5、奇函数:
是f(-x)=-f(x),函数图象关于原点对称(若x0在其定义域内,则f(0)0);
偶函数:
是f(-x)=f(x),函数图象关于y轴对称。
6、指数幂的含义及其运算性质:
1)函数yax(a0且a1)叫做指数函数。
2)指数函数yax(a0,a1)当0a1为减函数,当a1为增函数;①arasars;②(ar)sars;③(ab)rarbr(a0,b0,r,sQ)。
3)
指数函数的图象和性质
0a1
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过定点(0,
1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
(5)x0,a1;
x
x0,0a1
(5)x0,0ax1;
x
x0,a1
7、对数函数的含义及其运算性质:
1)函数ylogax(a0,a1)叫对数函数。
2)对数函数ylogax(a0,a1)当0a1为减函数,当a1为增函数;①负数和零没有对数;②1的对数等于0:
loga10;③底真相同的对数等于1:
logaa1,
(3)对数的运算性质:
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么:
①logaMNlogaMlogaN;②logaMlogaMlogaN;③N
logaMnnlogaM(nR)。
4)换底公式:
logablogcb(a0且a1,c0且c1,b0)logca
(5)对数函数的图象和性质
a1
0a1
(1)定义域:
(0,+∞)
2)值域:
R
3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
4)
在(0,+∞)上是增函数(4)在(0,+∞)上是减函数
1
8、幂函数:
函数yx叫做幂函数(只考虑1,2,3,1,的图象)。
2
9、方程的根与函数的零点:
如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0这个c就是方程f(x)0的根。
【必修二】
一、直线平面简单的几何体
1、长方体的对角线长l2a2b2c2;正方体的对角线长l3a
2、球的体积公式:
v4 R3;球的表面积公式:
S4 R2
3
3、柱体、锥体、台体的体积公式:
V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);V锥体=1Sh(S为底面积,h为柱体高)3
1
V台体=1(S'+S'S+S)h(S',S分别为上、下底面积,h为台体高)3
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理:
(1)公理公理公理
四公理三推论:
若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合条过这个公共点的直线。
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
经过两条相交直线,有且只有一个平面。
经过两条平行直线,有且只有一个平面。
1:
2:
3:
是推论一:
推论二:
推论三:
公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行
(2)空间线线,线面,面面的位置关系:
空间两条直线的位置关系:
相交直线——有且仅有一个公共点;平行直线——在同一平面内,没有公共点;异面直线——不同在任何一个平面内,线。
空间直线和平面的位置关系:
(1)直线在平面内(无数个公共点)
(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为a,aA,a//。
空间平面和平面的位置关系:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与这个平面平行。
a符号表示:
ba//。
图形表示:
a//b
6、两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。
ab符号表示:
abP//。
图形表示:
a//b//
7、.直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线与已知平面相交,那么交线与这条直线平行。
a//
符号表示:
aa//b。
图形表示:
b
8、两个平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。
//,a,ba//b
符号表示:
9、直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么
没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直
经过这条直线的平面与
10、
11、
这条直线垂直于这个平面。
符号表示:
a,b,abP,la,lbl
.两个平面垂直的判定定理:
一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
符号表示:
l,l
直线与平面垂直的性质:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
a//。
a//b。
b
符号表示:
平面与平面垂直的性质:
如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于l另一个,平面。
m符,号l表示m:
l.
13、异面直线所成角:
平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角:
直线和它在平面内的射影所成的角。
14、异面直线所成角的取值范围是0,90;
直线与平面所成角的取值范围是0,90;二面角的取值范围是0,180;两个向量所成角的取值范围是0,180二、直线和圆的方程
1、斜率:
ktan,k(,);直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则斜率为2、直线的五种方程:
(1)点斜式
(2)斜截式
12、
如右图)
ky2y1
x2x1
3)两点式
yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).ykxb(b为直线l在y轴上的截距).
yy1xx1
(4)截距式
((P1(x1,y1)、P2(x2,y2);(x1x2)、(y1y2)).y2y1x2x1
xy
1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)ab
AxByC0(其中A、B不同时为0).
(5)一般式3、两条直线的平行、重合和垂直:
(1)若l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2
①l1‖l2k1k2且b1≠b2;
②l1与l2重合时k1k2且bb2;
③l1l2k1k21.
(2)若l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,A1B1C1
;
B2C2
①l1||l2
A2
②l1l2A1A2B1B20
4、两点P1(x1,
y1)、
P2(x2,y2)
5、两点P1(x1,
y1)、
P2(x2,y2)
的距离公式│P1P2│=(x2x1)2(y2y1)2的中点坐标公式M(x1x2,y1y2)
22
6、点P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0的距离公式d=Ax0By0C
A2B2
7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=C2C1
A2B28、圆的方程:
标准方程xa2yb2r2,圆心a,b,半径为
一般方程x2y2DxEyF0,(配方:
(xD)2(yE)222
r;
22
D2E24F)
D2E24F0时,表示一个以(D,E)为圆心,半径为1D2E24F的圆;
222
9、点与圆的位置关系:
点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:
若d(ax0)2(by0)2,则
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.10、直线与圆的位置关系:
直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:
dr相离
dr相交
0;dr相切0;
AaBbC
0.其中d
A2B2
11、弦长公式:
若直线y=kx+b与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于两点,则由
二次曲线方程y=kx+m则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:
A(x1,y1),B(x2,y2)
AB
2
ax+bx+c=0(a≠0)
(x2x1)2(y2y1)2
1k2
x1x2
1k12y1
k
y2(112)(y1y2)24y1y2=1k2b4ac
k
13、空间直角坐标系,两点之间的距离公式:
⑴xoy平面上的点的坐标的特征xoz平面上的点的坐标的特征yoz平面上的点的坐标的特征x轴上的点的坐标的特征Dy轴上的点的坐标的特征z轴上的点的坐标的特征
A(
B
C
x,E(0,E(0,
x,
y,
0):
竖坐标
z=0
x,
0,
z):
纵坐标
y=0
(0,
y,
z):
横坐标
x=0
0,
0):
纵、
竖坐标
y=z=0
y,
0):
横、
竖坐标
x=z=0
0,
z):
横、
纵坐标
x=y=0
⑵│P1P2│=(x2-x1)2(y2-y1)2(z2-z1)2【必修三】
算法初步与统计:
流程线
连接程序框(流程进行的方向)
连接点
连接程序框图的两部分
注释框
帮助注解流程图
循环框
程序做重复运算
、算法的三种基本结构:
(1)顺序结构
(2)条件结构(3)循环结构
、算法基本语句:
1、输入语句:
输入语句的格式:
INPUT“提示内容”;变量。
2、输出
语句:
输出语句的一般格式:
PRINT“提示内容”;表达式。
3、赋值语句:
赋值语句的一般格式:
变量=表达式。
4、条件语句
(1)“IF—THEN—ELSE”语句。
5、循环语句:
直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。
三.三种常用抽样方法:
1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。
4.统计图表:
包括条形图,折线图,饼图,茎叶图。
四、频率分布直方图:
具体做法如下:
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);
(2)决定组距与组数;
(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图。
注:
频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。
2、频率分布直方图:
频率=小矩形面积(注意:
不是小矩形的高度)
频数
计算公式:
频率=频数=样本容量频率
样本容量
频率
频率=小矩形面积=组距
组距各组频数之和=样本容量,各组频率之和=1
3、茎叶图:
茎表示高位,叶表示低位。
折线图:
连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量:
平均数,中位数,众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数;
5、刻画一组数据离散程度的统计量:
极差,极准差,方差。
(1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。
(2)方差,标准差越大,离散程度越大。
方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度越高。
(3)计算公式:
方差:
直线回归方程的斜率为b?
,截距为a?
,即回归方程为y?
=b?
x+a?
(此直线必过点(x,y))。
6、频率分布直方图:
在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方
长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1。
五、随机事件:
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
一般用大写字母A,B,C⋯表示.
随机事件的概率:
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
由定义可知0≤P(A)
≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。
1、事件间的关系:
(1)互斥事件:
不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;
(2)对立事件:
不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;
(3)包含:
事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);(4)对立一定互斥,互斥不一定对立。
2、概率的加法公式:
(1)当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:
P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)
(2)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
3、古典概型:
(1)正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)
每个基本事件出现的可能性相等;
(2)掌握古典概型的概率计算公式:
事件A包含的基本事件个数m
P(A)
实验中基本事件的总数n
4、几何概型:
(1)几何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。
(2)几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个
基本事件出现的可能性相等.
事件A构成的区域的长度(面积或体积)
(3)几何概型的概率公式:
P(A)
实验的全部结果构成的区域的长度(面积或体积)
【必修四】
一、三角函数
1、弧度制:
(1)、180弧度,1弧度(180)5718';弧长公式:
l||r(l为
所对的弧长,r为半径,正负号的确定:
逆时针为正,顺时针为负)
2、三角函数:
(1)、定义:
siny
r3、特殊角的三角函数值:
cos
tany cotx
xy
rx2y
的角度
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
的弧度
0
2
3
5
3
2
6
4
3
2
3
4
6
2
sin
0
1
2
3
1
3
2
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
cos
1
3
2
1
0
1
2
3
1
0
1
2
2
2
2
2
2
tan
0
3
1
3
3
1
3
0
0
3
3
r
tansin
cos
22
4、同角三角函数基本关系式:
sin2cos21
3、
tancot1
5、诱导公式:
(众变横不变,符号看象限)
1、诱导公式一:
2
诱导公式三:
正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正。
诱导公式
sinsin,
coscos,
tantan.
、诱导公式五:
6
sin2ksin,
cos2kcos,
tan2ktan.
sinsin,
coscos,tantan.
4、诱导公式四:
5
诱导公式六:
sinsin,coscos,
tantan.
22
cos,
sin.
sincos
2
cossin
2
6、两角和与差的正弦、余弦、正切:
S()
S():
sin()sincoscossinsin()sincoscossin
C():
cos(a)coscossinsinC():
tantan
1tantan
cos(a)coscossinsin
tantan
T():
tan()T():
tan()
1tantan
tan+tan=tan(+)(1tantan)
7、辅助角公式:
asinxbcosxa2b2
tan-tan=tan(-)(1tantan)
a2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)
8、二倍角公式:
(1)、S2:
sin22sincosC2:
2222
cos2cos2sin212sin22cos21T2:
2tantan22
1tan2
2)、降次公式:
(多用于研究性质)
1
2
1cos2
1
1
sincossin2
sin
cos2
2
2
2
2
21cos2
1
1
cos2
cos
2
2
2
9、在ysin,ycos,ytan,ycot四个三角函数中只有ycos是偶函数,其它三个是寄函数。
(指数函数、对数函数是非寄非偶函数)
10、在三角函数中求最值(最大值、最小值);求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区间);求对称轴;求对称中心点都要将原函数化成标准型;
yAsin(x)b
yAcos(x)b
如:
再求解。
yAtan(x)b
yAcot(x)b
11、三角函数的图象与性质:
函数
y=sinx
y=cosx
y=t
图象
定义域
R
R
{x|xk,
2
值域
[1,1]
[1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
2
2
单调性
在[2k,2k](kZ)增
22
在[2k,2k3](kZ)减
22
在[2k,2k](kZ)增
在[2k,2k](kZ)减
在(kZ)增
最值
当x2k,kZ时,ymax12
当x2k,kZ时,ymin1
2
当x2k,kZ时,ymax1当x(2k1),kZ时,ymin1
无
对称性
对称中心(k,0),kZ对称轴:
xk(kZ)
2
对称中心(k,0),kZ
2
对称轴:
xk(kZ)
对称中心(k,0),对称轴:
无
12.函数yAsinx的图象:
(1)用“图象变换法”作图
由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:
先平移后伸缩
横坐标变为原来的1倍
法二:
先伸缩后平移
当函数yAsin(x)(A>0,0,x[0,))表示一个振动量时,A就
表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次212所需要的时间T,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f,它T叫做振动的频率;x叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位)。
二、平面向量
1、平面向量的概念:
1在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量.
2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
3向量的大小称为向量的模(或长度),
记作.
1的向量称为单位向量.
4模(或长度)为0的向量称为零向量;模为
5与向量a长度相等且方向相反的向量称为
6方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:
λ(ab)=λa+λb.
3、向量的数量积的运算律:
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);(3)(ab)·c=a·c+b·c.4、平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
5、坐标运算:
(1)设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2数与向量的积:
λax1,y1x1,y1,数量积:
abx1x2y1y2
(2)