初二数学平行线难题训练.docx

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初二数学平行线难题训练

初二数学平行线难题训练

　一．选择题（共1小题）

1．（2014春•山西校级期中）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）

A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不对

　二．解答题（共28小题）

2．（2015•六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．

3．（2014春•宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．

（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=______．

（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α．

①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．

②问∠DBA的大小是否发生改变？

若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．

（3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：

“∠ACB=β”，其它条件不变，那么∠DBA=______．（直接写出结果，不必证明）

4．（2014春•雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．

（1）求证：

∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数．

（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？

如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．

5．如图所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．

6．

（1）如图①，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？

为什么？

（2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？

为什么？

7．（2016春•平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

8．（2016春•滑县期中）如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．

①结论：

（1）______

（2）______

（3）______

（4）______

②选择结论______，说明理由．

9．（2016春•威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为______；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：

∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在

（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

10．（2015秋•渠县期末）如图，AB∥CD，∠CDE=121°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=140°，求∠F的度数．

11．（2015春•武安市期末）探索：

小明和小亮在研究一个数学问题：

已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．

发现：

在图1中，小明和小亮都发现：

∠APC=∠A+∠C；

小明是这样证明的：

过点P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A（______）

∵PQ∥AB，AB∥CD．

∴PQ∥CD（______）

∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

小亮是这样证明的：

过点作PQ∥AB∥CD．

∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是______．

应用：

在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为______；

在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为______；

拓展：

在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

12．（2015春•江西校级期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．

（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：

∠BAE=∠BEA．

（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．

①求证：

∠ABC=∠ADC；

②求∠CED的度数．

13．（2015秋•连云港校级月考）探究题：

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？

简要说明理由．

（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？

直接写出结论．

（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？

直接写出结论．

（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？

直接写出结论．

14．（2015秋•连云港校级月考）如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？

为什么？

15．（2015秋•连云港校级月考）

（1）根据下列叙述填依据：

已知：

如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．

解：

因为∠B+∠BFE=180°

所以AB∥EF（______　）

因为AB∥CD（______　）

所以CD∥EF（______　）

所以∠CDF+∠DFE=180°（______　）

所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°

（2）根据以上解答进行探索，如图②，AB∥EF，∠BDF与∠B、∠F有何数量关系

（3）你能探索处图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B、∠F的数量关系吗？

请写出来．

16．（2014春•路北区期末）已知直线AB∥CD，

（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是______．

（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是______．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？

请说明理由．

17．（2014春•滨湖区期末）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．

（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；

（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．

18．（2014春•龙岗区校级期中）如图：

已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．

19．（2013春•萧山区期末）如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．

（1）试说明AB∥OC的理由；

（2）试求∠BOE的度数；

（3）平移线段AB；

①试问∠OBC：

∠ODC的值是否会发生变化？

若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．

②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．

20．（2012春•泸州期中）如图，AB∥CD，点M是线段EF上一点，若点N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）

（1）当点N在射线FC上运动时，求证：

∠FMN+∠FNM=∠AEF；

（2）当点N在射线FD上运动时，猜想∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系？

并说明理由．

21．（2012春•北塘区校级期中）如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．

试判断CH和DF的位置关系并说明理由．

22．（2011秋•泉港区期末）如图，点A、B分别在直线CM、DN上，CM∥DN．

（1）如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD=______；

（2）如图2，点P1是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、BP1．求证：

∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°；

（3）如图3，点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、P1P2、P2B．试求∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数；

（4）若按以上规律，猜想并直接写出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD的度数（不必写出过程）．

23．（2011春•灌阳县期中）如图：

AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE与BC平行吗？

为什么？

24．（2011春•芗城区校级期中）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由．

已知：

如图，AD∥BC，AD平分∠EAC．

试说明：

∠B=∠C

解：

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠1=∠2（角平分线的定义）

∵AD∥BC（已知）

∴∠______=∠______（______）

∠______=∠______（______）

∴∠B=∠C．

25．（2009春•鄂州校级期中）如图∠EFC+∠BDC=180°，∠AED=∠ACB，则∠DEF=∠B，为什么？

26．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．求证：

AF∥CD，AB∥DE，BC∥EF．

27．已知，如图，直线AB∥CD，直线EF⊥AB，点M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．

（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；

（2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；

（3）若点M在直线CD轴上移动，∠MPN的大小是否发生变化？

如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．

28．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．

（1）求证：

∠AEP+∠CFP=∠EPF．

（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．

（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．

（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为______．（直接写结论）

29．已知：

直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．

（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．

初二数学平行线难题训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2014春•山西校级期中）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）

A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不对

【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．

【解答】解：

设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，

（1）两个角相等，则x=4x﹣30°，

解得x=10°，

4x﹣30°=4×10°﹣30°=10°；

（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）=180°，

解得x=42°，

4x﹣30°=4×42°﹣30°=138°．

所以这两个角是42°、138°或10°、10°．

以上答案都不对．

故选D．

【点评】本题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生容易忽视互补的情况而导致出错．

二．解答题（共28小题）

2．（2015•六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．

【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答．

【解答】解：

∵直线l1∥l2，

∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，

∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，

∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．

即S1=S2=S3．

【点评】本题考查了平行线之间的距离，解集本题本题的关键是明确两平行线间的距离相等．

3．（2014春•宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．

（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=　45°　．

（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α．

①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．

②问∠DBA的大小是否发生改变？

若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．

（3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：

“∠ACB=β”，其它条件不变，那么∠DBA=　β　．（直接写出结果，不必证明）

【分析】

（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAD=90°，然后求出∠BAC=45°，从而得到∠ABC=45°，再根据BD平分∠FBC求出∠DBC=90°，然后求解即可；

（2）①EF∥GH，得出∠2=∠3，进一步得出∠1=∠3，利用三角形的内角和得出∠EBC，利用平角的意义得出∠PBC；

②根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，再根据三角形的内角和定理表示出∠4，然后表示∠5，再利用平角等于180°列式表示出∠DBA整理即可得解．

（3）根据

（2）的结论计算即可得解．

【解答】解：

（1）∵EF∥GH，

∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°，

∵∠DAB=∠BAC，

∴∠BAC=45°，

∴∠ABC=45°，

∵BD平分∠FBC，

∴∠DBC=×180°=90°，

∴∠DBA=90°﹣45°=45°；

（2）如图，

①∵EF∥GH，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠2=α，

∴∠1=∠3=α，

∵∠ACB=90°，

∴∠EBC=90°﹣∠1﹣∠3=90°﹣2α，

∠PBC=（180°﹣∠EBC）=45°+α；

②设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，

∵EF∥GH，

∴∠2=∠3，

在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，

∵直线BD平分∠FBC，

∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，

∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），

=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，

=∠ACB，

=×90°，

=45°；

（3）由

（2）可知，

设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，

∵EF∥GH，

∴∠2=∠3，

在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，

∵直线BD平分∠FBC，

∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，

∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），

=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，

=∠ACB，

∠ACB=β时，

∠DBA=β．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

4．（2014春•雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．

（1）求证：

∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数．

（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？

如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．

【分析】

（1）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答；

（2）根据FD⊥AB，∠BGC=50°，得到∠DHG=40°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=50°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=100°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣100°=80°．

（3）不变，根据∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，即可解答．

【解答】解：

（1）如图1，

∵DE∥BC，

∴∠EDB+∠DBC=180°，

∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，

∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，

∴2∠FDC+2∠CDB=180°，

∴∠FDC+∠CDB=90°，

∴FD⊥BD，

∴∠DBF+DFB=90°．

（2）如图2，

∵∠BGC=50°，FD⊥BD，

∴∠DHG=40°，

∴∠FDC+∠HCD=40°，

∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，

∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，

∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=80°，

∴∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣80°=100°．

（3）不变，如图3，

∵∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，

∴==2．

【点评】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．

5．如图所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．

【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．

【解答】解：

在△ABD中，当BD为底时，设高为h，

在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，

∵AE∥BD，

∴h=h′，

∵△ABD的面积为12，BD=3，

∴h=8，

∴△ACE的面积为：

=28．

【点评】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是根据两平行线间的距离相等求出高．

6．

（1）如图①，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？

为什么？

（2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？

为什么？

【分析】

（1）△ABC和△A′BC的底边都为BC，由于平行线间的距离处处相等，所以△ABC和△A′BC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等．

（2）平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，由于平行线间的距离处处相等，所以平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D的高相等，即可解答．

【解答】解：

（1）相等；

∵L1∥L2，

∴L1，L2之间的距离是固定的，

∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等，

∴△ABC和△A′BC的面积相等；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴AD和BC之间的距离是固定的，

∵BC和B′C′在同一直线上，

∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D公共边AD边上的高相等，

∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D面积相等．

【点评】此题主要考查了平行线间的距离．解决本题的关键是明确平行线间的距离处处相等．

7．（2016春•平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．

【解答】证明：

（1）过P作PQ∥l1∥l2，

由两直线平行，内错角相等，可得：

∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；

∵∠3=∠QPE+∠QPF，

∴∠3=∠1+∠2．

（2）关系：

∠3=∠2﹣∠1；

过P作直线PQ∥l1∥l2，

则：

∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；

∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，

∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）关系：

∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

过P作PQ∥l1∥l2；

同

（1）可证得：

∠3=∠CEP+∠DFP；

∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，

∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，

即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．

8．（2016春•滑县期中）如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．

①结论：

（1）　∠APC+∠PAB+∠PCD=360°　

（2）　∠APC=∠PAB+∠PCD　

（3）　∠PCD=∠APC+∠PAB　

（4）　∠PAB=∠APC+∠PCD　

②选择结论　

（1）　，说明理由．

【分析】①

（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；

（2）过点P作l∥AB，则AB∥CD∥l，再根据两直线内错角相等即可解答；

（3）根据AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；

（4）根据AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根据∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性质进行解答；

②选择①中任意一个进行证明即可．

【解答】解：

①

（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，

∴∠1+∠PAB=180°，

∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（2）过点P作直线l∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE