新人教版八年级下数学教案第17章勾股定理.docx

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新人教版八年级下数学教案第新人教版八年级下数学教案第17章勾股定理章勾股定理第十八章勾股定理181勾股定理一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点1重点：

勾股定理的内容及证明。

2难点：

勾股定理的证明。

三、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

四、例习题分析例1（补充）已知：

在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。

求证：

a2b2=c2。

分析：

让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

拼成如图所示，其等量关系为：

4S+S小正=S大正4ab（ba）2=c2，化简可证。

发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。

求证：

a2b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4abc2右边S=（a+b）2左边和右边面积相等，即4abc2=（a+b）2化简可证。

五、课堂练习1勾股定理的具体内容是：

。

2如图，直角ABC的主要性质是：

C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：

；若D为斜边中点，则斜边中线；若B=30，则B的对边和斜边：

；三边之间的关系：

。

3ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2c2，则=90；若满足b2c2a2，则B是角；若满足b2c2a2，则B是角。

4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

六、课后练习1已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三边，则c=。

（已知a、b，求c）a=。

（已知b、c，求a）b=。

（已知a、c，求b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有abc，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、532+42=525、12、1352+122=1327、24、2572+242=2529、40、4192+402=41219，b、c192+b2=c23在ABC中，BAC=120，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4已知：

如图，在ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

AD2AB2=BDCD若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

181勾股定理

（二）一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。

2树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点1重点：

勾股定理的简单计算。

2难点：

勾股定理的灵活运用。

三课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

四、例习题分析例1（补充）在RtABC，C=90已知a=b=5,求c。

已知a=1,c=2,求b。

已知c=17,b=8,求a。

已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

已知b=15，A=30，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边ABC的边长是6cm。

求等边ABC的高。

求SABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

欲求高CD，可将其置身于RtADC或RtBDC中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。

五、课堂练习1填空题在RtABC，C=90，a=8，b=15，则c=。

在RtABC，B=90，a=3，b=4，则c=。

在RtABC，C=90，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为。

已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2已知：

如图，在ABC中，C=60，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

六、课后练习1填空题在RtABC，C=90，如果a=7，c=25，则b=。

如果A=30，a=4，则b=。

如果A=45，a=3，则c=。

如果c=10，a-b=2，则b=。

如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

2已知：

如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC，ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的长。

181勾股定理（三）一、教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题。

2树立数形结合的思想。

二、重点、难点1重点：

勾股定理的应用。

2难点：

实际问题向数学问题的转化。

三、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

四、例习题分析例1（教材P66页探究1）分析：

在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材P67页探究2）分析：

在AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

在COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

则BD=ODOB，通过计算可知BDAC。

进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

五、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。

2题图3题图4题图3如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

六、课后练习1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，B=60，则江面的宽度为。

2有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

3一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RPPQ，则RQ=厘米。

4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，B=C=30，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）181勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。

2树立数形结合的思想。

二、重点、难点1重点：

勾股定理的综合应用。

2难点：

勾股定理的综合应用。

三课堂引入复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

四、例习题分析例1（补充）1已知：

在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=，求线段AB的长。

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或45特殊角的特殊性质等。

要求学生能够自己画图，并正确标图。

引导学生分析：

欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。

或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。

例2（补充）已知：

如图，ABC中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？

分析：

由于本题中的ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。

在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及SABC。

让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

并指出如何作辅助线？

解略。

例3（补充）已知：

如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。

解：

延长AD、BC交于E。

A=60，B=90，E=30。

AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。

DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。

S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=小结：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P68页探究3）分析：

利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：

在数轴上画出表示的点。

五、课堂练习1ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，SABC=。

2ABC中，若A=2B=3C，AC=cm，则A=度，B=度,C=度，BC=，SABC=。

3ABC中，C=90，AB=4，BC=，CDAB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,SABC=。

4已知：

如图，ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求SABC。

六、课后练习1在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=，AB=。

2在RtABC中，C=90，SABC=30，c=13，且ab，则a=，b=。

3已知：

如图，在ABC中，B=30，C=45，AC=，求

（1）AB的长；

（2）SABC。

4在数轴上画出表示的点。

182勾股定理的逆定理

（一）一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点1重点：

掌握勾股定理的逆定理及证明。

2难点：

勾股定理的逆定理的证明。

三、课堂引入创设情境：

怎样判定一个三角形是等腰三角形？

怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

四、例习题分析例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

同旁内角互补，两条直线平行。

如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：

每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例2（P74探究）证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

分析：

注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

例3（补充）已知：

在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求证：

C=90。

分析：

运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

先判断那条边最大。

分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

要证C=90，只要证ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

由于a2+b2=（n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2=n42n21，从而a2+b2=c2，故命题获证。

五、课堂练习1判断题。

在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

命题：

“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

ABC的三边之比是1：

1：

，则ABC是直角三角形。

2ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果CB=A，则ABC是直角三角形。

B如果c2=b2a2，则ABC是直角三角形，且C=90。

C如果（ca）（ca）=b2，则ABC是直角三角形。

D如果A：

B：

C=5：

2：

3，则ABC是直角三角形。

3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca=，b=，c=Da：

b：

c=2：

3：

44已知：

在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

a=，b=，c=；a=5，b=7，c=9；a=2，b=，c=；a=5，b=，c=1。

六、课后练习，1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

如果a30，那么a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2填空题。

任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

在ABC中，若a2=b2c2，则ABC是三角形，是直角；若a2b2c2，则B是。

若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，则ABC是三角形。

3若三角形的三边是1、2；32，42，529，40，41；（mn）21，2（mn），（mn）21；则构成的是直角三角形的有（）A2个B个个个4已知：

在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

a=9，b=41，c=40；a=15，b=16，c=6；a=2，b=，c=4；a=5k，b=12k，c=13k（k0）。

182勾股定理的逆定理

（二）一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点1重点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2难点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、课堂引入创设情境：

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

四、例习题分析例1（P75例2）分析：

了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=121.5=18，PQ=161.5=24，QR=30；因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知QPR=90；PNESQRPRS=QPR-QPS=45。

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：

若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

解略。

五、课堂练习1小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：

甲巡逻艇的航向？

六、课后练习1一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。

182勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点1重点：

利用勾股定理及逆定理解综合题。

2难点：

利用勾股定理及逆定理解综合题。

三、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

四、例习题分析例1（补充）已知：

在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

ABCD试判断ABC的形状。

分析：

移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，则都为0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2（补充）已知：

如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

作DEAB，连结BD，则可以证明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股数，DEC为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3（补充）已知：

如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。

求证：

ABC是直角三角形。

分析：

AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2五、课堂练习1若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。

2若ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断ABC的形状。

3已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。

求：

四边形ABCD的面积。

4已知：

在ABC中，ACB=90，CDAB于D，且CD2=ADBD。

求证：

ABC中是直角三角形。

六、课后练习，1若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面积。

2在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

求证：

ABC是等腰三角形。

3已知：

如图，1=2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

求证：

AB2=AE2+CE2。

4已知ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定ABC的形状。