同济大学《概率论与数理统计》PPT课件.pptx

同济大学《概率论与数理统计》PPT课件.pptx

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1第第1章章随机事件与概率随机事件与概率随机事件与概率随机事件与概率概率概率论论与数理与数理统计统计同同济济大学数学系大学数学系&人民人民邮电邮电出版社出版社012第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents随机事件及其运算1.11.2概率的定义及其性质1.31.41.5等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式3第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系和运算4第第1章章随机事件与概率随机事件与概率一、随机试验随机现象在个别试验中呈现不确定的结果,而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象.这种规律性称为统计规律性.概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.为了研究随机现象的统计规律性,就要对客观事物进行观察,这个过程叫做试验.概率论所讨论的试验称为随机试验,它具有以下三个特点:

在相同的条件下试验可以重复进行;01OPTION02OPTION03OPTION每次试验的结果不止一个,但是试验之前可以明确;每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.5第第1章章随机事件与概率随机事件与概率一、随机试验例1抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；随机试验的例子45321抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；某快餐店一天内接到的订单量；航班起飞延误的时间；一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。

6第第1章章随机事件与概率随机事件与概率二、样本空间一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为全体样本点的集合称为样本空间,记为,也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成的集合,集合中的元素就是样本点.样本空间可以是有限集,可数集,一个区间（或若干区间的并集）.7第第1章章随机事件与概率随机事件与概率二、样本空间在前面的例子中:

抛掷一枚均匀硬币的样本空间某快餐店一天内接到的订单量的样本空间0,1,2,3,.航班起飞延误时间的样本空间t:

t0.01OPTION02OPTION03OPTION正、反正、反8同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.用大写字母A,B,C等来表示随机事件.从集合的角度:

一个随机试验所对应的样本空间的子集称为一个随机事件.三、随机事件9同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率仅含一个样本点的随机事件称为基本事件基本事件.三、随机事件包含所有的样本点,因此每次试验中必有每次试验中一定发生的事件称为必然事件必然事件.中的一个样本点出现,故是必然事件.中不包含任何样本点,因此是不可每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件不可能事件.空集能事件.01OPTION在事件的定义中，注意以下几个概念：

任一随机事件A是样本空间的一个子集。

02OPTION03OPTION不属于该当试验的结果属于该子集时，就说事件A发生了。

相反地，如果试验结果子集，就说事件A没有发生。

04OPTION05OPTION10同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率三、随机事件例2随机事件A=“出现6点”=6；随机事件B=“出现偶数点”=2,4,6；1,2,6=，即一定会发生的必然事件；随机事件C=“出现的点数不超过6”随机事件D=“出现的点数超过6”=，即一定不会发生的不可能事件。

抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为1,2,611同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率四、随机事件之间的关系与运算

（1）事件的包含若事件A的发生必然导致事件B的发生,则称事件A包含在事件B中.ABAB记作AB.12同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率1、随机事件之间的关系（3）互不相容事件如果事件A与B不可能同时发生，即没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容（互斥）.

（2）事件的相等若事件A的发生必然导致事件B的发生,且事件B的发生必然导致事件A的发生,则称事件A与事件B相等。

记作A=B.13同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率2、随机事件之间的运算

（1）事件的并事件A或B至少有一个发生时,称事件A与事件B的并事件发生,记为AB.

（2）事件的交（积）事件A及事件B同时发生时,称事件A与事件B的交事件发生,记为AB.AB事件的并AB事件的交14同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率2、随机事件之间的运算（3）事件的差（4）对立事件ABAA事件A发生且事件B不发生,称事件A与事件B的差事件发生,记为AB.事件A称为事件A的对立事件（逆、余）,记为A.15同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率2、随机事件之间的运算从随机事件间的关系和运算可以看出，123AA，但互对立事件一定是互不相容的事件，即不相容事件不一定是对立事件；与不可能事件互为对立=必然事件事件，即，.根据差事件和对立事件的定义，事件A与B的差还可以表示成为AB=AB；16同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率3、事件的运算性质交换律ABBA,ABBA;结合律ABCABC;ABCABC,分配律ABCACBC;ABCACBC,对偶律ABAB,ABAB.177至多二个事件出现（记为E7）.同济大学数学系&人民邮电出版社E7ABCABC.第第1章章随机事件与概率随机事件与概率3、事件的运算性质例3用事件A,B,C的运算关系式表示下列事件，则：

123456EABC1；E2ABC；E3A出现，B,C都不出现（记为E1）；所有三个事件都出现（记为E2）；三个事件都不出现（记为E3）；三个事件中至少有一个出现（记为E4）；E4三个事件中至少有两个出现（记为E5）；E5ABC；ABC；ABACBC；E6ABCABCABCABC；至多一个事件出现（记为E6）；18第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents随机事件及其运算1.11.2概率的定义及其性质1.31.41.5等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式19同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率公理1非负性公理2规范性PA1A2AnPAi,i11.2概率的定义及其性质给定一个随机试验,与之对应,且满足如下公理：

为相应的样本空间,对每一个事件A,规定一个实数P（A）有公理3可列可加性P（A）0；P（）1；即对任意一列两两互不相容事件A1,A2.An.则称P（A）为事件A的概率概率.20同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.i1AnPAi.PA1A21.2概率的定义及其性质P（）0PA1PA,性性质质1性性质质2有限可加性设A1,A2.An.为两两互不相容事件,则有nPBPA.性性质质4若AB则PBA性性质质3对任意事件A有21同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率.PBPAB.性质5设A,B为任意两个事件,则PABPAPAB性质6设A,B为任意两个事件,则PABPA1.2概率的定义及其性质性质7称为加法公式,该公式可以推广到多个事件上.三个事件的加法公式为:

PAUBUCPAPBPCPABPACPBCPABC.22同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率0PA0.2,PB0.3,PC0.4,PABPBC=PAC0.1,则，A,B,C至少发生一个的概率是多少？

1.2概率的定义及其性质例4已知三个随机事件已知三个随机事件A,B,C满满足足23第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents随机事件及其运算1.11.2概率的定义及其性质1.31.41.5等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式24第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概型中的数值加以刻划.这个数值称为概0;P0PA1.随机事件发生的可能性的大小常用区间0,1率,记为PA.规定:

P1;25第第1章章随机事件与概率随机事件与概率一、古典概型古典概型的基本思路:

随机随机试验试验的的样样本空本空间间只有有限个只有有限个样样本点；本点；每次每次试验试验中各个中各个样样本点本点发发生的可能性相等生的可能性相等.AB=nAPAnA中所含样本点的个数中所含样本点的个数记n为样本点总数,nA为事件A所包含的样本点个数，则事件A的概率为26同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率解而总取法数（即样本点总数）为nn1n2Lnk1,一、古典概型例4（抽（抽奖问题奖问题）某公司年会抽奖,共有n张奖券,求第k位员工中奖的概率（1k其中只有一张有奖.每位员工可抽取一张.n）.不放回情形中，第k个员工抽到有奖券意味着前k相应的取法个数为1个员工均没有抽到,*1,n1n2.nk127同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率这个结果和次序无关.因此,所求概率为Pn1n2.nk1*1nn1n2.nk11n一、古典概型28同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率.PAmAm二、几何概型是古典概型的推广,保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间是某个区域（直线、平面或空间）.则事件A的概率为这里m分别表示长度、面积或体积.29第第1章章随机事件与概率随机事件与概率6010xy1010xyDxy60二、几何概型例5碰面碰面问题问题甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.解设甲到达咖啡屋的时间为x,乙到达0,60,两人能碰面时间为y，则x,ym（D）60250211Pm（）60236的事件所对应的区域为右图中带形区域所求概率为同济大学数学系&人民邮电出版社30第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents随机事件及其运算1.11.2概率的定义及其性质1.31.41.5等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式31第第1章章随机事件与概率随机事件与概率目目录录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性32同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率一、条件概率定义1给定一个随机试验,是它的样本空间,0,任意两个事件A,B,其中P（B）称P（BA）P（AB）P（A）为已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概条件概率率.33同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质,即:

（1）公理1非非负负性性

（2）公理2规规范性范性（3）公理3对可列无限个两两不相容事件可列可加性可列可加性一、条件概率P（BA）0;P（B）1;i1i1Ai（i1,2,.）,PAiBPAiB34同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率相仿可以得到如下性质:

等类似七条性质.一、条件概率PAB1PAB;以及PABCPACPABC;35同济大学数学系&人民邮电出版社第第1章章随机事件与概率随机事件与概率变形后有0）时,0（或P（B）由条件概率公式:

当P（A）有PBAPABPA或PABPABPBPABPAPBA或