冰山运输的可行性分析.docx
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冰山运输的可行性分析
冰山运输的可行性分析
摘要
从经济角度研究在9600千米以外的南极拖运冰山到波斯湾，将其化成冰水取代淡化的海水作为国民用水的问题，我们通过对建模数据的分析，进行了合理的假设，用微积分的方法建立了冰山运输的数学模型，并通过数学软件Matlab计算，我们得出可以选择合适的船速和冰山初始体积，使获得每立方米水的费用最小。
关键词:
冰山运输，数学模型，费用，融化速率
一、问题重述
在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩翰的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0．1英镑．有些专家提出从相距9600km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性.
为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花费的费用，根据建模的需要，我们收集到有关数据资料。
1．三种拖船的日租金和最大运量．
2．燃料消耗（英镑／千米）．主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略．
3．冰山运输过程中的融化速率（即米／天）．指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．
建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后,可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。
二、问题分析
因为冰山的运输主要和拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率有关，为了适当的简化模型，我们可以忽略其他的次要影响，得以下模型结构图：
三、模型假设
1．拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离9600km．
2．冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算．
3．冰山到达目的地后，冰可融化成水．
四、定义与符号说明
r：
冰山球面融化速率（米/天）
u：
船速（km/h）
d：
拖船与南极的距离（km）
t：
拖船航行的天数
R：
冰山初始半径（km）
R：
第t天冰山半径（km）
V：
冰山初始体积（m）
V：
第t天冰山体积（m）
：
燃料消耗（英镑/km）
五、模型的建立
要建立可行的冰山运输模型，首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后计算航行中的燃料消耗，由此算出到达目的地后的冰山体积和运费，在计算过程中根据收集到的数据拟合出经验公式，所以模型建立可分为以下几步。
（1）冰山融化规律
根据基本假设2把冰山看成球形，并且忽略接触点的融化问题，则他的各表面的融化速率相同，并且形状始终不变，由此来建立冰山融化的模型
记冰山球面半径融化速率为米／天，船速为km／h，拖船与南极距离为d=d（t）km．根据表5中融化速率的数据，可设是船速u的线性函数，且当0≤d≤4000km时r与d成正比，故可设r=d（1+bu）,而当d>4000km时r与d无关，可设r=c（1+bu）,又由假设船速u不变，所以有
r（t）=
（1）
其中,b,c为待定参数．据表5数据可算得：
（2）
当拖船从南极出发航行第天时，与南极距离为
d=24*u*t（3）
将
（2），（3）代入
（1）式，得
（4）
记初始球面半径为，初始体积为，第t天冰山球面半径为，体积为,则
（5）
（6）
由式（4）、（5）、（6）知，冰山体积是船速u,初始体积，和航行天数t的函数，记作V（u，，t），则
（7）
（2）燃料消耗费用
由表4给出的燃料消耗（英镑／千米，记作）的数据可以看出，对船速和冰山体积的对数1g均按线性关系变化，所以可设
=c*（u+c）*（lgV+c）（8）
其中为待定参数．利用表4所给数据可以确定
c=0.3,c=6,c=-1（9）
由（7）～（9）式，可将拖船航行第t天的燃料消耗总费用记作q（u,V,t）（英镑／天），且有
q（u,V,t）=
=7.2u*（u+6）（10）
（3）运送冰山费用
费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．由表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积决定，记日租金为，显然有
又因为当船速为（km/h）时冰山抵达目的地所需天数为，所以租金费用为．而整个航程的燃料消耗为，所以可得运送冰山的总费用为
S（u,V）=+7.2u*（u+6）（12）
（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积
将代人（7）式知，冰山运抵目的地后的体积为
V（u,V,T）=）（13）
由假设（3），则得到水的体积为
W（u,V）=（）（14）
（5）每立方米水所需费用
记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为y（u,V），由（12），（14）式显然有
y（u,V）=（15）
六、模型的求解
这个模型归结为选择船速u和冰山初始体积，使（15）式表示的费用最小，其中由（12）式给出，由（14）式给出．由于是分段函数，只能固定一系列值对u求解．又因为由调查数据（表4，表5）得到的经验公式是非常粗糙的，对船速u的选取也不用太精细，所以没有必要用微分法求解这个极值问题．表6是通过Matlab对几组值的计算结果，如下
Vu
3
3.5
4
4.5
5
10
0.0764
0.0709
0.0684
0.0654
0.0665
5*10
0.2443
0.2128
0.1972
0.1820
0.1817
10
28.5511
12.2982
7.8377
5.3878
4.7280
由上可知若选取最大的冰山初始体积（当然要租用大型拖船），船速km／h，每立方米水的费用约0.066英镑．
七、结果分析
得到的结果虽然小于海水淡化的费用（每立方米0．1英镑），但是模型中未考虑影响航行的种种不利因素，会拖长航行时间致使冰山抵达目的地后的体积显著地小于模型中的．并且没有计算空船费等其他费用．专家们认为，只有当用这个模型计算出来的费用显著地小于海水淡化的费用时（譬如小一个数量级），才有理由考虑采用冰山
elseif V0<=10^6
S=400*6.2/u+sum（q）;
elseif V0<=10^7
S=400*8.0/u+sum（q）;
else
S=0;
end
W=0.85*V（T）;
Y=S/W;
end
clear
clc
format long
u=3:
0.5:
5;
v=[10^7,5*10^6,10^6];
for i=1:
3
for j=1:
5
Y（i,j）=fil（v（i）,u（j））;
end
end
Y
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