双曲线教学设计.docx

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双曲线教学设计

双曲线教学设计

双曲线教学设计1

　　一、教材分析：

　　《双曲线及其标准方程》是全日制平凡高级中学教科书（人教A版）选修2-1第二章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。

双曲线是三种圆锥曲线中最简单的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，通过对比椭圆学问来学习，降低难度，便于学生学习把握。

教材为《双曲线及其标准方程》安排两课时内容，本文是第一课时，本课的主要内容是：

（1）探求轨迹（双曲线）；

（2）学习双曲线定义；（3）推导双曲线标准方程；

　　二、教学目标：

　　1、认知目标：

把握双曲线的定义、标准方程，了解双曲线及相关概念；

　　2、能力目标：

通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力，通过学问的再现培养学生的创新能力和创新意识。

　　3、情感目标：

让学生体会学问产生的全过程，体会解析法的思想。

通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣．

　　三、教学重难点

　　重点：

双曲线中a,b,c之间的关系。

　　难点：

双曲线的标准方程，双曲线及其标准方程的探求；领悟解析法思想．

　　四、教学方式：

　　多媒体演示，小组讨论。

　　五、教学预备：

　　多媒体课件，

　　六、教学设想：

　　1通过师生的相互“协作”，以提问的形式完成本堂课

　　七、教学过程：

　　环节内容教学双边活动设计意图复习问题

　　问题1：

椭圆的定义是什么？

（哪几个关键点）问题2：

椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：

如何作椭圆？

　　问题4：

性质：

学生回顾，老师补充纠正回顾椭圆学习过程，本身具有复习提高价值．此处侧重于类比研究椭圆的思想和方法，期望在双曲线学习中有一种方法引领。

　　引入新课:

到两个定点的距离差为定值的动点轨迹？

过渡

　　探求轨迹问题：

我们用什么方法来探求（画出）轨迹图形？

用几何画板演示拉链的轨迹：

同样的，也有设问：

①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？

请学生回答：

不能．指出必需“在平面内”．②动点M到定点A与B两点的距离的差有什么关系？

请学生回答，M到A与B的距离的差的肯定值相等，否则只表示双曲线的一支，即是一个常数．③这个常是否会大于或者等｜AB｜？

请学生回答，应小于｜AB｜且大于零．当常数2a=｜AB｜时，轨迹是以A、B为端点的两条射线；当常数2a>｜AB｜时，无轨迹．小组讨论试验演示提问通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题。

让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考的能力。

　　感受曲线，解读定义:

　　演示得到的图形是双曲线（一部分）；归纳双曲线的定义：

平面内，到两个定点的距离的差的肯定值为常数（小于两定点距离）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

数学简记：

学生读课本并分析其中的关键点通过阅读和关键点分析，让学生学会读书，学会分析书，从而理解书。

　　推导方程，认识特性:

　　2

（1）建系以两定点所在直线为x轴，其中点为原点，建立直角坐标系xOy设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则设点M与A、B的距离的差的肯定值等于常数。

（2）点的集合由定义可知，双曲线上点的集合满意｜｜MA｜-｜MB｜｜=2a（3）利用坐标关系化代数方程

　　（4）化简方程

　　（5）双曲线的标准方程：

方程形式：

焦点在x轴上：

焦点在y轴上：

焦点的中点在原点（中心在原点）

　　（6）数量特征：

（2a）——（实轴长）,（2c）——（焦距）指出:

a,b,c的含义.注:

（1）双曲线方程中，a不肯定大于b；

（2）假如x的系数是正的，那么焦点在x轴上，假如y的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.（3）双曲线标准方程中a,b,c的关系不同于椭圆方程．

　　交流：

建系的任意性与合理性由一位学生上黑板演示，老师巡视，通过对双曲线方程的化简，提高学生的演算能力。

可留意大部分学生写得是否正确。

类比椭圆，认识共同点，辨别不同。

　　应用方程，体验思想:

　　例1：

说明：

椭圆与双曲线的焦点相同．

　　例2：

求到两定点A、B的距离的差的肯定值为6的点的轨迹方程？

假如把上面的6改为10，其他条件不变，会消失什么情况？

假如改为12呢？

老师分析，由学生分析，老师板书及补充。

可以进一步巩固理解双曲线的定义。

　　回顾过程，归纳小结双曲线定义的要点，标准方程的形式

　　课后练习书本习题

　　八、自我教学评价

　　在教学过程中注重学问，能力的融合，努力挖掘内容的本质和联系，以学生3为主体，沿着学生的思维方向一步步引入新学问，顺利完成学问的吸纳，利用多媒体演示过程，能给学生一种形象上的汲取，寓思想于教学中。

　　九、教学反思和回顾

　　在整个教学中，利用类比椭圆方程定义的形成过程自然进入双曲线定义的教学状态中，并采取多提问的形式，让每个学生思考问题，回答问题，给他们思考的空间，培养他们思索的习惯，让学生与老师互动，交流探讨学习过程中的问题，可以充分提高学生的学习主动性与他们的自信念，在今后的教学中，我要更多的让学生来演示，充分发挥学生的主体作用,让学生真正体会学问的形成过程。

双曲线教学设计2

　　双曲线及其标准方程

　　一、学习目标：

　　【学问与技能】:

　　1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这肯定义及其标准方程的探究推导过程.

　　2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.

　　【过程与方法】:

　　通过“试验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】:

通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中到处有数学.

　　二、学情分析：

　　1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和把握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

　　2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的乐观性,增加学习的主动性.

　　三、重点难点：

　　教学重点:

双曲线的定义、标准方程

　　教学难点:

双曲线定义中关于肯定值,2a

　　四、教学过程：

　　【导入】

　　1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；

　　2、观察生活中的双曲线；

　　【设计意图:

让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一

　　活动1：

类比椭圆的学习，思考：

　　研究双曲线，应当研究什么？

怎么研究？

　　从而把握本节课的主线：

试验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：

数学试验：

（1）取一条拉链，拉开它的一部分，

（2）在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2上，

　　（3）把笔尖放在拉头点M处，随着拉链渐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。

　　（4）若拉链上被固定的两点互换，则消失什么情况？

　　学生活动:

六人一组，进行试验，展示试验成果：

　　【设计意图:

学生亲自操作，加深对双曲线的了解，培养小组合作精神.】

　　学生试验可能消失的情况:

画出双曲线的居多，但还是有画出中垂线，或者两条射线的可能，学生展示，小组同学解释，为什么会消失这种情况？

　　【设计意图:

让学生在“试验”、“思考”等活动中,自己发觉问题、提出问题】活动三：

几何画板演示，得到双曲线的定义：

老师演示，学生思考：

　　引导学生结合试验分析，得出双曲线上的点满意的条件，给出双曲线的定义

　　双曲线：

　　平面内到两定点的距离的距离的差的肯定值等于定长2a（小于两定点F1F2的距离）的点的轨迹叫做双曲线。

　　两定点F1F2叫做双曲线的焦点

　　两点间F1F2的距离叫做焦距

　　在双曲线定义中,请同学们思考下面问题:

1:

联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?

为什么?

2:

若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?

又2a>2c呢?

强调：

2a大于|F1F2｜时轨迹不存在2a等于|F1F2｜时，时两条射线。

　　所以,轨迹为双曲线,必需限制2a

　　活动四：

探究双曲线标准方程：

　　1、类比:

类比椭圆标准方程的建立过程（用屏幕显示图形）,让学生专心捉摸坐标系的位置特点（力求使其方程形式最简洁）.

　　2、合作:

师生合作共同推导双曲线的标准方程.（学生推导,然后老师归纳）按下列四步骤进行:

建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.双曲线标准方程:

焦点在x轴上（a>0,b>0）

　　3、探究:

在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

　　222在y轴上（a>0,b>0）其中:

c=a+b活动五：

归纳、总结

　　活动六：

典例分析

　　例1：

已知双曲线的两个焦点分别为F1（-5,0）,F2（5,0）,双曲线上的点P到F1、F2距离差的肯定值等于6,求双曲线标准方程.变式

（1）:

已知双曲线的两个焦点分别为F1（-5,0）,F2（5,0）,双曲线上的点P到F1、F2距离差等于6,求双曲线标准方程.变式

（2）:

若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何?

感悟:

①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:

待定系数法.（若焦点不定,则要留意分类讨论的思想.）

　　【设计意图:

教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深化发展,数学思想才能变得更加清楚】

　　活动七：

小结

　　1.本节课学习的主要学问是什么?

2.本节课涉及到了哪些数学思想方法?

课后作业：

　　必做题:

课本55页练习2,3

　　选做题：

课本61页习题A组2

双曲线教学设计3

　　一、教学目标

（一）学问教学点

　　使学生理解并把握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能详细估量双曲线的样子特征。

（二）能力训练点

　　在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

　　（三）学科渗透点

　　使学生进一步把握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题。

　　二、教材分析

　　1、重点：

双曲线的几何性质及初步运用。

　　（解决办法：

引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明。

）

　　2、难点：

双曲线的渐近线方程的导出和论证。

　　（解决办法：

先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的.矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线。

）

　　3、疑点：

双曲线的渐近线的证明。

　　（解决办法：

通过具体讲解。

）

　　三、活动设计

　　提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结。

　　四、教学过程

（一）复习提问引入新课

　　1、椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

　　请一同学回答。

应为：

范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的。

　　2、双曲线的两种标准方程是什么？

　　再请一同学回答。

应为：

中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标

　　下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质。

（二）类比联想得出性质（性质1～3）

　　引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格（让学生回答，老师引导、启发、订正并板书）。

　　（三）问题之中导出渐近线（性质4）

　　在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估量仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？

这个矩形对于估量和画出双曲线简图（图2—26）有什么指导意义？

这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想。

　　接着再提出问题：

当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

　　下面，我们来证明它：

　　双曲线在第一象限的部分可写成：

　　当x渐渐增大时，|MN|渐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方渐渐接近于射线ON。

　　在其他象限内也可以证明类似的情况。

　　现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？

由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字。

　　这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精，再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线。

　　（四）顺其自然介绍离心率（性质5）

　　由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就简单把握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的样子的影响：

　　变得开阔，从而得出：

双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。

　　这时，老师指出：

焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的转变而转变。

　　（五）练习与例题

　　1、求双曲线9y2—16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

　　请一学生演板，其他同学练习，老师巡视，练习毕予以订正。

　　由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3。

　　焦点坐标是（0，—5），（0，5）。

　　本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结。

　　解：

设d是点M到直线l的距离，依据题意，所求轨迹就是集合：

　　化简得：

（c2—a2）x2—a2y2=a2（c2—a2）。

　　这就是双曲线的标准方程。

　　由此例不难归纳出双曲线的第二定义。

　　（六）双曲线的第二定义

　　1、定义（由学生归纳给出）

　　平面内点M与肯定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。

　　2、说明

　　（七）小结（由学生课后完成）

　　将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结。

　　五、布置作业

　　1、已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程。

（1）16x2—9y2=144；

（2）16x2—9y2=—144。

　　2、求双曲线的标准方程：

（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

　　曲线的方程。

　　点到两准线及右焦点的距离。

　　作业答案：

　　距离为7

双曲线教学设计4

　　【学习目标】

　　1、把握双曲线的定义、几何图形和标准方程；

　　2、知道它的简洁几何性质。

　　【自主学习】

　　1．双曲线的定义

（1）平面内与两定点F1，F2的常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．

　　注：

①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．

　　②2a＞|F1F2|时，P点轨迹不存在．

　　2．双曲线的标准方程

（1）标准方程：

，焦点在轴上；

　　焦点在轴上．其中：

a0，b0，．

（2）双曲线的标准方程的统一形式：

　　3．双曲线的几何性质（对进行讨论）

（1）范围：

，．

（2）对称性：

对称轴方程为；对称中心为．

　　（3）顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．

　　（4）离心率=，且，

　　【课前热身】：

　　1、已知双曲线的离心率为2，焦点是（—4，0），（4，0），则双曲线方程为。

　　2、课标文数[20xx安徽卷]双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）

　　A．2B．22C．4D．42

　　3、课标文数[20xx江西卷]若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________

　　4、课标文数[20xx北京卷]已知双曲线x2－y2b2＝1（b＞0）的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________。

　　例题分析：

　　例1：

求符合下列条件的双曲线的标准方程

（1）经过点A（2，）、B（3，—2）

（2）经过点（3，），离心率e=。

　　例2．已知：

双曲线的方程是16x2－9y2＝144

（1）、求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐进线方程；

（2）、设F和F是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上且=32，

　　求FPF的大小。

　　【当堂检测】

　　1、过双曲线x2—y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是。

　　2、已知—=1的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，求双曲线的方程。

　　3、设F和F是双曲线x2－＝1的左右焦点，点P在双曲线上且3=4，求PFF的面积。

　　4、已知动圆M与圆C：

（+4）+=2外切，与圆C：

（—4）+=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

　　【小结