多边形内角和与外角和模型专题.docx
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多边形内角和与外角和模型专题
.多边形内角和与外角和模型专题
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多边形内角和与外角和专题训练（模型）
【模型一】“A字”模型
求证：
∠1+∠2=180°+∠A
证法一：
连接BC，利用“三角形内和为180°”.
证法二：
连接BC，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”.
证法三：
利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.
C
A
B
D
E
2
1
3
F
证法四：
延长EA至F，利用“多边形外角和为360°”.
【模型二】飞镖模型
求证：
∠A+∠B+∠C=∠D
证法一、
证明：
连接BC，
证法二、连接并延长AD，
证法三、连接并延长BD，交AC于点E,
【模型三】“8字”模型
求证：
∠A+∠B=∠C+∠D
证法一、利用“三角形内角和为180°”
证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”
A
B
C
D
O
1
注意：
“8字”模型的变式.
如图，∠1+∠2=∠C+∠D
【模型四】“五角星”模型
求证：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
【模型五】“角平分线”模型
1、两条内角平分线
已知：
如图，∠B、∠C的平分线BP、CP交于点P
求证：
∠BPC=90°+∠A
2、两条外角平分线
已知：
如图，∠CBE、∠BCF的平分线BP、CP交于点P
求证：
∠P=90°-∠A
3、一条内角平分线和一条外角平分线
已知：
如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P
求证：
∠P=∠A
【模型六】“高线角平分线”模型
求证：
∠DCE=（∠B-∠A）.（其中∠B>∠A）
【模型七】“折角”模型
求证：
∠1+∠2=2∠A
求证：
∠2-∠1=2∠A
求证：
∠1-∠2=2∠A
【直接运用】
在“填空题”、“选择题”的客观题型中，可以直接运用模型结论解题.注意结论的准确性.
1.☆如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则∠ACD=°
2.☆如图，∠1+∠2=260°，则∠A=°
3.☆如图，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，则∠D=°
4.☆如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，则∠BDC=°
5.☆如图，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，则∠A=°
6.☆如图，若∠A=40°，则∠P=°
7.☆如图，△ABC中，CD⊥AB，CE平分∠ACB，∠B=50°，∠A=20°,则∠DCE=°
8.☆如图，纸片△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C点落在△ABC内的C’处，则∠1+∠2=°
9.☆☆如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°
10.☆☆如图，∠A+∠B+∠C+∠D=°
11.☆☆如图，BE、CF交于点O，∠EOF=105°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°.
12.☆☆如图，∠ABD与∠ACB的角平分线相交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P=°.
【过程重现】
在“解答题”中，重现模型证明过程.注意方法的选择.
1.☆☆如图，在∠AMB的两边AM、BM上分别取点P、Q，在∠AMB内取一点N，连接PN、QN，探索∠PNQ、∠AMB、∠MPN、∠MQN之间的数量关系，并证明你的结论.
2.☆☆如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线PM、PN上，∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P.点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？
请说明你的理由.
3.☆☆如图，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于点O，CE平分∠DCG.若∠ACE=90°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由.
4.☆☆在△ABC中，内角∠ABC、∠ACB的平分线夹角为α，外角∠DBC、∠ECB的平分线夹角为β.
D
A
B
C
E
P
O
（1）若α=110°，则∠A=°，
（2）若∠A=40°，则β=°，
（3）猜想α与β之间的关系，并说明理由.
【探索新知】
在模型的基础上探索新知，或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程.
1.☆☆如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=°；
如图，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°；
如图，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.
2.☆☆
（1）如图
（1）,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠FJ=°；
（2）如图
（2），则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠HJ=°；
（3）如图（3），则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J=°.
3.☆☆☆已知：
如图，在△ABC中，BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线.
（1）当∠A=60°时，∠BO2C=°；
（2）探索∠BO1C与∠BO2C之间的数量关系，并证明你的结论.
4.☆☆☆已知：
如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E.
（1）若∠D=140°，∠E=110°，则∠A°；
（2）求证：
∠E=（∠A+∠D）
5.☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O，连接AD、BC，我们把形如图1的图形称为“8字形”.
（1）如图
（1），直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系；
（2）如图
（2），∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P，且分别与AB、CD交于点M、N，∠D=46°，∠B=30°.先观察图中还有哪些“8字形”，再利用
（1）的结论求∠P的度数；
（3）在
（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P的度数（用含有α、β的式子表示）.
6.☆☆☆☆如图，在△ABC中，将点A向下拖动，依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图
（1）、图
（2）、图（3）中∠EAD、∠B、∠C、∠D与∠E之间有什么数量关系？
7.☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O.将图
（1）中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可以得到图
（2）、图（3）、图（4）.分别探究图
（2）、图（3）、图（4）中∠A、∠B、∠C、∠D与∠AED之间有什么数量关系？
8.☆☆☆☆转化是数学中的重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化简单的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.
（1）请你根据学过的知识求出下面星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若将图
（1）中的星形截去一个角，如图
（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再将图
（2）中角进一步截去，如图
（2），你能由题
（2）中的方法或规律，猜想出图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数？
（直接写出结果，不需要写出解题过程）
（2）
（1）
10.☆☆☆☆☆如图，四边形ABCD中，内角∠ABC的角平分线与外角∠DCE的角平分线交于点F，且∠F为锐角.设∠A=α，∠D=β.
（1）如图，α+β>180°，试用α、β表示∠F；
（2）如图，α+β<180°，请在图中画出∠F，并试用α、β表示∠F；
（3）一定存在∠F吗？
如有，求出∠F的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠F.
9.☆☆☆☆☆如图，把三角形纸片ABC折叠，使3个顶点重合于点P，这时∠α+∠β+∠γ=°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.
如果三角形纸片ABC折叠后，3个顶点并不重合于点P（如图），那么
（1）中关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？
请说明理由.
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