第46课时 二次函数综合型问题.docx

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第46课时二次函数综合型问题

第46课时　二次函数综合型问题

（50分）

一、选择题（每题10分，共10分）

图46－1

1．[2015·嘉兴]如图46－1，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：

①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）若x1<12，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长最小值为6.其中正确判断的序号是（C）

A．①B．②C．③D．④

【解析】　①根据二次函数所作象限，判断出y的符号；

②根据A，B关于对称轴对称，求出b的值；

③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；

④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连结D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D，E，D′，E′的坐标即可解答．

二、填空题（每题10分，共10分）

图46－2

2．[2015·衢州]如图46－2，已知直线y＝－x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－x2＋2x＋5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线y＝－x＋3于点Q，则PQ＝BQ时，a的值是__4，－1，4＋2或4－2__.

【解析】　P点横坐标为a，因为P点在抛物线y＝－x2＋2x＋5上，所以P点坐标为，又

PQ∥y轴，且Q点在函数y＝－x＋3上，所以点Q坐标为，B点坐标为（0，3），根据平面内两点间的距离公式，可得PQ＝，BQ＝，根据题意，PQ＝BQ，所以

＝，解得a的值分别为－1，4，4＋2或4－2.

三、解答题（共30分）

3．（15分）[2014·内江改编]如图46－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴．且AB平分∠CAO.

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值．

图46－3

解：

（1）A（－3，0），C（0，4），

∴AC＝5，

∵AB平分∠CAO，

∴∠CAB＝∠BAO，

∵CB∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，

∴∠CAB＝∠CBA，

∴AC＝BC＝5，∴B（5，4），

A（－3，0），C（0，4），B（5，4）代入y＝ax2＋bx＋c得

解得

所以y＝－x2＋x＋4；

第3题答图

（2）设AB的解析式为y＝kx＋b，把A（－3，0），B（5，4）代入得解得

∴直线AB的解析式为y＝x＋；

可设P，Q，

则PQ＝－x2＋x＋4－＝－（x－1）2＋，当x＝1时，PQ最大，且最大值为.

4．（15分）[2015·福州改编]如图46－4，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q.

（1）这条抛物线的对称轴是__x＝2__；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__45°__；

（2）若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的值．

解：

（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过点O，A作PQ的垂线，垂足分别为E，F.

当点B在OA的延长线上时，显然S△POQ＝S△PAQ不成立．

①如答图①所示，

当点B落在线段OA上时，＝＝，

图46－4

由△OBE∽△ABF，得＝＝，

∴AB＝3OB.

∴OB＝OA.

由y＝x2－4x得点A（4，0），

∴OB＝1，

∴B（1，0）．

第4题答图①

∴1＋m＝0，∴m＝－1；

②如答图②所示，

当点B落在线段AO的延长线上时，

＝＝，

由△OBE∽△ABF，得＝＝，

∴AB＝3OB.

∴OB＝OA.

第4题答图②

由y＝x2－4x得点A（4，0），

∴OB＝2，

∴B（－2，0）．

∴－2＋m＝0，

∴m＝2.

综上所述，当m＝－1或2时，S△POQ＝S△PAQ.

（30分）

图46－5

5．（15分）[2015·株洲]如图46－5，已知抛物线的表达式为y＝－x2＋6x＋c.

（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；

（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，若x＋x＝26，求c的值；

（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等，求证：

c>－.

解：

（1）∵y＝－x2＋6x＋c与x轴有交点，

∴－x2＋6x＋c＝0有实数根，

∴b2－4ac≥0，

即62－4×（－1）×c≥0，

解得c≥－9；

（2）∵－x2＋6x＋c＝0有解，且x＋x＝26，

∴c≥－9，（x1＋x2）2－2x1x2＝26，

即－2×＝26，

解得c＝－5；

（3）设P的坐标为（m，n），则Q点坐标为（n，m），且m>0，n>0，m≠n，

将这两个点的坐标代入方程得

①－②得

n2－m2＋7（m－n）＝0，

（m－n）（m＋n－7）＝0，

∴m＋n＝7，

∴n＝7－m，

代入方程①得，

－m2＋7m＋（c－7）＝0，

∵存在这样的点，∴以上方程有解，

∴72－4×（－1）×（c－7）≥0，

解得c≥－，

而当c＝－时，m＝，此时n＝，

故c>－.

图46－6

6．（15分）[2015·温州]如图46－6抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.

（1）求点A，M的坐标；

（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？

（3）当BD＝1时，

①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上；

②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.

解：

（1）令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A（6，0），∴对称轴是直线x＝3，∴M（3，9）；

（2）∵OE∥CF，OC∥EF，C（2，0），

∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，

∴点F的横坐标为5，

∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，

∴F（5，5），BE＝5.∵＝＝，

∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；

（3）①当BD＝1时，BE＝3，∴F（5，3）．

第6题答图

设MF的解析式为y＝kx＋b，将M（3，9），F（5，3）代入，

得解得

∴y＝－3x＋18.

∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，∴点A落在直线MF上；

②∵BD＝1，BC＝1，

∴△BDC为等腰直角三角形，

∴△OBE为等腰直角三角形，

∴CD＝，CF＝OE＝3，

∴DP＝，PF＝，

根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为，作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，所以EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，

故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE

＝PF∶（DP＋EG）∶（DC＋OE）

＝∶∶（3＋1）

＝∶2∶4＝3∶4∶8.

（20分）

7．（20分）[2015·成都]如图46－7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

图46－7　　备用图

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

解：

（1）令ax2－2ax－3a＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A点坐标为（－1，0）；

∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k，

∴y＝kx＋k，

令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－（2a＋k）x－3a－k＝0，

∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，

∴－3－＝－1×4，∴k＝a，

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；

（2）如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，

设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a），

EF＝ax2－2ax－3a－（ax＋a）＝ax2－3ax－4a，

第7题答图①

S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝（ax2－3ax－4a）（x＋1）－（ax2－3ax－4a）x＝（ax2－3ax－4a）＝a－a，

∴△ACE的面积的最大值为－a.

∵△ACE的面积的最大值为，

∴－a＝，解得a＝－；

（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，

即ax2－3ax－4a＝0，

解得x1＝－1，x2＝4，

∴D（4，5a），

∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，

设P（1，m），

①如答图②，若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），

m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，

∴AD2＋PD2＝AP2，

∴52＋（5a）2＋（1－4）2＋（26a－5a）2＝（－1－1）2＋（26a）2，

即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，

∴P1；

第7题答图

②如答图③，若AD是矩形的一条对角线，

则线段AD的中点坐标为，Q（2，－3a），

m＝5a－（－3a）＝8a，则P（1，8a），

∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，

∴AP2＋PD2＝AD2，

∴（－1－1）2＋（8a）2＋（1－4）2＋（8a－5a）2＝52＋（5a）2，

即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，

∴P2（1，－4），

综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或（1，－4）．