空间几何体的表面积与体积教案.docx

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空间几何体的表面积与体积教案空间几何体的表面积与体积教案空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积、柱体、锥体、台体的表面积A.多面体的表面积1.多面体的表面积求法：

求平面展开图的面积注：

把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图2.直棱柱的侧面积与全面积

（1）侧面积1求法：

侧面展开（如图）；2公式：

Scl（其中c为底面周长，I为侧棱长）；

（2）表面积：

侧面积+两底面积.正棱柱的侧面积：

Scl（其中c为底面周长，1为侧棱长）（3）推论:

长方体的表面积：

S2（abbcca）.（其中a,b,c分别为长方体的长宽咼）正方体的表面积：

S6a2（a为正方体的棱长）3.斜棱柱侧面积与全面积

（1）侧面积：

1求法：

作出直截面（如图）；注：

这种处理方法蕴含着割补思想.2公式：

Scl（其中c为直截面周长,

（2）表面积：

侧面积+两底面积.I为侧棱长）；4.正棱锥的侧面积与全面积

（1）侧面积1求法：

侧面展开（如图）；12公式：

S-ch（其中c为底面周长，h为斜高）；

（2）表面积：

侧面积+底面积5.正棱台的侧面积与全面积

（1）侧面积求法：

侧面展开（如图）；1公式：

S（cc）h（其中c、c为底面周长，h为斜高）；2

（2）表面积：

侧面积+两底面积.6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：

B.旋转体的表面积1.圆柱的侧面积与全面积

（1）侧面积：

求法：

侧面展开（如图）；公式：

S2rI（r为两底半径，1为母线长）；

（2）表面积：

S2r（rI）.2.圆锥的侧面积与表面积

（1）侧面积1求法：

侧面展开（如图）；2公式：

Srl；

（2）表面积：

Sr（rI）（r为两底半径，I为母线长）事实上：

圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为2r，半径为圆锥母线I，故面积为丄23.圆台的侧面积与表面积

（1）侧面积1求法：

侧面展开（如图）；2公式：

S（rR）l；事实上：

圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r、2R，半径分别为x、x2rII，故圆台侧面积为S12R（xI）12rx（Rr）xRI22（Rr）xrI，二S（rR）I

（2）表面积：

r2R2（rR）I.（r、R分别为上、下底面半径，I为母线长）4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：

、柱体、锥体、台体的体积、柱体、锥体、台体的体积A.棱柱、棱锥、棱台的体积1.棱柱体积公式：

VSh（h为高，S为底面面积）；12.棱锥体积公式：

VSh（h为高，S为底面面积）；33.棱台体积公式：

V棱台-（S,SSS2）h（h为咼，S、S2分别为两底面面积）311_一一11_1一一v3S2h3*2JSr）STJSr）x3S2h3（卢rS?

h-（Si5）h.4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系:

于是V-R2（x3h）13r2h1（Rr）（R312r）xR2h.3XrXr（Rr）xrh，二112122V（Rr）rhR2h（r2rRR2）h333xhRhRr4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系:

B.圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱的体积：

Vr2h（h为高，r为底面半径）.2.圆锥的体积：

V-R2h（h为高，R为底面半径）.313.圆台的体积：

V-（r2rRR2）h（r、R分别为上、下底半径，h为高）3事实上，设小圆锥高为X,则大圆锥高为xh（如图）.三、球的体积与表面积三、球的体积与表面积1.球的体积V4R3.32.球的表面积S4R2.四、题型示例四、题型示例A.直用公式求面积、求体积4，侧棱长为10，求其侧面积、表面积和体积；10、20,母线与底面的夹角为60，求圆台的侧面积、例1

（1）一个正三棱柱的底面边长为侧面积：

120；表面积：

120+120+8、.3;体积40.3.

（2）一个圆台，上、下底面半径分别为表面积和体积；侧面积：

600；表面积：

1100；体积：

700033（3）已知球的表面积是64，求它的体积结果:

256（4）在长方体ABCDABQP中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.结果i：

5.练习：

1.已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积.结果：

32cm2，48cm2.2.已知平行四边形ABCD中，AB8，AD6，DAB60，以AB为轴旋转一周，得旋转体.求旋转体的表面积.结果：

84.3.3.正方体ABCDAB1C1D1的棱长为1，则沿面对角线AC、AB、CB1截得的三棱锥BACB的4.体积为C结果：

侧面积：

4815cm3;体积：

22414cm3.35.正四棱锥SABCD各侧面均为正三角形，侧棱长为5,求它的侧面积、表面积和体积结果：

侧面积：

25.3;表面积：

25（1.3）;体积：

1252.66.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为B.根据三视图求面积、体积例3一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.22.3B.42.3C.22、3,2応D.433结果:

C.俯视图侧视图练习：

1.一个底面为正三角形，侧棱于底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为结果：

36-.3.2.下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1那么这个几何体的体积为A.1C.-答案：

C.3.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三角形,C.答案：

A.4.已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据,计算该组合体的体积.提示：

该组合体结构为：

上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱.5.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是DA.9B.10C.11D.12C.几何体表面上最短距离冋题例三棱锥PABC的侧棱长均为1,且侧棱间的夹角都是40,动点M在PB上移动，动点N在PC上移动，求AMMNNA的最小值.俯视图3结果：

$3.D.与球有关的组合问题例1

（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为结果:

27.

（2）若一个球内切于棱长为3的正方体，则该球的体积为结果:

9.2例2有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使球浸没在水中并使水面正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.结果：

315r.变式训练：

1.长方体ABCDAB1C1D1中，AB3,AD4,AA5，则其外接球的体积为.2.求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积注：

棱长为的正四面体中常用数据:

（1）高：

6a，中心到顶点距离：

6a，中心到面距离：

6a，中心到顶点距离：

中心到面的距离=3:

1.4T2全面积：

国，体积：

审3.（3）对棱距离:

fa.（4）棱面角：

aaiccos或aicsin上，面面角：

aiccos或aicsin223333E.几个重要结论的补充及应用结论1锥体平行截面性质锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比,等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方10D.-81120、半径为I的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是C.4:

3D.5:

35.圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？

结果：

1100cm2.6.圆锥母线长为1,侧面展开图的圆心角为240，则圆锥体积为A.tB.8C.H8181817.若圆锥的侧面展开图是圆心角为A.3:

2B.2:

1结果：

C.F.空间几何体体积求法例析A.公式法例1四棱锥PABCD的顶点P在底面中的射影恰好是其三视图如图，则四棱锥解：

根据三视图可已将四棱锥PABCD的体积为.ABCD的底面是边长为a的正方形，高为aP点评：

1.计算几何体体积需要区别锥体、柱体、台体、俯视图球体.它们的体积各自有不同的特征，注意准确运用体积公式2.如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，高平齐”分别求出几何体的底面积和高，直接计算体积即可，若几何体比较复杂或涉及面积等计算时，则需复原几何体（本几何体复原后的图形如图）它的内切球的半径为它的内切球的半径为2,求该多面体的体积求该多面体的体积.6，则S,S2Sn36.V多面体内切球的球心到多面体个个面的距离都等于n个棱锥，于是多面体的体积等于这个棱锥的球的半径R,运用分割法，以内切球球心为顶点，多面体的每个面为底面，将多面体分割成体积和，即V-R1S1R331S,R1R（S1S2Sn）136224.33311柱的体积为VSh，它的一半，即为三棱柱的体积V-Sh.二三棱柱的体积为V-Sh.22点评：

本体的结论可以作为结论用2cm2，6cm2，则过，则过P、A、B、C四点的外接球的体积为四点的外接球的体积为cm2.解：

PA、PB、PC两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为一个长方体，长方体的对角线是外接球的直径.设三条棱长分别为x,y,z，点评：

对于三条棱两两互相垂直或者3个侧面两两互相垂直的三棱柱以及正四面体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长方体点评：

在三棱锥求体积问题中，变换角度就是换顶点、换底面，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之一，它的基本依据是变换前后等体积.转换的标准是相应的底面和高是否容易求解.显然本题直接按照题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高.练习：

1.正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为CA.1:

1B.1:

2C.2:

1D.3:

22.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB，EF2，则该多面体的体积为A9.一个长方体的某3个面的面积分别是2，3，6.则这个长方体的体积是10.设等边三角形ABC的边长为a，P是厶ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1,d2,d3，则有d1d2d3为定值3;由以上平面图形的特性类比空间图形：

设正四2面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面的距离分别为d1,d2,d3，d4，则有did2d3d4为定值是_结果：

-3.11.某球的外切圆台上下底面半径分别为r,R，则该球的体积是_12.在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为_.解：

依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a,b,c，且其外接球的a2b262,半径为R，则b2c252,，得a2b2c243，即（2R）2a2b2c243.c2a252二三棱锥外接球的表面积为S4R243.13.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16,则球的体积是.结果：

86.11.体积为8的一个正方体，其全面积与球0的表面积相等，则球0的体积等于.结果:

LE.14.结果：

v3.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a卜2*侧视图PB3，PC4，则三棱锥PABC的体积为.结果：

4.14.半径为R的球的外切圆柱的表面积为，体积为.结果：

6R2；2r3.16.直三棱柱ABCAB1G的各顶点都在同一球面上，若ABACAA2，BAC120，则此球的表面积等于.结果：

20.17.三个球的半径RRR，满足R2R23R3，则它们的表面积SSA，满足的关系是结果：

S2S；3S；.18.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长19.的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是20.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示.墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧视图;

（2）求该安全标识墩的体积.结果：

（1）与正视图一样；

（2）64000cm3.3例5如图3，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF/AB,EF-,