第21届全国中学生物理竞赛预赛题试题参照模板.docx
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第21届全国中学生物理竞赛预赛题试题参照模板
第21届全国中学生物理竞赛预赛题试题
一、（15分）填空
1.a.原子大小的数量级为m.
b.原子核大小的数量级为in.
c.氮原子的质量约为kg.
d.一个可见光光子的能量的数量级为J.
e.在标准状态下，Icn?
气体中的分子数约为.
（普朗克常量Λ=6.63×10wJs阿伏伽徳罗常呈：
NA=6.02×IO23mol^1）
2.已知某个平而镜反射的光能量为入射光能量的80%.试判断下列说法是否正确，并简述理由.
a.反射光子数为入射光子数的80%；
b・每个反射光子的能量是入射光子能量的80%.
二（15分）质量分别为Z和加2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角«=30。
的光滑斜而顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜而固左在水平桌而上，如图所示.第一次,仙悬空，加2放在斜而上，用『表示加自斜而底端由静止开始运动至斜而顶端所需的时间.第二次，将心和加2位置互换，使加2悬空，仙放在斜而上，发现初自斜面底端由静止开始运动至斜而顶端所需的时间为//3・求m与加2之比.
3.（15分）测泄电子荷质比（电荷g与质量加之比§加）的实验装宜如图所示•真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极A与阴极K之间的髙电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域.若两极板C.D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点：
若在两极板间加上电压U则离开极板区域的电子
将打在荧光屏上的P点：
若再在极板间加一方向垂直于纸而向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点•现已知极板的长度Z=5.00cnκC、D间的距离d=1.50CnK极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为Δ=1150cm,t∕=200V,P点到O点的距离y=OP=3.0Cm,B=6.3X10」T・试求电子的荷质比.（不计重力影响）・
四、（15分）要使一颗人适地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应左位在哪个经度范围内的上空？
地球半径RO=6.37X106m.地球表面处的重力加速度g=9.80m∕s2.
五、（15分）如图所示，两条平行的长宜金属细导轨KL、PQ固泄于同一水平而内，它们之间的距离为/,电阻可忽略不计；ab和Cd是两根质量皆为加的金属细杆,杆与导轨垂直,且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动.两杆的电阻皆为E杆Cd的中点系一轻绳,绳的另一端绕过轻的左滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆Cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行.导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B∙现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及Cd杆的速度分別达到◎和◎时，两杆加速度的大小各为多少？
九、（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计.在动滑轮D上，悬挂有袪码托盘A,跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有舷码2和
3.
—根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放苣在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有祛码1（两者未粘连）.已知三个祛码和袪码托盘的质虽都是川，弹簧的劲度系数为匕压缩疑为∕u,整个系统处在静止状态.现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动磁码1向上运动，直到狂码1与弹簧分离.假设祛码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰.求磁码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间.
参考解答
一、1.a.1010
b.IO'15
c.6.6×10^27
d・IO'19
c・2.7×1019
2.a正确，b不正确.理由：
反射时光频率W不变，这表明每个光子能量加不变.评分标准：
本题15分.第1问10分，每一空2分.第2问5分，其中结论占2分，理由占3分.
二.第一次，小物块受力情况如图所示，设门为绳中张力,两物块加速度的大小，/为斜而长，则有
I12
W
设绳中张力为门，两物块加速度的大小为则有
第二次，仙与加2交换位置・
T2—ZnI^SmCI=mia2
由
（1）、⑵式注意到α=30o得
由（4）、（5）式注意到α=30o得
由（3）、⑹式得
由（7）.⑻、⑼式可解得
2m2—m↑
2（7?
II+m2）
.f1
ml11
⑸
⑹
（7）
⑻
⑼
（10）
评分标准
本题15分，
（1）、
（2）、（3）、（4）、（5）.（6）式齐2分，求得（10）式再给3分
三.设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为％,因为速度方向平行于电容器的极
板，通过长度为/的极板区域所需的时间
t∖=“％
（1）
当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为作用于电子的静电力的大小为gE方向
垂直于极板由C指向D,电子的加速度
3
In
EE
d
因电子在垂直于极板方向的初速度为0,因而在时间η内垂直于极板方向的位移
1,
”=2αrι
电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度
设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为“
心=（厶一/∕2）∕υ0
在“时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移
y2=vvf
（7）
P点离开O点的距禽等于电子在垂直于极板方向的总位移
J=Vi+>,2
由以上各式得电子的荷质比为
q_VyV
mUlL
加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点.表示在电子通过平行板电容器的过程中电
子所受电场力与磁场力相等，即
qE=qV°B
（10）
注意到（3）式，可得电子射入平行板电容器的速度
U
（H）
代入⑼式得
代入有关数据求得
-^=I.6×10,lσkg（13）
In
评分标准
本题15分.
（1）、
（2）、（3）、⑷、（5）、（6人（7）、（8）式各1分,（10）式3分，（12）、
（13）式各2分.
四、如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R表示卫星运动轨道的半径.由万有引力泄律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可得
厂J2π√小
~Rr=[Y,（I）
式中M为地球质量，G为引力常⅛,m为卫星质量.
另有
GM=Rh
（2）
由图可知
RCOSθ=（3）
由以上各式，可解得
θ=arccos
'4兀吹J
TIg
取T=23小时56分4秒（或近似取T=24小时），代入数值，可得
（5）
&=81・3。
由此可知，卫星的定位范围在东经135.0e-81.3°=53.7°到75.0°+81.3°=156.3°之间的上空.
评分标准
本题15分.
（1）、
（2）、（3）式各2分，⑷、（5）式共2分，得出最后结论再给7分.
五、用E和/分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆立律可知
（1）
E=Bl（VI-q）
E
IR
令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则
F=IBl（3）
令⑵和“2分别表示ab杆、Cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知
F=mal（4）
（7）
⑻
由以上各式解得
2Rm
2MfiR-B2l2（v2-Vl）
2（M+m）R
评分标准
本题15分.
（1）式3分，
（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）.（6）式各1分，（7）、（8）式各2分.
由P发岀的与Po成Q角的另一光线PA^A处折射.设A处入射角为几折射角为门半径CA与Po的夹角为8IZ□⊂0YσJI□
（1）
⑵
⑶
θ=i+a在△/¾c中，由正弦泄理，有
RPC
SinaSini考虑近轴光线成像，冰i、,•都是小角度，则有
由
（2）、（4）、（5）式、加、,小R的数值及花=Pd-Cd=4.SCm,可得
θ=∖3∖i（6）
r=1.56/（7）
⅛（6）（7）式有
r>θ（8）
由上式及图1可知，折射线将与Po延长线相交于P,P即为P点的实像.画面将成实像于P处.
在厶CAPf中，由正弦泄理有
RCr
SinPSinY
又有r=θ+β
考虑到是近轴光线，由（9）、（10）式可得
=—/?
r_e
又有
⑼
（10）
（H）
由以上各式并代入数据，可得
OP=CP-R
（12）
OPt=7.9Cm
（13）
由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9Cm处.已知O到杯口平面的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物.
2.斟酒后，杯底凸球而两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为山和“2,如图2所示，考虑到近轴光线有
（14）
代入m和小的值，可得
/-=1.16/（15）
与（6）TMZ,可知
r<θ（16）
图2
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P,P即为P点的虚像.画而将成虚穿
于P处.计算可得I
CPf=^-R/（17）
又有
OPi=CP,+R
由以上各式并代入数据得
丽=13Cm
（19）
由此可见，斟洒后画片上景物成虚像于P处,距O点13cm.即距杯口21cm.虽然该虚像还要因酒液平表而的折射而向杯口处拉近一泄距禽，但仍然离杯口处足够远，所以人眼
在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像.
评分标准：
本题15分.求得（13）式给5分，说明“看不岀”再给2分：
求出（19）式，给5分,说明“看到”再给3分.
七、由题设条件知，若从地而参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为％，B沿水平方向运动，设其速度为如.若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗而内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为Va.杆相对地而的速度是杆相对碗的速度与碗相对地而的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示.由图得
VrAeOSe=VB
因而
UB=DACOte
由能量守恒
I9I7
mA^RCOsθ=-InAV^+-/?
/Bυθ
22
VASino=VA
由（3）、（4）两式及WB=2mA得
⑴
⑵
⑶
⑷
=Sinθ
/2MCOSe
∖,T+cos77
QB=COSθ
2gRCOSθ
1+cos2
评分标准：
本题（15）分.
（1）、
（2）式各3分，（4〉式5分，（5）.（6）两式各2分.
8.设B∙C右方无穷组合电路的等效电阻为RBc，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路.B.C右方的电路又可简化为图2的电路，英中∕?
XL是虚线右方电路的等效电阻・由于BSC'右方的电路与B.C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有
RBe=RBC（I）
由电阻串、并联公式可得
R小呼⑵
由式
（1）、
（2）两式得
解得
RHC=2.0Ω
图1所示回路中的电流为
电流沿顺时针方向。
设电路中三个电容器的电容分别为0、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为0、02和03,极性如图3所示.由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即
Cl+03-C2=O
即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为I.3×10"4C.
评分标准：
本题17分・求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式齐2分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分.
九、设从烧断线到狂码1与弹•簧分离经历的时\
间为心，在这段时间内，各誌码和舷码托盘的受∏-力情况如图1所示：
图中，F表示如时间内任LTJ意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的Jmfi
轻绳中的张力，〃农为重力，几为悬挂托盘的绳的拉力.因D的质量忽略不讣，有
（7）
（10）
舷码1与弹簧分开后，舷码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为小有
狂码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以"表示加速度的大小，有
（H）
在时间心内任一时刻，袪码1向上运动，托盘向下运动，磁码2、3则向上升起，但祛码2、3与托盘速度的大小是相同的.设在確码1与弹簧分离的时刻，琏码1的速度大小为3,袪码2、3与托盘速度的大小都是由动量左理，有
IT-Img=mV
IF+1啊一ITQ=mvI
式中爪心、It、伉分别代表力氏吨、T、G在时间内冲量的大小。
注意到式
（1）,
由
（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得
1
・3
在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与柱码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动.以
表示在4时间内弹簧上端向上运动的距离，占2表示其下端向下运动的距离.由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为袪码1的速度的1/3,故有
Δ∕9=-Δ∕1
・31
另有
Δ/]+Δ∕2=∕0
在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加,即有
-kl^=-mv;+3×-nw∖+/h^Δ∕∣一/z^∆∕2+2mgN?
222
由（7）、（8）、（9）、（10）式得
mg一T=ma
（14）
To_mg=ma
（15）
T.=2T
（16）
由（14）、（15）和（16）式得
1
托盘的加速度向上，初速度S向下，设经历时间f2,托盘速度变为零，有
J=皿2
由（7）、（12）、（17）和（18）式,得
8
即琏码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等•由对称性可知，当柱码回到分离位置时,托盘亦回到分离位置，即再经历"，磁码与弹簧相遇.题中要求的时间
'总=7
由（11）、（12）、（20）式得
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
评分标准：
本题18分•求得（7）式给5分，求得（11）式给5分，（17）.（19）、（20）、（21）式各2分.
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