第5章频域分析法习题解答.docx
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第5章频域分析法习题解答
第5章频域分析法
5.1学习要点
1频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法；
2典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点；
3系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点；
4应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法；
5对数频率特性三频段与系统性能的关系；
6计算频域参数与性能指标；
5.2思考与习题祥解
题5.1判断下列概念的正确性
（1）将频率为0的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同一频率的。
（2）对于典型二阶系统，谐振峰值Mp仅与阻尼比有关。
（3）在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。
（4）在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。
（5）对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。
（6）对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
（7）对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。
（8）对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
（9）对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0°,闭环系统才是稳定的。
（10）相位穿越频率是在这一频率处的相位为o
（11）幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dBo
（12）幅值裕量在相位穿越频率处测量。
（13）相位裕量在幅值穿越频率处测量。
（14）某系统稳定的开环放大系数K25，这是一个条件稳定系统。
（15）对于（-2/-1/-2特）性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。
（16）对于（-2/-1/-3特）性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。
（17）开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。
（18）开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。
（19）Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值Mp和频带宽BW的信息。
（20）Bode图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。
（T）
（F）
答：
（1）正确
（2）正确（3）正确⑷正确（5）正确（6）正确
⑺正确（8）错误（9）正确（10）错误（11）正确（12）正确（13）正确（14）错误（15）正确（16）正确（17）正确（18）正确（19）正确（20）正确10
题5.2已知单位负反馈系统的开环传递函数为G（s）竺，求下列参考s1
输入下系统的稳态误差。
（1）沁）
（2）D（t）
（3）“（t）
sin（t30）
cos（2t45）
sin（t30）cos（2t45）
解：
根据单位负反馈系统稳态误差的定义，稳态误差传递函数
丽
Ge（s）器1
s1
s11
丄
11
s1
—1
11
系统稳态误差传递函数的频率特性为
Ge（j
稳态误差传递函数的幅频特性
212
1
1122.（11）
稳态误差传递函数的相频特性
Ge（j）arctanarctan（）
11
又根据频率特性的定义，系统的稳态误差频率特性
E（j）Ge（j）R（j）|E（j）|ej
其中
|E（j）||Ge（j）R（j）||Ge（j）||R（j）|
E（j）Ge（j）R（j）
所以
（1）当r1（t）sin（t30）
系统稳态误差传递函数的频率特性为
1j11
Ge（j）|1卄」
j1
11
稳态误差传递函数的幅频特性
1j11
\Ge（j1）\丨石占「\j111
稳态误差传递函数的相频特性
11212
11（》
12
1
61
Ge（j1）
1
arctan1arctan（）45
11
5.19
39.81
所以
\Ei（j）|
E1（j）
系统的稳态误差
1
Ge（j）\\R（j）1—=16161
Ge（j）R（j）39.81°
30°
69.81°
1
EMt）——sin（t69.81<61
（2）当r2（t）c°s（2t45）sin[90（2t45）]
sin（
sin（2t135）sin[180（2t135）]sin（2t45）
系统稳态误差传递函数的频率特性为
2t135）
Ge（j
）\
丄j21
11:
2j后
稳态误差传递函数的幅频特性
G（j2）\
1
25
稳态误差传递函数的相频特性
Ge（j2）arctan2
2arctan（）
11
°°
63.410.3
53.1°
所以
\E2（j）\
\Ge（j
）\\R2（j）1
E2（j）
系统的稳态误差
Ge（j）&（j
——1丄
、25一2553.1°45°
98.1o
（3）当W（t）sin（t线性系统满足叠加原理,
1
E2（t）—亠sin（t
V25
30）c°s（2t45）
系统的稳态误差
98.1o）
E3（t）E1（t）E2（t）-^=sin（t69.81°）-^sin（t
V61V25
98.1°）
题5.3试绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。
（1）
G（s）
⑵
G（s）
⑶
G（s）
（4）
G（s）
（5）
G（s）
（6）
G（s）
（7）
G（s）
（8）
G（s）
（9）
G（s）
Ksn（K10,N1,2）
10
0.1s1
Ksn（K10,N1,2）
10（0.1s1）
6
s（s4）
6
（s1）（s4）
（s5）
（s20）
s0.1
s（s0.01）
1
221（T1,10,
T2s22Ts1
0.4,0.707）
（10）G（s）
s2s1
解：
（1）G（s）Ksn（K
10,N1,2）
20lgK20Ig1020dB
当N1时，G（s）10/s，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.1（a）.当N2时，G（s）10/s2，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图
5.1（b）.
jI（）J
1
0
・90R（）
f
0
幅相频率特性
（
L（
_45°
-90
对数频率特性
图5.1（a）.一个积分环节
jI（）
0一V
RT）
180
-90
幅相频率特性
对数频率特性
图5.1（b）两个积分环节
一180
（2）G（s）
转折频率i
10
0.1s1
1
10,20lgK
0.1
20lg1020dB。
立10
当G（s）时，（）
0.1s1频率特性如图5.2（a）.
10
当G（s）——-时，（）
0.1s1
和对数频率特性如图5.2（b）.
arctan（0.1），对应的幅相频率特性和对数
180arctan（0.1），对应的幅相频率特性
对数频率特性
图5.2（a）惯性环节
-10
jl（）」
R（）
V
丿
0A
**^****1^
1/T10
幅相频率特性
对数频率特性
图5.2（b）不稳定的惯性环节
⑶G（s）Ksn
（K10,N1,2）
20lgK20lg10当N1时，G（s）当N2时，G（s）
20dB
10s，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.3（a）.10s2，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.3（b）.
jI（）t
90
I）
90°
R（）
幅相频率特性
对数频率特性
图5.3（a）.一个微分环节
jI（?
180
—0
0
R「）
幅相频率特性
180°
90°
对数频率特性
图5.3（b）两个微分环节
（4）G（s）10（0.1s1）
转折频率1
0.1
10,
20lgK20lg10
当G（s）10（0.1s1）时,
（）arctan（0.1
20dB。
），对应的幅相频率特性和对
数频率特性如图5.4（a）.
当G（s）10（0.1s1）时，（）180性和对数频率特性如图5.4（b）.
arctan（0.1），对应的幅相频率特
ji（）
0亠
0
10R（）
幅相频率特性
对数频率特性
图5.4（a）一阶比例微分环节
i
0
打|（）
100
R（）
幅相频率特性
对数频率特性
（5）G（s）
转折频率1
3.5dB。
图5.4（b）不稳定的一阶比例微分环节
61.5
s（r^）s（§1）
4
4，20lgK20lg1.5
（）90arctan（/4），对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.5.
对数频率特性
（6）G（s）
（s1）（s4）
转折频率,1,24,
（）arctanarctan（
图5.6.
图5.5I型二阶系统
1.5
（s1）（|1）
20lgK20lg1.53.5dB。
/4），对应的幅相频率特性和对数频率特性如
对数频率特性
图5.6二阶系统
（7）G（s）（s
（s5）
20）
转折频率i5
（）arctan（
如图5.7.
2
/5）
0.25（S1）
5
（巴1）
20
20,20lgK20lg0.25arctan（
12dB。
/20），对应的幅相频率特性和对数频率特性
幅相频率特性
-
1510
20100
L
■
L
-
「I--—
0
对数频率特性
0
12_20
L（）
20
（）
90°
（8）G（s）
s0.1
s（s0.01）
图5.7具有零点的一阶系统
10（丄1）
0.1
s（丄1）
0.01
0.1，20lgK20lg1020dB。
0.01，2arctan（/0.01）arctan（/0.1），对应的幅相频率特性和对
数频率特性如图5.8.
转折频率i
（）90
R（）
对数频率特性
图5.8具有零点的二阶系统
（9）G（s）
1
T2s22Ts1
（T1,10,
0.4,0.707）
当T1,0.4时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.9（a）.
当T10，0.707时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.9（b）.
幅相频率特性
对数频率特性
图5.9（a）二阶振荡环节
幅相频率特性
对数频率特性
图5.9（b）二阶振荡环节
（10）G（s）
转折频率1
40（0.2s
2s1
25，20lgK20lg40
1）
（10）
arctan0.2）arctan（——
2
2），
arctan（0.2）
arctan（）
11
11.3
90
78.7
arctan（0.6）
6arctan（）
19
31
143.1
112.1
arctanQ）
’10、arctan（）
45
157.3
112.3
⑴
⑶
（5）
（）
32dB。
20
arctan
（2）arctan（—
1100
100
arctan（10）arctan（）84.3177.7
12500
）63.4168.6
105.2
93.4
当由0,（）变化趋势由090
相频率特性和对数频率特性如图5.10.
180
90，对应的幅
幅相频率特性
对数频率特性
图5.10具有零点的二阶系统
题5.4试绘出下列系统的开环传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。
（1）
G（s）
Kg1）
G（s）
G（s）
s（£s1）（T2S1）'
250
2
s（ss100）
0.2
e
s1
（TiT2
T30）
解:
（1）
G（s）
Kgs1）
当
当
当
0时,
时,
由0
s（T,s
A（）
A（）
（
1）（T2S1）'
（）
0,（）
（TiT2
90
180
0）
180270180。
设K10,20lgK
特性和对数频率特性如图5.11.
）变化趋势由90
20lg1020dB,转折频率如图示，对应的幅相频率
题5.4
（1）用图
L（”
对数频率特性
250
2.5
s（s2
s100）
（12s（s
—s1）
100
100
10,
20lgK
20lg2.5
8dB。
（2）G（s）
转折频率,
1
90
arctan（-
1
100
1
100
-），
2
⑴90arctan（100）900.5790.57
1——
100
1
（10）90
arctan（10）90
11
90
180
（100）90
1
90
179.42269.42
arctan（）
1100
当由0
（）变化趋势由
90
180270，对应的幅相
频率特性和对数频率特性如图5.12.
对数频率特性
e02
（3）
G（s）
s
1
转折频率1
1
，20lgK20lg1
0dB。
（）
0.2
arctan，
（0）
0°
（1）
0.2
1
57.3arctan1
11.545
题5.4
（2）用图
56.5
（10）0.21057.3arctan1011584.3199.3
（100）0.2100当由0,（
频率特性如图5.13.
57.3arctan100
）变化趋势由0
115089.41239.4
，对应的幅相频率特性和对数
幅相频率特性对数频率特性
图5.13题5.4（3）用图
题5.5设系统的开环幅相频率特性如图题5.5所示。
试写出开环传递函数的形式，并判断闭环系统是否稳定。
图中，P为开环传递函数右半S平面的极点数，N为其s0的极点数。
1
Im
Re
0
（c）P0,N0
1Im
L1
Re
+
0
（d）P0,N2
|Im
（a）p1,N0（b）p1,N0
Im
1
Re
八Im
+
1
（f）PQN2
Im
01
11.
Re
—
（g）P1N0
1Re
J—■K-
0
（e）P1,N1
（h）P2N0
题5.5图
解：
解题思路提示：
根据P、N和开环幅相频率特性的相位变化确定开环传递函数形式。
K
（a）为不稳定的惯性环节，开环传递函数的形式为3（s）-。
由图知，
Ts1
由0，开环幅相频率特性G（j）在（，1）区间正负穿越次数之差为
P
0，故闭环系统稳定。
2
（b）根据P1、N0和开环幅相频率特性的起始相位，可判断开环系统含
有一不稳定惯性环节。
开环传递函数的形式为
K（TsS1XT4S1）
仃1S1）（T2S1）
G（s）
T1T2
T3T4
由图知，当由0，开环幅相频率特性G（j）在（
1P
数之差为0，故闭环系统不稳定。
22
（c）根据角度的变化，开环传递函数的形式为G（s）
1）区间正负穿越次
K仃s1）。
由图知,
由0，开环幅相频率特性G（j）在（，
1P
-—，故闭环系统不稳定。
22
（d）根据角度的变化，开环传递函数的形式为
1）区间正负穿越次数之差为
G（s）
K（T1s1）（T4s1）
s2（T2s
1）（T3s1）'T1
T2
T3T4
G（s）
K（T1s
1）01）
T2
由图知，当
222,
s2（T2s22Ts1）
，开环幅相频率特性G（j）在（
由0
P
0，故闭环系统稳定。
2
（e）根据角度的变化，开环传递函数的形式为
1）区间正负穿越次
数之差为0
G（s）
K（TiS1）
s（T2S1）（T3S1）
由图知，当由0，开环幅相频率特性G（j）在（
—
数之差为10一，故闭环系统不稳定。
2
（f）根据角度的变化，开环传递函数的形式为G（s）
1）区间正负穿越次
由图知，当由0，开环幅相频率特性G（j）在（
1p
数之差为0-—，故闭环系统不稳定。
22
（g）根据角度的变化，开环传递函数的形式为
K
K
~2
s（Ts1）
1）区间正负穿越次
G（s）,T1
（「s1）（T2S1）Es1）
由0，开环幅相频率特性G（j）在（
—
0—，故闭环系统稳定。
2
由图知，当
数之差为1
2
（h）根据角度的变化，开环传递函数的形式为3（s）
由图知，当由0，开环幅相频率特性G（j）在（
T2T3
1）区间正负穿越次
（T1S1）（T2S1）'
1）区间正负穿越次
—
数之差为00—，故闭环系统不稳定。
2
题5.6已知最小相位系统的开环对数频率特性如图5.68所示。
试写出开环传递函数的形式，并绘制近似的对数相频特性。
JI
■
-
500
■
1
10
\1■
100•
-4
）"
L（
60
0
-40
（a）
L（）
40
20
0
一20
L（）"
L（
）'
-2
20
-1
100
►
（b）
10
-3
L（）
L（）
10
（c）
100
解:
80
810
（d）
-2
0.2
1
60
0.1
（e）
题5.6图
12
-2
0.2
20
（a）开环传递函数的形式为
G（s）
（s
根据20lgK
60dB,K
11
1）（s1）（s1）
10500
＞近似的对数相频特性如图5.14
100
（b）开环传递函数的形式为
G（s）
近似的对数相频特性如图5.15
100
s（s
1）
（C）开环传递函数的形式为
G（s）
近似的对数相频特性如图5.16.
0.1s
1）
L（）t
（d）开环传递函数的形式为
G（s）
近似的对数相频特性如图5.17。
64（s1）
s2』s
80
1）
图5.17题5.6（d）对数相频特性
（e）开环传递函数的形式为
G（s）
K（E2s222T2S1）
T2s22/S1
其中Ti
1
T2,10.2,20.1。
近似的对数相频特性如图5.1&
图5.18题5.6（e）的对数相频特性
⑴开环传递函数的形式为
G（s）
KS
（£s
由低频锻20lgKs
OdB的点得K
1）條
15，
0.2
1）2
同时20|g諺
12dB，解得
L4,10.8;则T1
0.2
1.25。
1
由咼频锻40lg20
2
似的对数相频特性如图5.1S
12dB，解得202，
2
210；则T2
-0.1。
近
2
下:
图5.19题5.6（f）的对数相频特性
题5.7试用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性各系统的开环传递函数如
（1）G（s）
K仃3S1）s（T1s1）（T2s1）'
（T3T1
T2）
⑵
G（s）
20
s（s1）（s10）
（3）
G（s）
10（s100）
s（s2）
解：
（1）
G（s）
K仃3S1）
（T3T1
T2）
s（£s1）（T2s
1），
幅频特性为
G（j）
K（jT31）
j（jTi1）（jT21）
这是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。
开环频率特性为
相频特性为（）90oarctanT3arctanT1arctanT2
首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性
①当
0时，有
G（j）
即A（0）
②当
，（0）90。
时，A（）0，（）（nm）90o180°
③因为T3TT2，所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。
开环幅
相频率特性与负实轴无交点。
开环幅相频率特性如图5.2Q由0到0的增补特
性如图中虚线所示。
图5.20题5.7
（1）的开环幅相频率特性
可以看出，当环系统是稳定的。
由0到时，开环幅相频率特性不包围1（1,j0）点，所以，闭
（2）G（s）
20
s（s1）（s10）
这也是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。
开环频率特性为
幅频特性为A（）
21x（0.1）21
G（j）
相频特性为（）90°arctanarctan（0.1）
首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性
1当0时，A（0），（0）90。
2当时，A（）0，（）（nm）90°270°。
3开环幅相频率特性与负实轴的交点。
开环幅相频率特性与负实轴的交点满足（J180°，即
90°arctanjarctan（0.1J180°
或
arctan（0.1j）90°arctanj
两边取正切：
tan[arctan（0.1j）]
有
0.1j
tan[90°arctanj]
丄
j
解得
22
代入幅频特性，得A（j）-—0.134
庾J101TilV220
开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为（0.134,j0）o
开环幅相频率特性如图5.21,由0到0的增补特性如图中虚线所示
图5.21题5.7
（2）的开环幅相频率特性
可以看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包围（1,j0）点，所以，闭环系统是稳定的。
⑶G（s）
这是一个非最小相位系统，开环右极点数目P1o开环频率特性为
）50（j0.011）
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