概率论与数理统计试题与标准答案docx.docx

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考试科目：

概率论与数理统计考试时间：

120分钟试卷总分100分

题号

一

二

三

四

总分

得分

1

2

3

4

5

6

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共

5小

题，每小题3分，总计15分）

1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现

1点的概率为（

A）。

（A）1/3

（B）2/3

（C）1/6

（D）3/6

2．设随机变量的概率密度

f（x）

Kx2

x

1，则K=（B）。

0

x

1

（A）1/2

（B）1

（C）-1

（D）3/2

3．对于任意随机变量

，若E（

）

E（

）E（），则（

B）。

（A）

D（

）D（）D（

）

（B）D（

）D（）

D（

）

（C）

一定独立

（D）,

不独立

5．设

~N（1.5,4）

，且

（1.25）0.8944

，

（1.75）

0.9599，则P{-2<<4}=（A）。

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，

填在题末的括号中，

本大题共5小题，每小题3分，

总计15分）

1．设A、B为互不相容的随机事件

P（A）

0.3,P（B）

0.6,则P（A

B）（

）。

2．设有10件产品，其中有

1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（

1/10）。

3．设随机变量X的概率密度f（x）

1,

0

x

1

则PX

0.2（8/10）。

0,

其它

4．设D（

）=9,D（

）=16,

0.5，则D（

）=（13

）。

*5．设y~N（,

2），则y

~（N（0,1）

）。

n

三、计算题（本大题共

6小题，每小题

10分，总计

60分）

1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，

40％，又这三条流水线的次品率分别为，，。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到

次品的概率是多少

（1）全概率公式

3

25

5

35

4

40

2

分

P（A）

）

P（Bi）P（ABi）

100

100

100

100

100

（6

i

1

100

0.0345

（4

分

）

2．设连续型随机变量

X的密度为

Ae5x,x

0

f（x）

x

0.

0,

（1）确定常数A

（2）求P{X

0.2}

（3）求分布函数F（x）.

（2）①

（x）dx

0

Ae5xdx

1A1

（3分）

0dx

0

5

故A=5

。

②

P

（

0.2）

5

5x

dx

e

1

0.3679.

（3分）

e

0.2

③当x<0时,F（x）=0;

（1分）

当x

x

0

x

5xdx

（2分）

0时，F（x）

（x）dx

dx5e

0

1e5x

故

1e5x,x

0

.

（1分）

F（x）

0

0,x

6,

2

01

3．设二维随机变量（

）的分布密度

f（,）

其它

0,

求关于和关于的边缘密度函数。

（3）

fx（x）

x

x2

f（x,y）dy

（2分）

6dy6（xx2）,

0x1

（3分）

0

其它

fy（y）f（x,y）dx

（2分）

y

y

6dx6（y

y）,0y1

（3分）

0

其它

x,0x1

4．设连续型随即变量的概率密度f（x）

2

x,

1

x

2

，

0,

其它

求E（x）,D（x）

（4）EX

x2dx

x（2

x）dx

1

（4

1）

1（8

1）

1

（4分）

1

2

0

1

3

3

1

2（8

1（16

7（3分）

EX2

1

3dx

2

x）dx

1）

1）

x

x2（2

0

1

4

3

4

6

DXEX2

（EX）2

7

1

1

（3分）

6

6

四．证明题（本大题共

2小题，总计

10分）

2k

0

2k

2．设{Xk}（k

1,2,

）

是独立随机变量序列，且

Xk~

1

1

，

1

1

2k1

2k

2k1

2

2

2

试证{Xk}服从大数定理。

（2）E（Xk）

（2

k

）

1

10

（1

1

）2

k

1

10

（2分）

2

2k

2

2k

2

2k

D（Xk）

E（Xk2）

（

2k）2

1

（2k）2

1

1,

（k1,2,）.（2分）

22k

1

22k

1

由切比雪夫大数定理可知{Xk}服从大数定理。

（1分）

考试科目：

概率论与数理统计考试时间：

120分钟试卷总分100分

一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小

题，每小题3分，总计15分）

1．设A,B为两随机事件，且

B

A，则下列式子正确的是＿＿

A＿＿

A．P（AB）P（A）

B．PABPA

Ｃ.

PB|APB

Ｄ．PBAPBPA

2.设

X:

N

2,那么当

增大时，PX-

C

A．增大

B．减少

C．不变

D．增减不定

3．设X~P

poission分布,且E

X-1X

2

1,则

＿A＿

Ａ．1

B.2

C．3

D．0

二、填空题（本大题共

5小题，每小题

3分，总计

15分

1.设A、B、C、是三个随机事件。

用

A、B、C表示事件“A、B、C至少有一个发生”

AUBUC;

2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出

1件为次品的概率是

3．设随机变量

X与Y相互独立，

X~N1,2,Y~N

0,1,

则随机变量

Z2X

Y3

的概率

1

1

z5

2

密度函数

f

z

e2

3

;

3

2

4．已知X~N

2,0.42,则E

X

2

3

三、计算题（本大题共

6小题，每小题

10分，共计

60分）

１．设考生的报名表来自三个地区，各有

10份，15

份，25份，其中女生的分别为

3份，7份，5

份。

随机的从一地区先后任取两份报名表。

求先取到一份报名表是女生的概率。

解.设B为“取得的报名表为女生的”

Ai为“考生的报名表是第

i个地区的”,i=1,2,3

由全概率公式

2分

3

P（B）P（Ai）P（B|Ai）

3分

i1

1

3

1

7

1

1

=

10

3

+

3

5

3分

3

15

29

1分

90

29

即先取到一份报名表为女生的概率为

1分

.

90

，

x

2

２．设随机变量X的概率密度为fx

Ax+10

②X的分布函数Fx；

0,

其他

，求①A值；

③

P1.5

X

2.5

（1）Q

f

xdx

2

Ax1dx

2A2

1，

A

1

2分

0

2

x

（2）Fx

0,

0x

0dt

0

1,

0,

1x2

4

ftdt

1分

x

0

1t

1

dt,

0

x2

3分

2

x

2

x

0

x,

0

x

2

1分

1,

x

2

（3）P1.5X2.5

F

2.5F1.50.0625

3分

３．设二维随机变量

（X,Y）有密度函数：

ke

3x

4y

x0,y

0;

f（x,y）

0,

其它

求：

（1）常数A；

（2）x,y

落在区域D的概率，其中Dx,y

;0

x

1,0

2.

3.

0

ke（3x4y）dxdyk

e3xdxe4ydy

k

1，k12

5分

0

0

0

12

Px,y

D

P0

X

1,0

Y

2

5分

1

3xdx

2

4ydy

1

e3

1

e8

12e

e

0.9502

0

0

4.

设足球队

A与

B比赛，若有一队胜

4场，则比赛结束，假设

A，B在每场比赛中获胜的概率均

为

1

，试求平均需比赛几场才能分出胜负

2

4.设X为需要比赛的场数，

1分

则PX4

1，PX5

1，PX6

5，PX7

5，4分

8

4

16

16

所以EX

4

1

1

5

5

4分

8

56

7

5.8

4

16

16

答：

平均需比赛

6场才能分出胜负

1分

２．设{Xn}为相互独立的随机变量序列

PXn

n

1,PXn0

1

2,n2,3,L

n

n

证明{Xn}服从大数定律。

2．EXn

n1

n

1

01

2

0

1分

n

n

n

DXn

EXn2

2

EXn

2

1

n

2

1

2

1

2

i2,3,L

1分

n

n

n

0

n

2

1n1

Xi,n

2,3,L

则E

Yn

0,D

Yn

2

2分

令Yn

ni2

n

1，由切比雪夫不等式知

PYn

EYn

1

2

1

分

2

n

故有

limPYn

EYn

1，

n

即Xn

服从大数定律。

1分

1．对于事件A,B，下列命题正确的是＿＿D＿＿

A．若A,B互不相容，则A与B也互不相容.

B．若A,B相容，则A与B也相容.

Ｃ．若A,B互不相容，则A与B也相互独立.

Ｄ．若A与B相互独立,那么A与B相互独立.

2.假设随机变量Ｘ的分布函数为F（x），密度函数为f（x）．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下

列各式中正确的是＿＿C＿＿

A．F（x）＝F（

x）；

B．F（x）＝F（x）；

C．f（x）＝f（

x）；

D．f（x）＝f（x）；

３.若X~N1,

12，Y~N

2,22，那么（X,Y）的联合分布为＿＿C＿＿

Ａ.二维正态，且

0；

Ｂ.二维正态，且

不定；

Ｃ.未必是二维正态；

Ｄ.以上都不对

．

４.设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则

＿＿

D（XY）D（X）D（Y）是Ｘ和Ｙ的＿＿C

A.不相关的充分条件，但不是必要条件；B.独立的必要条件，但不是充分条件；

C.不相关的充分必要条件；D.独立充分必要条件．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分

1.设A、B、C、是三个随机事件。

用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生”

ABCUABCUABC;

2.

设离散型随机变量X分布律为p{Xk}5A（1/2）k

（k1,2,L

）则A=

1/5

3.

用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示p{aXb,Y

c}=

F（b,c）

F（a,c）;

4．已知X~N10,0.6,Y~N1,2

且X与Y相互独立,则D3XY

三、计算题（本大题共

6小题，每小题

10分，共计60分）

１．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标

400，200，100（米）的概率分别为，，，又设他在距离

目标400，200，100（米）的命中率分别为，，。

求目标被命中的概率。

1.由全概率公式

2分

0.5*0.010.3*0.020.2*0.1

0.031

7分

目标被命中的概率为0.031.

1分

X的概率密度为

fx

C

x

2

，x1

２．设随机变量

1

，求①C值；

②X的分布函数F（x）；

0,

其他

1

1

③求X落在区间（

）内的概率。

2

2

1

1

1

2.

（1）

Q

f

x

dxC

1

x2

dx

1，

C

2分

1

（2）F

x

x

t

dt

1分

f

0,

x

1

x

1

dt

1

1

1

x

1

4分

1

x2

arcsinx

1

2

1,

x

1

（3）P

0.5

X

0.5

F

0.5

F

0.5

1/3

3分

1

x2

y2

R2

３．设二维随机变量

（X,Y）的密度函数：

f（x,y）R2

0,

其它

求：

求关于X与关于Y的边缘分布密度；

3.当Rx

R2

x2

2

2

R时fX（x）

f（x,y）dy

2

x

2

1

2dy

2R

2

x

，3分

R

R

R

于是

fX（x）

2R2

x2

R

x

R

2分

R

2

0,

其他

2R2

y2

R

xR

同理fY（y）

R2

5分

0,

其他

x0x1

4.设随机变量X具有密度函数f（x）2x1x2，求E（X）及D（X）。

1其他

1

2

x）dx

1

5分

4.E（X）x2dx

x（2

0

1

D（X）EX2

（EX）2

1

3dx

2

5分

x

x2（2x）dx11/6

0

1

四、证明题（本大题共

2小题，每小题

5分，共

10分）

２．设{Xk}，（k

2k

0

2k

1,2L）是独立随机变量序列，

Xk

1

1

1

1

2k1

2

2k

2k1

2

2

证明{Xk}服从大数定律。

2．E（Xk）（2

k

）

1

0（1

1

）2

k

1

0,

（2分）

2

2k1

2

2k