五奥第十一十二讲行程问题高江.docx

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五奥第十一十二讲行程问题高江

第十一讲行程综合

（一）

知识概述

1.相遇问题是指两个人或车辆（物体……）各按着一定的速度从两地同时出发，沿着同一条道路相向而行（有时相背而行也可看做相遇问题），并由各种条件的变化而产生的一类应用题。

基本数量关系式是：

速度和×相遇时间=相遇路程

相遇路程÷相遇时间=速度和

相遇路程÷速度和=相遇时间

2.两个人或车辆同时从两地同向行驶，后面快的人或车辆经过一段时间，赶上前面行的慢的人或车，由此问题不断衍生，而形成一类应用题，我们把它称之为“追及问题”。

基本数量关系：

追及路程=速度差×追及时间

追及时间=追及路程÷速度差

速度差=追及路程÷追及时间

3.由基本相遇所衍生出的环形相遇、多人多次相遇、猎狗追兔等特殊行程问题。

精选例题

故事导入：

师：

我们在体育课的时候是不是经常做接力赛的游戏？

生：

对！

师：

那有没有哪一位同学可以帮助大家回忆一下接力比赛的具体经过呢？

生：

是一名同学拿着接力棒交给另外一名同学之后，这名同学才开始跑。

师：

对！

但是如果我们把情况改一下，假如，这里没有接力棒，一开始，两名同学相对跑，这里就出现了我们今天要讲的课程，相遇问题；同学们在课间喜欢追追打打，总是跑得快的一名同学追上跑得慢的同学，这里又出现了我们今天要讲的第二个内容追击问题。

生：

嗯！

师：

那么首先进入我们的第一个题目，联系我们刚刚才说的接力比赛的情况，来分析一下这种类型的问题到底有什么样奥妙！

例1：

（1）甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，相遇时，甲车比乙车多行45千米，求两地相距多少千米？

【分析与解】甲车每小时比乙车每小时多行的距离=60-55=5（千米）

相遇时甲乙用时=45

5=9（小时）

两地距离=（60+55）*9=1035（千米）

师：

通过这个题目，有没有哪一位同学能够帮我们大家总结一下？

生：

这个题目的关键是在于相对行驶是相遇问题，甲和乙花的时间是相同的。

师：

对，这点很关键。

那然后呢？

生：

所以总共的路程等于两者速度和与时间的乘积。

师：

很好！

生：

甲每小时多比乙行驶5千米，总共多行了45千米，所以可以得到甲乙相遇总共花了多少的时间，又知道了他们的速度和，就可以求出两地之间的距离了。

师：

非常好！

希望大家都像这位同学一样，善于总结！

师：

上面这题的关键是在于找到他们相遇所花的时间，这是相遇问题的一个核心。

那么带着这样的问题，我们来看下下面的这个题目，是不是可以找到相同的地方？

（2）一辆客车和一辆货车，同时从东、西两地相向而行，客车每小时行56千米，货车每小时行48千米，两车在离中点32千米的地方相遇，求东、西两地的距离是多少千米？

【分析与解】客车每小时比货车每小时多行的距离=56-48=8（千米）

客车相遇时比货车多行的距离=32*2=64（千米）

相遇时甲乙用时=64

8=8（小时）

东西两地相距=（48+32）*8=640（千米）

生：

对！

师：

通过前面两个题目，我们能够找到解决这类问题的关键在于，知道了相遇者的速度和相遇所需要的时间，我们就可以求出整个距离，而这两个问题关键是围绕在相遇的时间是如何求出的。

师：

我们再来看看下面的题目，例2和例1的两个题目有什么不同。

例2：

A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折返向甲车飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去。

燕子飞了多少千米两车才能相遇？

【分析与解】甲乙相遇的用时即燕子飞行的用时=480

（35+45）=6（小时）

燕子飞行距离=50*6=300（千米）

师：

有没有谁能够告诉我这个题目的突破口在哪里？

生：

时间！

师：

对！

具体时间是怎么样?

生：

不管甲，乙或者是燕子，他们都是同时出发，同时相遇，他们所经历的时间是相同的，也就是说只要能够求出他们相遇的时间，又已知燕子的飞行速度，就可以求出燕子的飞行路程了。

师：

非常好！

那我们怎么求相遇的时间呢？

生：

燕子飞行的时间就是甲乙相遇的时间！

师：

嗯是的！

找到了这个关键点，这道题目也迎刃而解了！

那我们来看下面这个题目。

例3：

甲乙两车同时从A、B两地相向开出，第一次在离A地85千米处相遇，相遇后两车继续前进，到站后立即返回；第二次在离B地65千米处相遇，算一算AB两地间的路程和甲车行的路程。

【分析与解】设全程为

千米。

第一次相遇甲行85千米，乙行

千米；

第二次相遇甲行

千米，乙行

千米；

依题意可得方程：

解得：

所以甲的车程

（千米）

师：

总结这个题目我们用的是方程来解决。

列方程的关键是找等量关系，而这里的等量关系是，有没有哪一名同学能够告诉我？

生：

是在相同的时间里甲乙的速度比就是他们的路程比！

师：

对！

例4：

甲乙两人骑自行车，甲每小时行13千米，乙每小时行11千米，如果甲乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，则0.5小时相遇；如果同向而行，则甲追上乙需要多少时间？

【分析与解】甲乙相距=

（千米）

甲追上乙的时间=

（小时）

总结：

这题的关键是在于，弄清楚相遇和追击之间的关系。

例5：

有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米?

【分析与解】

100：

80：

75=20：

16：

15

甲乙相遇时，甲走全程的25份，乙走16份，丙走了15份；即甲丙相距1份，走了6分钟。

可得这一份的路程=

（千米）

所以东西两村之间的距=

（千米）

师：

这题中我们利用了份数的关系。

生：

对！

师：

因为在相同的时间，路程的比就等于各自速度的比。

生：

对！

师：

所以我们可以通过各自的速度，找出他们的路程比例关系。

然后在根据份数，求出

每一份的关系，然后再按照整个份数来求出整个全程。

例6：

张、李、赵3人都从甲地到乙地。

上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发。

傍晚6时，赵、张同时达到乙地。

那么赵追上李的时间是几时?

【分析与解】张全程花时间为

（小时）

全程距离为

（千米）

赵全程花时间为

（小时）

赵的速度为

（千米每时）

赵追上李花时间为

（小时）

具体时间点为

···即中午12点

师：

这题不难，但是同样我们还是要非常地小心谨慎。

生：

根据相遇和追击关系来求出题目的问题。

师：

嗯，这个是把相遇和追击之间的问题糅合在了一起，并且变成了三个人之间的关系，所以我们在读题目的时候一定要细心。

仔细分析题目的要求，和已知量之间的关系。

例7：

如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米。

求这个圆的周长。

【分析与解】设半圆长为

米，第一次小张走了80米，小王走了

米；第二次小张走了

米，小王走了

米。

依题意：

；解得

，所以圆周长为

米

师：

这一题我们发现好像和之前的一个题目有点像是么，有没有同学能够告诉我？

生:

对和例题3是一样的。

师：

那区别在于哪里呢？

生：

一个是直线上的追击和相遇问题，这里变成了在一个闭合的圆形中的追击和相遇问题。

其他的都没有变。

师：

是的，所以我们可以同样总结为方程来解决。

列方程的关键是找等量关系，而这里的等量关系是，有没有哪一名同学能够告诉我？

生：

是在相同的时间里甲乙的速度比就是他们的路程比！

师：

对！

例8

（1）一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子?

【分析与解】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒

则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20÷（9－8.4）=100/3（秒）能够追上兔子。

用时20/（9-8.4）秒时间追上，即狗跑了9×100/3=300米

（2）猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:

兔跑多少步后被猎狗抓获?

此时猎狗跑了多少米?

【分析与解】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒………………………（一次设数）

再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离

设兔子一步4米，狗一步9米………………………………………（二次设数）

从而得出狗速度为45米/秒，兔速度为32米/秒

进而狗兔相距26×9=234米，追及时间为234÷（45-32）=18（秒）

兔子一秒跑8步，总共跑了9×18=144步

狗一秒跑45米，总共跑了45×18=810米

师：

课后总结与归纳和教学目标是1.学会用方程和比例解决不同类型行程问题2.学会找行程问题中隐含的量然后来解决行程问题教学重点：

把复杂的行程问题转化成基本的类型然后利用公式解决教学难点：

行程问题中隐含量的寻找。

A组训练题

1、某快速反应部队运送救灾物资去某灾区，飞机原计划每分钟飞行9千米，现将速度提高到12千米，结果比原计划早到30分钟，机场到灾区相距多少千米？

解：

设机场到灾区相距

千米，依题意有：

解得

2、有甲乙两位同学在相距520米的两地之间竞走，两人同时分别从两地相向出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米。

两位同学第一次相遇后继续前进，走到对方出发的地点时，立即返回继续往回走，到第二次相遇时，走了多少分钟？

解：

两次相遇总共走的距离是3个全程为

（米）

共走时间为

（分钟）

3、甲乙两地相距47.5千米，哥哥由甲地出发走向乙地，每小时走6.5千米，2小时后，弟弟从乙地走向甲地，弟弟走3小时遇见哥哥，弟弟每小时走多少千米？

解：

（千米每时）

4、甲乙两人同时从A地出发去B地，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，甲比乙早到1小时，甲乙两地相距多少千米？

解：

设甲乙两地相距

千米，依题意：

，解得

B组训练题

5.甲、乙、丙三人步行的速度分别为每分钟100m，80m，70m。

甲乙同在公路上A处，丙在公路上B处，三人同时出发，甲乙与丙相向而行，丙遇到甲2分钟后又遇到乙，A，B间的距离是多少米？

解：

100：

80：

70=10：

8：

7

甲丙相遇时甲行10份，丙行7份，此时乙行8份，乙丙之间相距2份，

这两份的距离为

（米）

A,B间的距离为

（米）

6.甲、乙两车分别从东、西两站同时相对开出。

第一次相遇时，甲车行了80千米，两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，第二次相遇地点在第一次相遇地点东侧40千米处。

东、西两站相距多少千米？

解：

设，东西两站相距

千米，

第一次相遇甲行了80千米，乙行了

千米；第二次相遇甲行了

，乙行了

千米；依题意得：

，解得

7．猎狗追赶前方50米处的野兔。

猎狗跑4步的路程兔子要跑7步,但猎狗跑3步的时间兔子能跑5步。

猎狗至少跑出多远才能追上野兔?

解：

因为，狗3步每秒；兔子（5×4÷7）步每秒

50÷（3-5×4÷7）=350（米）

C组训练题

8.甲乙两人沿一个周长为400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需要4分钟，乙行走一圈需8分钟。

他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意。

问：

当两人第15次击掌时，甲共走了多少时间？

乙走了多少路程？

解：

甲走完10圈，花了10×4=40分钟，此时乙走了40÷8=5圈；

则甲开始反向行走时，甲比乙多走了10-5=5圈，

此时，甲追上乙5次，且甲在乙前面30/7-4=2/7圈；

接下来相反方向走,经过5÷（1/4+1/8）=40/3分钟两人第一次相遇，第5+1=6次击掌；

之后每经过1÷（1/4+1/8）=8/3分钟两人相遇一次，

到两人第15次击掌还需要相遇15-6=9次，还需要（8/3）×9=24分钟；

所以，当两人第15次击掌时，甲共走了40+40/3+24=232/3分钟，

400÷8×（232/3）=3866×2／3米。

对联中的数学

（一）

花甲重开，外加三七岁月；

古稀双庆，内多一个春秋．

这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数。

即上述下联。

上联的算式：

2×60＋3×7=141，下联的算式：

2×70＋1=141。

（二）

三强韩赵魏九章勾股弦

上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作。

团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对。

片刻，人皆摇头，无以对出。

他只好自对下联“九章勾股弦”。

此联全用“双联”修辞格。

“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著《九章算术》。

该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理。

全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合。

（三）

四川一座乡村中学，一对数学教师结合夫妇，在元旦结婚之日，工会赠一副贺联云：

世事再纷繁，加减乘除算尽；

宇宙虽广大，点线面体包完。

（四）

某地一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠贺联一副：

会计合数检验误差重合数；

医生开方已知病根再开方。

嵌入“合数”、“开方”等数学名词，天衣无缝。

第十二讲行程综合

（二）

知识概述

1.“火车过桥”是行程问题中的一种情况，桥是静止的，火车是运动的，火车通过大桥，是指火车头上桥到车尾离桥。

车过桥行驶路程：

桥长+车长所用时间：

（桥长+车长）÷火车速度

2.船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

顺水速度=船速+水速，

（1）　逆水速度=船速-水速.

（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式

（1）和公式

（2），相加和相减就可以得到：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

3.由流水行船问题衍生出的电梯问题

精选例题

故事导入：

师：

根据上堂课的内容，有没有同学回去和自己的好朋友亲自去实验一下呢？

生：

有！

师：

很好！

生：

相遇的关键在于时间的相同和速度和，追击的关键在于时间相同和速度差。

师：

那么今天我们再学习关于行程问题中更高阶的一些问题，关于火车和水流的问题。

有没有人坐过船？

生：

有！

师：

是的，老师也做过船，从武汉到重庆需要5天的时间，从重庆到武汉需要2天的时间，那有没有人告诉我，为什么都是武汉到重庆的距离，需要的时间相差怎么却怎么不一样呢？

生：

因为一个是顺流，一个是逆流！

师：

对！

！

！

生：

所以顺流和逆流之间航行，船的速度是满足一个特定的关系。

师：

然后呢？

生：

可以用公式飞别求出水速和船速。

例1.一列火车长400米，铁路沿线的电线杆间隔是40米，这列火车从车头达到第1根电线杆到车尾离开第51根电线杆用了2分钟，这列火车每小时行多少千米？

【分析与解】火车行驶的距离为

（米）=

（千米）

火车行驶的时间为

分钟=

（小时）

火车行驶的速度为

（千米每时）

师：

这一题是不是首先类似于植树问题？

生：

是的！

通过植树问题，我们可以求出火车在这2分钟内行驶的距离。

师：

找到问题和问题之间的相似点也是非常重要的！

生：

然后就可以知道了时间和路程求出火车的速度了。

例2.一列车通过530米的隧道要40秒钟,以同样的速度通过380米的大桥要用30秒钟,求这列车的速度及车长。

【分析与解】设火车长度为

米，依题意得，

，解得

火车车速为

（米每秒）

师：

那么这一题，我们又有什么发现呢？

生：

和第一讲里面的题目特别的相似，使用的都是方程。

而且在方程列式子的过程中，我们找的等量关系是前后两次火车的速度是相同的。

师：

列方程的关键是找等量关系。

生：

之后我们就解方程就可以了。

师：

是的，所以在解这种题目的时候，我们需要细心地找出题目所内涵的条件列出方程。

带着这样的问题，我们来看下一题。

例3.有两列火车，一列长130米，每秒行23米，另一列长250米，每秒行15米。

现在两车相向而行，从相遇到离开需几秒钟？

【分析与解】相遇到离开时间为

（秒）

师：

那么这一题又有什么不同呢？

生：

这题是火车相向而行，即错车。

师：

是的，所以火车行驶的路程是就是两列车的车身全长。

生：

知道了火车行驶的路程和火车行驶的速度，就可以用相遇问题，解出两列火车错车时候的时间。

例4.两列对开的火车相遇，甲车上的司机看到乙车从旁边开过去，共用了6秒钟。

已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，乙车长多少米？

【分析与解】甲车上的司机看到用时6秒=

小时

乙车长

（千米）=

（米）

师：

这里，和之间的题目有点不一样。

生：

是的！

这里虽然是错车，但是是甲车上的司机看乙车。

师：

既然是这样，我们发现甲车的司机能够经历甲车的车身长度么？

生：

不能！

师：

对！

甲车的司机看的，经历的是乙车的车身长度。

这就是路程。

生：

知道了路程相遇的速度就可以求出相遇的时间。

师：

这一题的关键是在于如何读懂题意。

例5.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

【分析与解】顺流速度=

（千米每时）

逆流速度=

（千米每时）

船速=

（千米每时）；水速=

（千米每时）

师：

我们把例5、例6和例7两道题目联系在一起看，最后做一个分析总结。

生：

嗯好！

例6.甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一艘帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘帆船往返两港要多少小时？

【分析与解】依题意，可得：

V顺=360÷15=24千米/时

V逆=360÷20=18千米/时

V水=（24-18）÷2=3千米/时

360÷（12+3）=24小时

360÷（12-3）=40小时

24+40=64小时

例7.小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？

【分析与解】2÷（4+2-2）=0.5小时

师：

对于水中的行程问题，我们应该注意的是什么？

生：

顺流和逆流的行驶的速度是不一样的。

师：

为什么？

生：

因为水自己有流速，在顺流的情况下，船行驶的速度是自身速度和水流速度的和。

相对就有，船逆流行驶的速度是自身速度和水流速度的差。

师：

对把握好了这一点，我们依旧是要抓住路程，速度和时间的关系。

例8.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：

该扶梯共有多少级？

【分析与解】

扶梯长度不变，人在走的同时，扶梯也在走

男孩5分钟走的级数+扶梯5分钟走的级数=女孩6分钟走的级数+扶梯6分钟过走的级数

男孩5分钟走的级数=20×5=100级

女孩6分钟走的级数=15×6=90级

扶梯一分钟走的级数=100-90=10级

扶梯长度：

100+10×5=150级

师：

课后总结与归纳和教学目标是火车过桥主要是对于路程的判断，流水行船主要是对速度的判断。

A组训练题

1.已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度。

解：

设火车的长度为

，依题意得：

，解得

车速为

（米每秒）

2.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见慢车驶过的时间是多少秒？

解：

快车与慢车的速度和为385÷11=35米/秒

时间为280÷35=8秒

3.

（1）船速为40千米/小时，水速为2千米/小时，它顺水航行的速度是42千米/时。

（2）船速为40千米/小时，水速为2千米/小时，它逆流而上的速度为38千米/时。

（3）一只船在河水中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时行8千米，顺水航行50千米需用5小时。

（4）一只船逆流而上，水速2千米，船速32千米，4小时航行12千米。

（船速，水速按每小时算）

（5）船行于120千米一段长的江河中，逆流而上用10小时，顺流而下用6小时,水速4千米/时，船速16千米/时。

4．甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？

解：

V顺=234÷9=26千米/时

V逆=234÷13=18千米/时

V船=（26+18）÷2=22千米/时

V水=26-22=4千米/时

B组训练题

5.两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13秒钟，求乙车全长多少米？

解：

甲车长=（60+48）×13/3600=1404/3600千米=390米

6.某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶。

她又向前游了20分后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，他返回追寻用了多少分钟？

1.解：

20分钟人和壶相距20×（V静-V水）+20×V水=20V静

追及时间=追及路程÷速度差

追及时间=20V静÷（V静+V水-V水）=20分钟

7.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?

解：

40×2=80级

50÷2×3=75级

（80-75）÷10=0.5级/秒

40×2+40×0.5=100级

C组训练题

8.一条小河流过A、B、C三镇。

A、B两镇间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米。

B、C两镇间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米。

已知A、C两地水路相距50千米，水流速度为每小时1.5千米。

某人从A镇顺流而下去B镇，吃午饭用了1个小时，接着又顺流而下去C镇，共用8个小时，那么A、B两镇间的距离是多少？

解：

假设法假设都用汽船，则有，

（11.5+1）×（8-1）=87.5千米87.5-50=37.5千米

37.5÷（12.5-5）=5小时······BC两镇所用时间

7-5=2小时······AB两镇所用时间

12.5×2=25千米