数学教案 4升510 重叠问题.docx

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数学教案4升510重叠问题

教案

教材版本：

精英版.学校：

.

教师

年级

四升五

授课时间

课时

2课时

课题

第10讲—重叠问题

教材分析

重叠问题，又名容斥问题，是组合计数中解决计数问题的重要工具之一。

在实际生活中有广泛应用。

在学习本讲之前，学生已经学习了

两种分类的重叠问题，本讲在此基础上进一步学习三种分类的重叠问题。

本讲的基本思路是：

先画图或列出关系式，通过观察图或列出关系式后计算。

计算时，先不考虑重叠的情况，把包含于其中所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，就可以使计数的结果既不重复也不遗漏。

本讲例1、例2、例3难度不大，学生可尝试独立完成，例4、例5有一定难度，教师可引导学生观察探讨，突破难点。

本讲拓展问题与例题类型对应，拓展1教师根据分数意义得出每类的数量、拓展4教师引导学生理解整除的含义。

拓宽视野教师根据课堂情况选讲。

教学目标

知识技能

1.能根据题意正确画出示意图，达到熟练水平；

2.能根据示意图列出算式，解释算式含义；

3.培养学生逻辑思维和数学思考能力。

数学思考

学会独立思考，体会容斥原理的思考方法，发展合情推理能力，能清晰表达自己的想法。

问题解决

运用容斥原理解决实际问题。

情感态度

在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学。

教学重点、难点

教学重点：

理解重叠问题，会画图分析其中关系，正确的找出答案。

教学难点：

根据题意正确的画出示意图，帮助理解题意。

教学准备

动画多媒体语言课件，圆形纸片若干张

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

说明：

留给备课教师在备课时填写自己上课所需内容.

一、激趣导入

师：

欢迎大家来到课堂，大家天天来上课，你对了解多少呢？

这节课老师就为大家详细介绍一下。

（播放导入）

二、呈现问题

（一）呈现问题1

例1：

数学在某市有四所直营校区，分别为A区、B区、C区和D区，李老师要从A区经B区到C区授课行12千米路程，秦老师要从D区经C区到B区授课行19千米路程，已知A区经B区、C区到D区共25千米。

你知道数学该市直营校B区离C区有多远吗？

1.学生读题后，教师引导学生画图。

师：

你能根据题意画出图形吗？

（学生根据题意画出图形）

2.教师适时播放解析，师生共同分析。

师：

从A区经B区到C区包括哪些路段？

你能用式子表示出这些路段之和吗？

生：

AB＋BC＝12千米。

师：

从D区经C区到B区包括把哪些路段？

你能用式子表示出这些路段之和吗？

生：

CD＋BC＝19千米。

师：

题中“已知A区经B区、C区到D区共25千米”这句话怎么用式子表示？

生：

AB＋BC＋CD＝25千米。

师：

观察这三个式子：

AB＋BC＝12千米

CD＋BC＝19千米

AB＋BC＋CD＝25千米

你有什么发现？

生：

前两个式子之和减去第三个式子就是BC。

3.学生独立完成解答，然后集体交流。

答案：

12＋19－25＝6（千米）

答：

直营校B区离C区6千米。

（二）呈现问题2

例2：

直营校选取精英班优秀生参加“数学之星”展示活动，参加活动的同学来自若干个学校。

其中某市直营校A区和B区的共有70人参加，考生中有180人不是来自直营校A区的，有160人不是来自直营校B区的。

参加“数学之星”展示活动的考生共多少人？

1.学生读题后，师生共同分析题意。

师：

参加活动的学生来自哪些校区？

生：

来自直营校A区和B区，还有其他学校的。

师：

对，那么题中说“考生中有180人不是来自直营校A区的”是什么意思？

生：

意思是说B区和其他学校的共180人。

师：

大家理解的完全正确。

那么，“有160人不是来自直营校B区的”又是什么意思呢？

生：

意思是说A区和其他学校的共160人。

师：

现在请大家用关系式表示出这些数量关系。

2.学生写出数量关系式，观察关系式找解决问题的突破口。

师：

你写出了哪些关系式？

生：

A区＋B区=70人

B区+其他校区=180人

A区+其他校区=160人

师：

题中要求参加“数学之星”展示活动的考生共多少人，现在我们已知A区＋B区=70人，还需要求出什么？

生：

还需要知道其他校区有多少人参加。

师：

大家观察我们刚才得到的这三个关系式，怎么求出其他学校的参赛人数呢？

大家同桌交流一下。

生：

我发现下面的两个关系式之和是减去“A区＋B区”就是“其他校区”人数的2倍。

师：

大家观察真是敏锐，现在请你独立列式解答。

3.学生解答，教师指定学生板演并讲解。

答案：

（160＋180－70）÷2＝135（人）

135＋70＝205（人）

答：

参加“数学之星”展示活动的考生共205人。

3.师生小结。

师：

本题和例1解决问题的方法有什么相同之处？

生：

都是根据题意写出关系式，然后观察式子之间的关系，求出目标量。

师：

对，这需要我们善于观察，乐于思考，下面我们继续来看例3.

（三）呈现问题3

例3：

第一考场做对第一题的学生有28人，做对第二题的有17人，两题都没做对的有3人，第一考场共35人，两题都做对的有多少人？

1.学生读题，根据题意画出图示。

师：

之前大家有没有见到过类似的问题？

生：

…

师：

我们是用什么方法解决的呢？

生：

画图再观察分析。

师：

对了，那么你能根据题意画出图示吗？

（学生尝试画图，教师巡视指导，指定一名学生上台画图）

2.师生根据图示共同分析问题。

师：

你能说出图中每一部分表示什么意思吗？

（教师指着图让学生说一说）

师提问：

做对第1题、做对第2题和两题都做错的共多少人？

生：

28＋17＋3＝48（人）。

师：

为什么这些人比总人数多呢？

多了哪一部分？

（学生同桌交流探讨，然后集体交流）

生：

28人中把两题都做对的人算了一遍，17人中把两题都做对的人又算了一遍，所以在算总人数过程中，把两题都最对的人多算了一遍，这就会导致这些人的总和比总人数多，多出来的就是多算了一遍算对了两道题的人数。

3.学生独立完成解答。

答案：

28＋17＋3－35＝13（人）

答：

两题都做对的有13人。

4.学生同桌之间互相讲解巩固。

三、拓展问题

（一）拓展问题2

2.在一次测试中老师发现做对第一题的学生有28人，做对第二题的有17人，两题至少有一题做对的有34人，两题都做对的有多少人？

（本题是例3的同类型题，比例3更简单一点，学生尝试独立完成，然后集体交流，让学生画图并讲解出解答思路）

师：

你是怎么理解“两题至少有一题做对的有34人”这句话的？

使学生明确：

“两题至少有一题做对”包括三种情况：

只做对第1题的，只做对第二题的和两题都做对的。

师：

你是怎样解答的？

为什么这样解答？

生：

做对一题的把两题都做对的人数算了一遍，做对两题的把两题都做对的人数又算了一遍，所以28＋17比总人数多，因为把两题都做对的人数多算了1遍。

多算的人数就是两题都做对的人数。

答案：

28＋17－34＝11（人）

答：

两题都做对的有11人。

（二）拓展问题3

3.学校举办跳蚤市场活动，其中180件商品不是六年级的，200件商品不是五年级的。

已知五、六年级共有220件商品，则其它年级共有多少件商品？

1.师生合作，分析题意（师生互动）

师：

题目中说到“180件商品不是六年级的”，那应该是几年级的呢？

生：

一、二、三、四、五年级。

师：

那么“200件商品不是五年级的”，是几年级的呢？

生：

一、二、三、四、六年级。

师：

用图表示应怎么表示？

师：

那么180件和200件有哪些年级被重复计数呢？

你能画图表示出来吗？

2.师生合作一起画出图形。

3.学生看图完成解答，指定学生讲解，教师对学生的回答给予恰当评价，回答错误要鼓励，回答正确要及时肯定。

生：

根据题意和示意图可知，

一＋二＋三＋四＋五＝180件；

一＋二＋三＋四＋六＝200件；

五＋六＝220件

则上面的两个式子加起来，再减去“五＋六”就是“一＋二＋三＋四”的2倍。

答案：

（200＋180－220）÷2＝80（件）

答：

其它年级共有80件商品。

（三）拓展问题4

4.在1～200这200个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？

1.学生读题，师生共同分析。

师：

能被2整除是什么意思？

学生按照自己的理解说一说。

师讲解：

能被2整除的数就是2的倍数，例如能被2整除的有2,4,6,8，10,12,14,16,18，…

那么同学们能说出哪些数是3的倍数呢？

生：

3的倍数有3,6,9,12,15,18，…

师：

大家理解的完全正确。

观察一下，你列的2的倍数和3的倍数，有没有既是2的倍数，又是3的倍数的数？

生：

有，既是2的倍数，又是3的倍数的有6,12,18，…

师：

大家观察的很仔细，那么1～200这200个自然数中，有多少个数是2的倍数？

有多少个数是3的倍数？

有多少个数既是2的倍数，又是3的倍数？

2.学生小组讨论，然后集体汇报交流。

生：

我发现1～200这200个自然数中，每2个数中就有1个2的倍数，每3个数中就有1个3的倍数，既是2的倍数，又是3的倍数肯定是6的倍数，每6个数中就有1个6的倍数。

所以，2的倍数有100个，3的倍数有66个，既是2的倍数又是3的倍数有33个。

师：

知道了各倍数的个数，你能画图表示题意并完成解答吗？

答案：

200÷2=100

200÷3=66……2

200÷6＝33……2

100＋66－33＝133（个）

答：

能被2或3整除的数有133个。

三、课堂小结

师：

本节课我们学习了两种分类的重叠问题，怎样解决这类问题？

生：

先根据题意画图或列出关系式，观察后计算。

师：

非常好，看来大家已经掌握了解决这类问题的方法，这节课先到这，大家休息一下。

第二课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、过渡语

师：

本讲我们继续学习重叠问题，重叠顾名思义就是有重复。

本讲的基本思路是：

计算时，先不考虑重叠的情况，把包含于其中所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，就可以使计数的结果既不重复也不遗漏。

下面我们来看例4。

二、合作探究

（一）呈现问题4

例4：

将边长为正整数n的正方形平均分成n2个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

例如：

图A中的格点是边长为2的正方形的格点的情况。

（通过引导，使学生充分理解题意）

师：

先读题中前两行，说一说你是怎么理解正方形的格点的？

你能画出边长是1的正方形的格点吗？

（学生画一画）

师：

请你再画一个边长是3的正方形的格点。

（学生画完后教师出示课件上边长为1、边长为3、边长为5的正方形的格点）

师：

大家继续读题，看看我们需要做什么。

图B中，在边长为12的正方形中有四个完全相同的直角三角形，如果三角形的一条直角边是3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？

（每个格点只计一次）

1.学生读题，分析题意。

师：

直角三角形的两条直角边分别多长？

每条直角边分别经过了几个格点？

生：

因为正方形边长12，正好分成了2条较长的直角边，所以直角三角形较长的直角边长是6，题中说另一条直角边的长是3。

师：

大家观察的很仔细，判断也完全正确，下面我们来看每个直角三角形格点情况。

2.师生共同分析。

师：

大家看图C，这是一个三角形经过格点的情况。

数一数，每个三角形经过了几个格点？

生：

每个三角形经过了12个格点。

师：

要求图B中4个三角形经过的格点数，你有什么想法？

大家小组讨论交流。

3.学会小组讨论交流，然后集体汇报交流。

生1：

可以先算出4个三角形共有4×12个格点数，去掉重复计数的格点，就是这四个三角形各边共经过的格点数。

生2：

我是直接考虑的，这四个直角三角形的边如下图所示，只要考虑这四条边经过的格点数即可。

如果有重复，也要去掉重复的格点数。

师：

两组同学的思路都很清晰，你能根据他们的思路列出算式求出格点数吗？

试试看。

4.学生独立完成，然后集体交流。

方法1：

12×4－3×4－3=33（个）

答：

共经过33个格点。

方法2：

（12＋1）×2＋2×4－1＝33（个）

答：

共经过33个格点。

（五）呈现问题5

例5：

小佳、小依、小乐三人各剪了一个圆形纸片A、B、C，其面积分别为8平方厘米、9平方厘米、10平方厘米，并将它们重叠放在课桌上（如图）。

已知A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5平方厘米、3平方厘米、4平方厘米，A、B、C三张纸片公共部分（阴影部分）的面积是2平方厘米。

则三个圆盖住桌面的面积是多少平方厘米？

1.学生读题，理解题意。

师：

题中告诉了我们哪些信息？

生：

A、B、C，其面积分别为8平方厘米、9平方厘米、10平方厘米，A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5平方厘米、3平方厘米、4平方厘米，A、B、C三张纸片公共部分（阴影部分）的面积是2平方厘米。

师：

你能指出哪些部分是A与B公共部分？

哪些部分是B与C公共部分？

哪些部分是C与A公共部分？

哪些部分是A、B、C三张纸片公共部分？

（指定学生分别指一指各部分）

师：

现在要求“三个圆盖住桌面的面积是多少平方厘米”，你能指出是求出哪块面积吗？

（使学生充分理解问题）

2.师生共同分析，给各小组发放纸片，小组探究。

师：

现在大家把纸片按照题中的图摆放出来，三个圆的面积已知，它们的面积之和比所求多了哪些部分？

怎么去除这些多余的部分？

（学生小组探究）

生：

有的部分重合了2层，有的部分重合了3层。

师：

我们如何去掉这些重复计算的部分呢？

生：

重复计算的就得减去，因为A与B，B与C，C与A公共部分的面积已知，且被重复计算，我们减去，但中间3层的部分就被剪了3次，没有了，所以再加上。

师：

大家理解的非常到位，现在请你独立完成计算。

3.学生独立计算，然后同桌互相讲解，加深理解。

答案：

8＋9＋10－5－4－3＋2＝17（平方厘米）

答：

三个圆盖住桌面的面积是17平方厘米。

4.教师小结：

数形结合分析问题，重复部分减去遗漏部分加上，做到不重复不遗漏。

三、拓展问题

（一）拓展1

1.六

（1）班一共有48人，每人至少订阅一种报刊，其中的人订阅《小学生数学报》，的同学订阅《小学生语文学习》，两种都订的有多少人？

1.学生读题，师生分析题意，教师适时出示解析。

师：

分数表示什么意思？

生：

把单位“1”平均分成6份，取其中的5份。

师：

那么全班的表示什么意思？

是多少人呢？

生：

把全班人数平均分成6份，取其中的5份。

是48÷6×5＝40（人）。

师：

那你能求出全班的有多少人吗？

生：

48÷4×3＝36（人）。

师：

现在问题就转化为“六

（1）班一共有48人，其中40人订阅《小学生数学报》，36位同学订阅《小学生语文学习》，两种都订的有多少人？

”大家会做了吗？

2.学生独立完成，指定学生讲解。

答案：

48÷6×5＝40（人）

48÷4×3＝36（人）

36＋40－48＝28（人）

答：

两种都订的有28人。

（五）拓展5

5.有三个形状相同的圆形纸片，面积都是90平方厘米，重叠在一起（如图），盖住桌面的总面积是150平方厘米，三张纸片重叠的面积是28平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？

师提示：

3个圆的总面积是多少？

多余的面积是哪些部分？

怎么才能得到去掉多余的面积？

（学生思考，教师适时出示解析讲解）

答案：

90×3－150－28×2＝64（平方厘米）

答：

图中三个阴影部分面积和是64平方厘米。

四、拓展视野

某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人？

1.学生读题，师生共同分析。

师：

你能画图表示题意吗？

小组合作试一试。

（学生小组画图）

师：

图中各部分表示什么意思？

哪些部分是重合的？

重合了几次？

生：

…

师：

只看过其中两部电影的人数对应图中哪块的面积?

（学生指一指）

师：

怎样求出这部分的面积？

2.学生小组合作，探讨交流，教师适时出示解析。

答案：

125－20＝105（人）

89＋47＋63－105－24×2＝46（人）

答：

只看过其中两部电影的是46人。

五、小结

路线重叠问题

1.重叠问题人数重叠问题

面积重叠问题

…

2.解决方法：

结合题意画出示意图帮助分析，计数时注意不重复不遗漏。

例题答案：

例1：

6千米

例2：

205人

例3：

13人

例4：

33个

例5：

17平方厘米

拓展问题答案：

1.28人

2.11人

3.80件

4.133个

5.64平方厘米