1998年全国高考数学试题及答案解析.docx

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1998年全国高考数学试题及答案解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共65分）

一、选择题:

本大题共15小题;第

（1）_（10）题每小题4分,第（11）_（15）题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N为

（A）｛x│0≤x<1｝（B）｛x│0≤x<2｝

（C）｛x│0≤x≤1｝（D）｛x│0≤x≤2｝

[Key]B

（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a为

[Key]B

（3）函数在一个周期内的图象是

[Key]A

（4）已知三棱锥D-ABC的三个则面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是

[Key]C

（5）函数的最小正周期是

[Key]B

（6）满足arccos（1-x）≥arccosx的x的取值范围是

[Key]D

（7）将y=2x的图象

（A）先向左平行移动1个单位（B）先向右平行移动1个单位

（C）先向上平行移动1个单位（D）先向下平行移动1个单位

再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2（x+1）的图象.

[Key]D

（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是

[Key]C

（9）曲线的参数方程（t是参数，t≠0）,它的普通方程是

[Key]B

（10）函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为

[Key]B

（11）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

[Key]A

（12）圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是

[Key]D

（13）定义在区间（-∞,+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间［0,+∞）的图象与f（x）的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式

①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b）;②f（b）-f（-a）

③f（a）-f（-b）>g（b）-g（-a）;④f（a）-f（-b）

其中成立的是

（A）①与④（B）②与③（C）①与③（D）②与④

[Key]C

（14）不等式组的解集是

[Key]C

（15）四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有

（A）150种（B）147种（C）144种（D）141种

[Key]D

（16）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________.

[Key]4

（17）已知直线的极坐标方程则极点到该直线的距离是_______。

[Key]

（18）的值为__________

[Key]

（19）已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:

①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;

②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;

③若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;

④若lβ,且l⊥α,则α⊥β;

⑤若mα,lβ,且α∥β,则m∥l.

其中正确的命题的序号是___________.（注:

把你认为正确的命题的序号都填上）

[Key]①④

（20）已知复数平面上所对应的点分别为P、Q，证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）

[Key]本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.

解法一：

------2分

于是

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形

解法二:

由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.---10分

（21）（本小题满分11分）

已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,

其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求

[Key]本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.

解:

分两种情况讨论.

（Ⅰ）p>1.

=p.-------------7分

（Ⅱ）p<1.

∵0

-------11分

（22）（本小题满分12分）

甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成:

可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

（Ⅰ）全程运输成本把y（元）表示为速度v（千米/时）的函数,并指出这个函数的定义域;

（Ⅱ）为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

[Key]本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s/v，全程运输成本为

-------------4分

故所求函数及其定义域为

..-------------5分

（Ⅱ）依题意知S,a,b,v都为正数,故有

因为c-v≥0,且a>bc2,故有

a-bcv≥a-bc2>0,

也即当v=c时,全程运输成本y最小.

（23）（本小题满分12分）

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

（Ⅰ）证明AD⊥D1F;

（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;

（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;

[Key]本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.

解:

（Ⅰ）∵AC1是正方体,

∴AD⊥面DC1.

又D1F面DC1,

∴AD⊥D1F.-------------2分

（Ⅱ）取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.

设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而

∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.-------------5分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F,由（Ⅱ）知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1.-------------7分

（Ⅳ）连结GE,GD1.

∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,

∵AA1=2,

面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG--S△GBE=

（24）（本小题满分12分）

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）,方程f（x）-x=0的两个根x1,x2满足

（Ⅰ）当x∈（0,x1）时,证明x

.

[Key]本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

证明:

（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x.因为x1,x2是方程f（x）-x=0的根,所以

F（x）=a（x-x1）（x-x2）.------------2分

当x∈（0,x1）时,由于x10,又a>0,得

F（x）=a（x-x1）（x-x2）>0,

即x

所以x1-x>0,1+a（x-x2）=1+ax-ax2>1-ax2>0.

得x1-f（x）>0.

由此得f（x）

（Ⅱ）依题意知

因为x1,x2是方程f（x）-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根.

因为ax2<1,所以

-----------12分

（25）（本小题满分12分）

设圆满足:

①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:

1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:

x-2y=0的距离最小的圆的方程.

[Key]本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.

解法一:

设圆的圆心为P（a,b）,半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.

由题设圆P截X轴所得劣弧对的圆心角为，，知圆P截X轴的弦长为，故

r2=2b2------------2分

又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有

r2=a2+1.

从而得2b2-a2=1.-------------5分

又点P（a,b）到直线x-2y=0的距离为

-------------7分

所以5d2=│a-2b│2

=a2+4b2-4ab

≥a2+4b2-2（a2+b2）

=2b2-a2=1,

当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.

-------------10分

由此有

解此方程组得

由于r2=2b2知

于是,所求圆的方程是

（x-1）2+（y-1）2=2,或（x+1）2+（y+1）2=2.-------------12分

解法二:

同解法一得

将a2=2b2-1代入①式,整理得

②

把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

△=8（5d2-1）≥0,

得5d2≥1.

所以5d2有最小值1，从而d有最小值10分

将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.

将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.

综上a=±1,b=±1,r2=2.

由│a-2b│=1知a,b同号.

于是,所求圆的方程是

（x-1）2+（y-1）2=2,或（x+1）2+（y+1）2=2.-------------12分