_________.

【答案】3

分析：

将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.

详解：

不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图

令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，

的最小值为.

点睛：

此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.

16．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

为.

点睛：

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

17．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．

【答案】3

分析：

作出可行域，平移直线可得

详解：

作出可行域

由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.

点睛：

本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

18．【2018年全国卷II文】若满足约束条件则的最大值为__________．

【答案】9

点睛：

线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：

截距型、斜率型、距离型等.

优质模拟试题

19．【河南省洛阳市2018届三模】记数列的前项和为.已知，，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

点睛：