高等数学应用题.docx

高等数学应用题.docx

《高等数学应用题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学应用题.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高等数学应用题

第一章函数极限连续

问题1.上岸点的问题

有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1）

内游泳，当他位于点（

）时，听到紧急集

合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士

兵水中游泳的速度为

，陆地上跑步的速度为

，求赶回营房

所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。

图1-1

解：

这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据本题特点可设

其中

为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系

的问题。

由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数

的定义域为

。

该士兵在水中游泳所花的时间为

而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：

1当

时，有

；

2当

时，要先跑一段圆弧

，再跑一段且线段

，所以

。

综上所述，可得

问题2外币兑换中的损失

某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。

把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。

解：

设

为将x美元兑换成的加拿大元数，

为将x加拿大元兑换成的美元数，则

而

故

，

不互为反函数。

思考题：

设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？

（14.4美元）

问题3黄山旅游问题

一个旅游者，某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。

第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。

试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。

证明：

设两个旅馆之间的路程为L，以

表示在时刻

该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，则可知

是区间

上的连续函数，且有

，

。

以

表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知

是区间

上的连续函数，且有

，

。

于是原问题可转化为：

证明存在

，使

。

作辅助函数

，则

在区间

上连续，且有

，

根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在

，使

。

就得到了所需要证明的结论。

问题4利润与销量之间的函数关系

收音机每台售价90元，成本为60元。

厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01

200=2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元/台。

1）把每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

2）把利润P表示成订购量x的函数；

3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？

解：

1）当

时售价为90元/台。

现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台，

90-75=15，15

0.01=1500

所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为75元。

当订购量在100~1600时，售价为90-（x-100）*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为

2）每台利润是实际售价p与成本之差

P=（p-60）x

3）由1）先计算出p=90-（1000-100）*0.01=81。

再有2）可知

P=（81-60）*1000=21000（元）

问题5Fibonacci数列与黄金分割问题

“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。

假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?

”

解：

这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之书”（又译《算盘书》（Liberabaci））中的一个题目。

他是这样解答的：

若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有：

从上图可知，六月份共有兔子13对；还可看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。

按这规律可写出数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可见一年后共有兔子233对。

这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。

若设F0=1，F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，F5=8，F6=13，…

则此数列应有下面的递推关系：

Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，…）

这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项

是由法国数学家比内（Binet）求出的。

与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限是

（1）

或者

（2）

下面我们先来说明

（2）式的含义并证明之（至于

（1）式的含义见后面的说明）。

记

，则（

-1）×100%就是第（n+1）月相对于第n月的兔子对数增长率（n=0，1，2，…），例如：

……

若

存在，则（

-1）表示许多年后兔子对数的月增长率（同时也是成兔对数及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始算起，也是Fibonacci数列）。

存在的证明及求法如下：

证：

用数学归纳法容易证明：

数列{

}是单调增加的；数列{

}是单调减少的。

又，对一切

成立。

即数列{

}、{

}是有界的。

根据“单调有界数列必有极限”的准则，知数列{

}、{

}的极限存在，分别记为

与b*，即

，

分别对

及

的两边取极限，得

与

两式相减，得

由此得

，即

。

若不然，则有

而由

，得

这是不可能的（因为

）因此

存在，记作b，即

对

的两边取极限，得

解此方程，得

，因为

，故

即

从而

可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。

问题6巧分蛋糕

妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示）。

哥哥小明见了也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。

小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。

你知道他用的是什么办法吗？

分析：

问题归结为如下一道几何证明题。

已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围图形上任一点。

求证：

一定存在一条过P的直线。

将这图形的面积二等分。

P

证明：

1.过P点认作一直线l，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为S1和S2。

若

S1=S2（此情况很难办到），则l即为所求；若S1

S2，则不妨设S1>S2（此时l与x轴的正向的夹角记为

，见图1-2

（2）），下面对此情况证明之。

2.以P点为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1和S2就连续地依赖角

变

化，记为

、

，并设

。

如图1-2（3）所示。

3.函数

在

上连续，且在端点异号：

（旋转1800后的情况如1-2（4））根据零点定理，必存在一点

，使

，即使

。

过P作直线，使之与x轴正向的夹角为

，该直线即为所求。

注：

实际上小明只证明了这样的直线一定存在，究竟如何找到角

还有待研究，留给大家思考！

问题7

第二章导数与微分

问题1人在月球上能跳多高

某人身高2米，在地面上可跳过与其身高相同的高度。

假设他以同样的初速度在月球上跳，请问能跳多高？

又，为了能在月球上跳过2米，他需要多大的初速度？

o

解：

在地面上跳高，就是克服地球引力把身体“抛”到高处。

这里跳过了2米，是指把人体的重心提高到了2米。

粗略地讲，人

体的重心约在身高的一半偏上一点处，故，若把人体当作质点来看，

则可视跳高为以初速

把位于（身高

）处的一质点铅直上抛。

为

了求出所跳高度与时间t的函数关系，建立如图所示的坐标系。

由

及

得

（1）

由

及

得

（2）

在月球上跳高的情况与此类似，不同的只是这里的g由月面上的重力加速度gm所代替，若记月球上的速度与位置函数分别为vm、xm（因题设初速相同，故仍记月球上的初速为v0），则有

（3）

（4）

由（4）式知，为求此人在月球上能跳多高，需分别求出初速

及跳到最高处所需时间。

现初速

与地球上的相同，故可由

（1）、

（2）式求之：

因跳到最高处时

，故

，于是

。

又，此人在地球上跳了2米高，故有

由此得

（5）

（于是此人在地面上跳到2米高所用时间为

）

再求在月面上以初速

跳到最高处所用的时间tm：

由（3）式及

，得

，即

，由此可得

将（5）、（6）两式代入（4）式，便有

即，在月球上能跳过的高度约为7.3078米。

用与上面完全类似的推导可以得出，在月球上跳2米高所需初速为

（见（5）式），所用时间为

。

比较t=0.45s与t=1.13s不难看出，同样是跳2米高，在月球上所需时间比在地面上要慢一个因子0.4（

），这个结论具有普遍性，可用下面的地月定理来证明。

地月定理：

设

是“地面上的运动”，则

（7）

是在“月面上的运动”，这里

证：

对（7）式两端求导，则有

再对t求导，且利用

得

因此，

满足月面运动方程。

证毕。

公式（7）揭示了地、月两种运动之间的内在联系：

地面运动改变到月面运动时，时间变慢了一个因子0.4.据此原理，如果我们想看看模拟的月面运动，只需用正常速度的0.4倍放映地面运动的电影即可。

注：

地面运动系指一质点在接近地面处，在重力影响下，且仅有重力作用的垂直运动。

月面运动的概念与此类似，不再重述。

问题2油层在海面上的扩散问题

从一艘破裂的油轮中渗漏出去的油，在海面上逐渐形成油层。

设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变。

已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明其半径r的增加率与r3成反比。

证明：

在等式

两边同时对t求导，由于

和V都是常数，所以有

将题意条件

代入上式子，可得

再将

代入上式，又可得

这就是得到了所需要证明的结论。

问题3人影移动的速率

某人高1.8米，在水平路面上以每秒1.6米的速率走向一街灯，若此街灯在路面上方5米，当此人与灯的水平距离为4米时，人影端点移动的速率为多少？

解：

这是一个相关变化率的问题，一般地，设x=x（t）及y=y（t）都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率

与

间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

D

如果我们有几何学或物理学等方面的知识，得到x与y间的一个函数关系y=f（t），且f（t）可导，那么由复合函数的求导法则，有

这说明变化率

可以通过变化率

得到。

对于所给问题，如图所示，以DE和BC分别表示

人高和灯高，以DB=x和AB=y分别表示人和人影端点到灯的水平距离。

因为△ADE∽△ABC，所以

从而

，即

于是

又依题

，故

即人影端点移动的速率为2.5m/s。

思考题：

有一圆锥形容器，高度为10m，底半径4m，今以每分钟5m3的速度把水注入该容器，求当水深5m时，水面上升的速度。

其中，

（1）圆锥的顶点朝上；

（2）圆锥的顶点朝下。

（答案：

均为

）

问题4拉船靠岸问题