《微积分》课程教学大纲.docx

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《微积分》课程教学大纲

《微积分》课程教学大纲

适用专业:

广告专业

执笔人：

陈美霞

审定人：

鲍远圣

系负责人：

张从军

南京财经大学应用数学系

《微积分》课程教学大纲

课程代码：

120019/120020

英文名：

Calculus

课程类别：

文化技能课

适用专业：

广告专业

前置课：

初等数学

后置课：

线性代数、概率论与数理统计、数学建模

学分：

7学分

课时：

129课时

主讲教师：

王小灵等

选定教材：

[1]龚德恩等.《经济数学基础（第一分册微积分）》[M]，成都:

四川人民出版社，2004.（04级使用）；[2]张从军、王育全、李辉、刘玉华.微积分[M].上海:

复旦大学出版社，2005.（05级使用）.

课程概述：

微积分是研究变量及其变化规律的科学，它具有丰富的内容和深刻的思想。

它为研究事物的发展变化提供了基本的数学基础和框架。

微积分在各种实际问题中有着广泛的应用。

《微积分》课程是高等财经院校中广告专业的一门重要的公共基础课，是后继专业基础课和专业课程的基础。

本课程以函数为主要研究对象，以极限分析为基本方法，系统地介绍了微积分的基本理论与基本方法，同时着重介绍了微积分在实际问题尤其在经济问题中的应用。

教学目的：

通过本课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本理论和基本方法。

培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力，为进一步学习其它数学课程和专业课程打好基础。

教学方法：

教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。

本大纲中少数内容在现行中学教学中已有要求，对此应本着复习、深化、提高的要求组织教学。

本课程应配备习题册等教学辅助用书。

本课程可根据需要安排课堂讨论与数学实验上机操作。

各章教学要求及教学要点

第一章函数

课时分配：

5课时

教学要求：

本章要求掌握函数的概念；了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征；了解反函数的概念并会求反函数；理解复合函数的概念并掌握将复合函数分解为简单函数的方法；理解基本初等函数的概念并熟练掌握基本初等函数的定义域、值域和基本性质；理解初等函数的概念；了解分段函数的概念；掌握常见的经济函数。

教学内容：

第一节实数

一、实数及其几何表示。

二、实数的绝对值及其性质。

三、区间与邻域的概念。

第二节函数的概念

一、常量与变量。

二、函数的概念及其表示法。

三、函数的定义域与值域的概念和计算。

四、分段函数的概念。

第三节函数的基本性质

函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的概念及其图形特征。

第四节复合函数与反函数

一、复合函数与反函数的概念。

二、复合函数的分解与反函数的求法。

第五节初等函数

一、基本初等函数的概念；基本初等函数的定义域、值域和基本性质；基本初等函数的图形。

二、初等函数的概念。

第六节简单的经济函数

需求函数与供给函数；总成本函数与平均成本函数；总收入函数；总利润函数。

第二章极限与连续

课时分配：

17课时

教学要求：

了解数列与函数极限的概念；理解无穷小量与无穷大量的概念；了解无穷小量与无穷大量的关系；掌握无穷小量的性质与无穷小量的比较；了解极限存在性定理；熟练掌握极限运算法则；熟练掌握两个重要极限；掌握求极限的基本方法；理解函数连续性的概念；理解函数间断的概念；了解函数间断点的分类；了解连续函数的性质；了解初等函数在其定义区间必连续的结论；了解闭区间上连续函数的性质；掌握用连续的定义讨论函数连续性的方法。

教学内容：

第一节数列的极限

一、数列的概念。

二、数列极限的概念及其几何意义。

第二节函数的极限

一、时，函数的极限。

二、时，函数的极限。

三、单侧极限及极限的其它类型;极限的几何意义；左、右极限与双侧极限的关系；时，函数的极限与时函数的极限关系。

第三节无穷小量与无穷大量

一、无穷小量的概念。

二、无穷小量的性质。

三、无穷小量的比较。

四、无穷大量的概念；无穷小量与无穷大量的关系。

第四节极限的性质与运算法则

一、极限的基本性质：

唯一性，有界性，保号性，不等式性。

二、极限的四则运算法则及其推论；运用极限的四则运算法则及其推论求极限。

第五节极限存在性定理与两个重要极限

一、极限存在性定理：

夹逼性定理，单调有界数列必有极限定理。

二、两个重要极限；运用两个重要极限求极限。

第六节函数的连续性

一、变量的改变量。

二、连续函数的概念；左连续与右连续的概念；连续与极限的关系。

三、函数的间断点及其分类。

四、连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性。

五、闭区间上连续函数的性质：

有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理。

第三章导数与微分

课时分配：

16课时

教学要求：

理解导数的概念；了解导数的几何意义；了解可导与连续的关系；熟练掌握基本初等函数的导数公式；熟练掌握导数的四则运算法则；掌握反函数的求导法则；熟练掌握复合函数的求导法则；掌握对数求导法与隐函数求导法；了解微分的概念及其几何意义；掌握可导与可微的关系；了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及简单函数的阶导数问题；掌握微分的基本公式与运算法则；掌握微分形式的不变性；熟练掌握求微分的方法；掌握经济函数的边际与弹性的概念及其计算。

教学内容：

第一节导数概念

一、引例:

变速直线运动的速度，平面直线的切线斜率。

二、导数的概念及其几何意义；左、右导数的概念；左、右导数与导数的关系。

三、可导与连续的关系。

第二节求导法则

一、导数的四则运算法则。

二、反函数的求导法则。

三、复合函数的求导法则。

四、基本初等函数的导数公式。

第三节隐函数的导数高阶导数

一、对数求导法。

二、隐函数求导法。

三、高阶导数的概念与计算。

第四节微分

一、微分的概念。

二、微分的几何意义；可导与可微的关系。

三、微分的基本公式与运算法则；微分形式的不变性；微分的计算。

四、微分在近似计算中的应用。

第五节导数的概念在经济学中的应用

一、边际与边际分析。

二、弹性与弹性分析。

三、边际与弹性在经济中的应用。

第四章中值定理与导数的应用

课时分配：

20课时

教学要求：

掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理；了解柯西中值定理；了解这些定理间的关系；会运用这些定理证明简单的证明题；熟练掌握罗必塔法则和各种未定式的定值方法；熟练掌握函数单调性的判别定理并会运用该定理判别函数的单调性；掌握极值的概念；熟练掌握极值的判别定理；熟练掌握求极值的方法；了解函数极值与最值的关系和区别；掌握求经济函数的最值问题的方法；掌握曲线凹凸性与拐点的概念；熟练掌握曲线凹凸性的判别定理；熟练掌握求曲线凹凸性与拐点的方法；掌握曲线渐近线的概念；熟练掌握求曲线渐近线的方法；了解函数作图的基本步骤和方法；会作简单函数的图形。

教学内容：

第一节中值定理

一、罗尔定理及其应用。

二、拉格朗日中值定理及其应用。

三、柯西中值定理及其应用。

第二节罗必塔法则

一、型的罗必塔法则。

二、型的罗必塔法则。

三、其它未定式的定值方法。

第三节函数单调性判别法

函数单调性判别定理及其应用。

第四节函数极值与最值

一、函数极值的概念；函数极值存在的必要条件与充分条件。

二、函数最值的概念及其求法；经济函数的最值问题。

第五节曲线的凸性、拐点与渐近线

一、曲线凹凸性与拐点的概念；曲线凹凸性的判别定理。

二、曲线渐近线的概念及其求法。

第六节函数作图

函数作图的基本步骤和方法。

第五章不定积分

课时分配：

17课时

教学要求：

理解原函数与不定积分的概念；了解不定积分的几何意义；掌握不定积分的基本性质；熟练掌握基本积分公式；熟练掌握计算不定积分的两种换元积分法和分部积分法；掌握简单的有理函数的积分。

教学内容：

第一节不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念。

二、不定积分的几何意义。

三、不定积分的基本性质。

第二节基本积分表

不定积分的基本积分公式；直接积分法。

第三节换元积分法

一、不定积分的第一换元法。

二、不定积分的第二换元法。

第四节分部积分法

不定积分的分部积分公式及其应用。

第五节有理函数的积分

一、真分式的分解。

二、简单的有理函数的积分。

第六章定积分

课时分配：

15课时

教学要求：

理解定积分的概念；了解定积分的几何意义；掌握定积分的基本性质；了解变上限积分函数的概念；掌握变上限积分函数的求导公式；熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）；熟练掌握计算定积分的两种换元积分法和分部积分法；掌握利用定积分求平面图形的面积公式和旋转体的体积公式；了解利用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积公式；掌握运用定积分求解简单的经济问题的方法；了解广义积分的概念；掌握广义积分收敛与发散的概念；掌握广义积分的计算方法；掌握广义积分、的敛散条件；了解函数的概念、基本性质和递推公式。

教学内容：

第一节定积分

一、曲边梯形的面积。

二、定积分的概念。

三、定积分的几何意义。

四、定积分的基本性质。

第二节微积分基本定理

一、变上限积分函数的概念；原函数存在性定理。

二、牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）。

第三节定积分的计算方法

一、定积分的第一换元法。

二、定积分的第二换元法。

三、定积分的分部积分法。

第四节定积分的应用

一、平面图形的面积。

二、立体的体积。

三、简单的经济问题的应用。

第五节广义积分

一、无穷限积分及其敛散性概念和计算。

二、瑕积分及其敛散性概念和计算。

三、函数的概念、基本性质和递推公式。

第七章多元函数微积分学

课时分配：

25课时

教学要求：

了解空间直角坐标系的相关概念；了解常见的空间曲面及其方程；了解平面区域的相关概念；掌握二元函数的概念；了解二元函数的几何意义；了解次齐次函数的概念；了解二元函数极限的概念；会求简单的二元函数极限；了解二元函数连续的概念；了解二元函数在闭区域上连续的相关性质；理解多元函数的偏导数与全微分的概念；了解偏导数的几何意义与经济意义；了解多元函数的可微、偏导数存在与连续的关系；熟练掌握求多元函数的偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数的偏导数与全微分的方法；掌握求二元隐函数的偏导数与全微分的方法；理解多元函数的高阶偏导数的概念；掌握求多元函数的高阶偏导数的方法；了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件；掌握求二元函数极值的方法；掌握求二元函数条件极值的拉格朗日乘子法；了解二元函数最值的概念；会求简单的二元函数的最值问题；掌握求二元经济函数最值问题的方法；了解二重积分的概念、几何意义；掌握二重积分的基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的方法。

教学内容：

第一节预备知识

一、空间直角坐标系的概念；空间直角坐标系中两点间的距离公式。

二、空间曲面及其方程；常见的空间曲面。

三、平面区域的概念。

第二节多元函数的概念

一、二元函数的概念与几何意义；次齐次函数的概念。

二、二元函数极限的概念。

三、二元函数连续的概念；二元函数在闭区域上连续的相关性质。

第三节偏导数与全微分

一、偏导数的概念；偏导数的几何意义与经济意义；偏导数的计算方法。

二、全微分的概念；多元函数的可微、偏导数存在与连续的关系；全微分的计算方法。

第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法

一、求多元复合函数偏导数法则；多元复合函数全微分形式的不变性。

二、